证明刚体力学欧拉方程错了的简单推理

戴榕菁

今年初我找出了刚体力学的欧拉方程推导过程中的逻辑错误【[1],[2],[3],[4],[5],[6]】，从而证明了刚体力学的欧拉方程是有缺陷的。

但是，因为那些证明中涉及到一些繁复的数学，对于非理工背景的读者来说读起来会比较困难。本文将在不涉及任何数学公式的前提下，用一个简单的推理来严格论证刚体力学的欧拉方程一定是错了：

 主流学界运用中间轴定理分析贾尼别科夫效应的过程中（或者说是推导中间轴定理的过程中），得出了在外力矩为零的前提下绕中间轴旋转的物体之微小的初始角动量偏差会（因为不稳定性）而被放大【[7]】。但是，中间轴定理是从刚体力学的欧拉方程出发严格推导出来的。

首先我们需要明确一点：所谓的角动量守恒律要求在外力矩为零的前提下，角动量保持不变。因此，主流学界得出的上述结果明显打破了角动量守恒律。而这里所涉及到的数学推导只有这样两部分：1）从刚体力学的欧拉方程推导中间轴定理；以及2）从角动量守恒定律出发推导刚体力学的欧拉方程。

其中从刚体力学的欧拉方程推导中间轴定理之严格性在过去几十年里已得到反复的验证【7】，因此我们有把握得出结论说：刚体力学的欧拉方程一定存在着缺陷。

证毕！

讨论：

所谓的数学不稳定性只不过表明在外界扰动下系统的运动不稳定而已，单纯的数学操作本身只要在推导过程中没有出错就不会作为数学推导的出发点的前提条件，这就好比说一个数学推导的前提条件中有X + Y = 1的话，哪怕那个推导有一万步，只要不出错，其结果中就不应该有X + Y = 2。而刚体力学的欧拉方程的推导之出发点就是角动量守恒，因此，假如推导过程没有任何错误的话，那么所谓的数学不稳定性，就不会导致推导的结果违背角动量守恒。

这里要特别注意到的一点是：被主流学界误以为是扰动的微小的初始角动量偏差本身并不是扰动，如果没有额外的扰动的话，从角动量守恒出发的数学操作是不应该会打破角动量守恒的，所以那个微小的初始角动量偏差就应该一直保持微小！。。。。所以，刚体力学的欧拉方程一定存在着缺陷。

结束语：

如我之前一再指出的，刚体力学的欧拉方程能够历经三百来年的无数次的工程实践的检验表明，尽管它有逻辑（数学）缺陷，在大多数的工程实践中欧拉方程的缺陷导致的误差应该是小到可以忽略的程度，但是在贾尼别科夫效应这个问题上，欧拉方程的缺陷就可以导致定性的（原则性的）错误，而这样的错误对于人类文明未来的升级显然有着不可忽略的潜在威胁。

除此之外，之前我还提出了另一个问题【[8]】：作为一代数学大师，欧拉当时是否意识到了他的刚体力学方程存在着缺陷？

如果对于一般的人，我们的答案会很简单：他肯定不知道，否则就不会发表带有错误的结果。但考虑到欧拉是人类历史上数一数二的数学家，也为了照顾很多人的情绪，我们不妨把问题考虑到稍微复杂一些。

虽然没有文献记载说欧拉知道他的刚体力学方程存在缺陷，但有文献记载说欧拉确实是先推导了一个非常冗长复杂的刚体力学方程【[9]】，因为不满意而放弃了，随后才推导了现在人们所熟悉的刚体力学的欧拉方程。那个被放弃的方程如下：

既然这是世界顶级大师欧拉放弃的结果，我也就没有象给他没有放弃的方程那样去查找其推导过程是否存在错误。不过直观地不难看出它与欧拉后来推导的也就是我们现在所用的刚体力学的欧拉方程有很大的区别，而且从人们今天能找到上面这个方程这一点来看，欧拉是公开发表了该方程的。

我个人猜测，欧拉之所以不满意上面这组方程（17），应该不会仅仅象文献【9】中提到的那样是因为觉得它太复杂了。。。。这两个不同的方程组的取舍直接涉及到对错的问题，如果欧拉认为第一个是正确的而仅仅因为它复杂就选一个错误的，那听上去有些过于儿戏。但另一方面，也许欧拉认为第一个是对的，也知道第二个是错的，但是在对这两组方程进行误差分析后认为它们之间的误差可以忽略，所以才选了比较简单的一组----当然这只是我的猜测。

由于既没有文献记载说欧拉明确认为第一个是对的而第二个（也就是现在人们所用的刚体力学的欧拉方程）是错的，更没有文献记载欧拉曾经分析过这两组之间的误差，我也就不打算花更多的力气验证上面的（17）这组还不知是对是错而且被欧拉（不论是因为发现它是错的还是因为嫌它太复杂）放弃掉的方程组到底是对是错了。

但有一点可以肯定，即便欧拉当初进行过两组解之间的误差分析，他并没有发表相关分析，而且他的分析一定没有涉及到今天空间站中的微重力状况，否则他应该知道当外力矩为零时，他最后选择的那组解会给出定性的（原则性的）错误！

 

相关链接：
贾尼别科夫效应所牵扯的哲学复杂性

The Philosophical Complexity behind the Dzhanibeko

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【[1]】戴榕菁（2025）欧拉会犯这样的错吗？

【[2]】戴榕菁（2025）找到欧拉出错的原因了

【[3]】戴榕菁（2025）替欧拉大师说句话

[[4]]Dai, R. (2025). An Example of Violating the Conservation of Angular Momentum. Retrieved from: https://www.academia.edu/127575471/An_Example_of_Violating_the_Conservation_of_Angular_Momentum

[[5]]Dai, R. (2025). Dzhanibekov Effect --- A Smashing Challenge to the Foundation of Physics. Retrieved from: https://www.academia.edu/128364151/Dzhanibekov_Effect_A_Smashing_Challenge_to_the_Foundation_of_Physics

[[6]]Dai, R. (2025). Why Euler's Equations of Rigid Body Dynamics Are Wrong. Retrieved from: https://www.academia.edu/128498771/Why_Eulers_Equations_of_Rigid_Body_Dynamics_Are_Wrong

[[7]]Wikipedia. Tennis racket theorem. Retrieved from: https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem. Last edited on 29 November 2024, at 06:27 (UTC).

【[8]】戴榕菁（2025） 到底谁是伪科学？

[[9]]Marquina, J. E., Marquina, M. L., Marquina, V., and  Hernández-Gómez, J. J. (2017). Leonhard Euler and the mechanics of rigid bodies. European Journal of Physics, Volume 38, Issue 1, pp. 015001 (2017). Retrieved from: https://www.researchgate.net/profile/Jorge_H/publication/309366946_Leonhard_Euler_and_the_mechanics_of_rigid_bodies/links/5a4138f3aca272d294561325/Leonhard-Euler-and-the-mechanics-of-rigid-bodies.pdf