春后雨前的博客
兰若生春夏，芊蔚何青青。秋渔荫密树，夜博然明灯。
【续前】阿兰·孔涅和他的非交换几何世界（上）
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心智、物质和数学本质
数学是独立于人类心智的永恒存在还是人脑发明或创造的产物？我们是发现了还是建构了它们？这场关于数学本质的哲学之辩延续了两千多年，分成了“发现派”和“发明派”两大阵营。“发现派”又被称为 “柏拉图主义者”，最早可追溯到毕达哥拉斯和柏拉图等古希腊先哲，他们认为数学的存在貌似无法被人类改变，阿基米德、伽利略、笛卡尔、牛顿、哈代、哥德尔等人都属于发现派阵营。20世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以希尔伯特为代表的形式主义、以布劳威尔为代表的直觉主义（发明派的现代版本）三大学派之间发生了激辩，从而引发了史上第三次数学危机。这一涉及数学的文化复杂性和永久正确性的问题，也许会永远争论下去。
1995年，孔涅与国际知名的法国神经生物学家让-皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）就数学本质进行了一场著名的辩论，并出版了《关于心智、物质和数学的对话》（Conversations on Mind, Matter, and Mathematics）一书。数学是否构成一种原则上允许人类与外星文明交流的通用语言，或仅仅是一种地球语言，而其偶然存在归功于智人大脑中神经元网络的特殊进化？ 物理世界是否真地遵守数学定律，或仅仅是因为物理学家越来越能够从数学角度理解物理现象似乎符合这些定律？两位科学家讨论了人类大脑的发展作为自然选择和变异的功能、数学在解释物理世界时“不合理的有效性”的原因、人类智力的特征和数学创造力的来源等问题，该书生动地记录了他们之间的深刻分歧以及寻求相互理解的真诚努力。图为《关于心智、物质和数学的对话》英文版封面和简介。
尚热曾在多个生物学领域取得重要的研究成果，例如蛋白质的结构和功能、神经系统的早期发育和认知功能等，因其关于心智与大脑生理机能之间关系的观点而为非科学界人士所熟知。由于数学是人类的认知活动，因此尚热首先从心理和神经认知的角度对其进行分析。他主张的神经唯物主义认为数学对象实质上是存在于大脑中的心理对象，作为心理表征而被赋予物质现实。更重要的是，公理化分析方法本身就是一个“大脑过程”。根据尚热的说法，大脑不可能是一台生物计算机，而是一台自然进化的达尔文机器。数学的真实性、存在性、连贯性和刚性是其“进化的后验结果”，人类知识获取的装置——我们的大脑——就像它的数学对象本身一样演化。
尚热是最早通过突触的选择性稳定提出表观发生基本机制模型的科学家之一，他引用了大量包括神经生物学和认知心理学领域的科学数据，指出大脑中存在感性、知性、理性的从具体到抽象不同层次的认知组织，在从脊髓的基本神经回路、脑干和神经节一直到额叶皮层的神经结构中实现，其复杂性在数学宇宙渐进式结构化中起着基础性作用。尚热认为，数学构成了一种语言，因此必须像任何其他语言一样，从概念形成的认知理论出发并进行处理。数学对象存在于“宇宙中某个地方”的说法是一个过去魔法神学时代的“神话残余”，数学只能是一系列心智建筑。自然界存在规律性，但这些是“物质固有的属性”而不是数学定律。
与尚热相反，孔涅是一位现代的柏拉图主义者。他坚称： “独立于人类意识之外，存在着一个原生而永恒的数学世界。”在孔涅看来，如果数学被简化为一种语言，否认数学的真实性，那么就没有理由不认为感知到的任何真实物体都仅仅是“一种有助于解释某些视觉现象的心理结构”。如同哥德尔不完备性定理在其最深刻的表述中所阐述的，数学不能简化为正式语言。孔涅以素数为例，指出素数“构成了比我们周围的物质现实更稳定的现实”。他多次提到承认数学真实是“原始的和不变的”之重要性，他指出数学真实像物理真实一样受到限制，但要稳定得多，因为它不在时空之中，而时空世界中的存在不再是客观真实性的唯一标准。
关于数学的真实性，孔涅在辩论中强调了如下三个方面：1. 对由公理体系定义的对象进行详尽分类的可能性，公理化允许“为由非常简单的条件定义的数学对象提出的问题分类”。这一历史从古希腊几何学家开始，他们对五种柏拉图立体进行了分类。2. 数学理论的一致性与和谐性。尽管对其原因仍“无法解释”，却是无可争议和客观的“随机性对立面”。一个典型的例子是沃恩·琼斯（Vaughan Jones）关于冯·诺伊曼代数中子因子的指标定理，以及与纽结理论的惊人联系和在量子场论中的应用。琼斯是孔涅的非正式学生，1990年获得菲尔兹奖。3. 有趣的数学理论（结构）包含无限的但不能被有限公理化的信息量，而这正是独立于一切人类创造的客观存在的显著特征。
非交换性是时间的发生器
“时间是什么？”这是另一个备受争议和令人烧脑的问题。量子力学中的时间和广义相对论中的时间是一个互相冲突的概念，量子力学认为时间的流动是同一的和绝对的，而广义相对论则认为时间的流动是动态的和相对的, 时间和空间作为时空一起演化。孔涅在几年前的一次访谈中说： “人们从量子力学中发现的非交换性，其实就是时间的发生器。 我仍在思考这样一个事实，即时间的流逝，或者我们感觉到时间在继续却无法阻止，实际上恰恰是量子力学的非交换性结果，或者更明确地说是量子力学内在随机性的结果……我相信时间流逝的起源正是这种随机性。”“ 在非交换世界中，有一种完全原始的东西在交换世界中不存在，这就是上帝赐予的时间演化。” 他认为由宏观状态决定的时间与量子非交换性决定的时间是同一现象的不同方面。
孔涅与他的妻子丹耶·谢罗（Danye Chéreau）及导师迪克斯米尔一起撰写了两部科幻小说：《量子剧院》（Le théâtre quantique，2001）和《阿塔卡马幽灵》（Le Spectre d''Atacama，2018）。谢罗是一位高中拉丁语和希腊语老师，她总是以好奇和有趣眼光看待科学世界。迪克斯米尔在1990年代曾写过两篇科幻小说：《众神的黎明》（L'Aurore des dieux）和《第七次保证金》（Le Septième arrhe）。这两本用六只手写出的书使得那些远离普罗大众的科学理论大放异彩，他们在《量子剧院》中写道： “量子的变幻莫测是神圣时钟的滴答声”（l'aléa de quantique est le tic-tac de l'horloge divine）。孔涅用他40多年来一直在改进的奇特工具——非交换几何，将人们带入了 “虚构”的宇宙，其哲学意义大于数学意义。图片右起：孔涅夫妇与迪克斯米尔，摄于2013年。
在《量子剧院》中，年轻美丽的女科学家夏洛特·登皮埃尔（Charlotte Dempierre）通过自己的设计，让日内瓦欧洲核子中心的阿特拉斯探测器读取她的大脑，并在全球计算机网络的帮助下，成功测量了神经网络中所有基本粒子，因此时间消失了。夏洛特经历了无限的过去和未来，带给读者一段非凡的启蒙之旅，或睡美人的经历。小说借夏洛特之口说：“我拥有一笔无人知晓的财富，我拥有对自己的存在全观的视野——不只是对于一瞬间，而是对于‘作为一个整体’的我的存在。我能够把空间与时间的有限性进行比较，对于前者无人反对，而后者却带来问题……我的印象是失去了量子场景提供的所有无限信息，因此将我不可抗拒地拖回时间之河。”
《阿塔卡马幽灵》讲述数学家阿尔芒·拉福雷（Armand Lafforêt）遭遇数学中尚未解决的一个重大问题——黎曼猜想的故事，通过法国作曲家奥利维尔·梅西安（Olivier Messiaen）和他的室内乐《时间终结四重奏》，以及在智利阿尔玛天文台捕捉到的包含黎曼 zeta 函数零点在内的神秘光谱，揭示了时空与音乐之间的联系。拉福雷和他的科学家同伴为了确定发送光谱的是否外太空智能生物，必须设计一个图灵测试进行检验，这一检验与韦伊关于黎曼猜想的工作有关。书中人物所做的是将与素数相关的模式发送到外太空，但他们会遗漏一个素数。如果收到信息的生物足够聪明，就会通过发送缺失素数的模式来回答，量子的危险与素数的叛逆交织在一起。
1990年代，孔涅与让-伯努瓦·博斯特（Jean-Benoit Bost）合作研究量子统计力学时，发现了一个对称性自发破缺的系统，其配分函数是黎曼 zeta 函数，而zeta 函数的零点自然显示为 “时间开始”。孔涅后来创作《阿塔卡马幽灵》的灵感也发源于此，他意识到梅西安音乐的节奏与韦伊模拟的 zeta 函数零点的周期具有完全相同的模式。为此孔涅在《数学和音乐》杂志上发表了一篇文章，阐述了代数几何中 “动机”（motif）的数学特性与音乐 “节奏”（rhythms）之间令人惊讶的关系。动机是格罗滕迪克在 1960 年代提出的一个概念，用于统一大量有类似性质的上同调理论，格罗滕迪克将其描述为 “终极上同调不变量”。图为《量子剧院》和《阿塔卡马幽灵》的法文版封面。
亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014）是20世纪最伟大的数学家之一，也是布尔巴基学派成员。他将空间和相关的环作为主要研究对象，开创了代数K-理论和拓扑K-理论的研究，为现代代数几何学奠定了新的基础。1950年代末，格罗滕迪克引入了“拓扑斯”（topos）的概念，拓扑斯是“空间概念的变体”，使得拓扑直觉形式化，这也是点集拓扑学的范畴论推广。2014年，孔涅与合作者发现了一个算术拓扑斯，可以产生与他在 1996 年发现的非交换空间相同的空间，从而在格罗滕迪克的拓扑斯观点与非交换几何的观点之间建立起联系。孔涅年轻时也曾参加过布尔巴基的活动，但据他自己说只持续了一年多时间。
格罗腾迪克在其自传《收获与播种》（Récoltes et Semailles）中描述了一幅他从分析出发，最终来到代数几何的过程中所经历的景象： “我仍然记得这个吸引人的印象（当然，这完全是主观的），就像是我离开了令人厌恶的干旱荒原，突然发现自己来到了一个华丽繁茂、遍地流金的 ‘富裕地带’，到处都充斥着无穷无尽的财富，这里令人禁不住伸出双手，去采摘果实或者开发宝藏??”这也是包括孔涅在内的无数数学家花费毕生心血致力于发现的真理：“条条道路通罗马”，数学世界是连通的。孔涅认为，在数学中没有比面对无法解决的问题更好的进步方法了。他把这样的问题视为一份礼物，始终乐此不疲。
【注】本文刊登于《数学文化》期刊
相关博文链接：发明还是发现——数学本质的哲学之辩
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