春后雨前的博客
兰若生春夏，芊蔚何青青。秋渔荫密树，夜博然明灯。
概率论的主要研究对象是随机现象或不确定性及其数量规律，其起源可追溯到欧洲文艺复兴时期，几百年来概率论已经从最初研究赌博中的问题发展成为现代数学的主流分支之一。在其蓬勃发展的 20 世纪二、三十年代，瑞典著名数学家哈拉尔德·克拉梅尔（Harald Cramér, 1893-1985）在概率论、数理统计、保险精算数学等领域均作出了卓越贡献，被誉为现代概率统计学的开拓者和奠基人之一。从 1912 至 1982 年，克拉梅尔的学术生涯长达 70 年，多个猜想、定理和不等式均以他的名字命名，他一生中撰写了四本英文专著，还撰写了 110 篇英、法、德等文字及 38 篇瑞典文的学术论文和报告。笔者参考了克拉梅尔本人的回忆录《半个世纪的概率论》以及他的学生和后继者的多篇回忆文章写成此文，以飨读者。
克拉梅尔于 1893 年 9 月 25 日在瑞典首都斯德哥尔摩出生，一生中大部分 时间都在那里度过。他在第一次世界大战开始前的 1912 年进入斯德哥尔摩大学（当时称为高专），同时学习数学和生物化学。在学习期间，克拉梅尔担任著名化学家Hans von Euler-Chelpin，1913–1914 年间他与Euler-Chelpin在生物化学领域联名发表了一生中最早的五篇论文。这位Euler-Chelpin也是一位了不得的人物，他是数学大神欧拉（Leonhard Euler）的第六代嫡孙，他本人获得了 1929 年诺贝尔化学奖，他的儿子Ulf von Euler获得了 1970 年诺贝尔医学奖。如果克拉梅尔继续跟随Euler-Chelpin学习和研究生物化学，前途也是无可限量的。
后来克拉梅尔发现数学才是自己真正的兴趣所在，当时“瑞典数学之父”Gösta Mittag-Leffler带领斯德哥尔摩大学一群年轻有为的数学家在数学研究领域非常活跃，在其影响下克拉梅尔成为Marcel Riesz的一名博士生。Riesz是一位年轻有才华的匈牙利数学家，1908 年应Mittag-Leffler之邀来到斯德哥尔摩工作，他在位势理论、解析数论、偏微分方程、泛函分析和克利福德代数等领域都做出了重要贡献，他的哥哥弗里Frigyes Riesz是泛函分析学科的创立者之一。克拉梅尔在Riesz的指导下受到了严格的数学训练，并开始学习刚刚建立不久的勒贝格测度和积分理论。
克拉梅尔在博士阶段的研究领域是解析数论，从而熟悉了傅里叶积分的技巧。这些训练为他后来从事概率论的研究工作奠定了坚实的分析学基础。1917 年克拉梅尔以题为《一类狄利克雷级数》（On a class of Dirichletseries）的论文通过了论文答辩并获得斯德哥尔摩大学的数学博士学位。次年25 岁的克拉梅尔迎娶了他 “Beloved Marta”，两人育有二子一女，携手度过了长达 55 年同甘共苦、幸福美满的家庭生活。克拉梅尔毕业后于 1919 年被斯德哥尔摩大学聘为助理教授，当年秋天著名英国数学家哈代（Godfrey Harold Hardy）访问斯德哥尔摩大学，这次访问对于克拉梅尔关于解析数论的研究意义重大。第二年夏天，克拉梅尔前往英国剑桥大学，在哈代指导下工作了一段时间。
几年中克拉梅尔在解析数论领域发表了大约 20 篇论文，并在 1922 年的斯堪的纳维亚数学家大会上演讲。克拉梅尔的一篇重要论文是关于丢番图方程素数解的研究结果，该问题是著名的哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的推广。在剑桥工作期间克拉梅尔还结识了比他年轻一岁并已初露锋芒的美国数学家维纳（Norbert Wiener），三年之后维纳发表了题为《微分空间》的著名论文，在函数空间中引入了一个概率测度，从而建立了布朗运动的严密理论，这一随机过程即为后来以他本人名字命名的维纳过程。维纳的这一工作比柯尔莫哥洛夫的划时代基础研究还要早几年。顺便提一下，1964 年维纳访问斯德哥尔摩，在皇家理工学院 KTH 演讲时突发心脏病后卒于异乡。
克拉梅尔在担任助理教授的同时，还在瑞典一家著名的保险公司兼职精算师工作，后来还担任一个拥有 25 名员工的部门主管，数学教授在保险公司兼职及雇佣年轻的数学家是瑞典保险业的传统。这一工作使得克拉梅尔接触了一些概率问题并开始进行有关保险风险方面数学问题的研究，而当时正处在这些问题的早期阶段，严格的数学基础和理论尚未成型。一个保险公司在一个时期内所承担的个别风险如果被视为彼此独立的，则其总和就与概率论中的“中心极限定理”产生密切联系，这一术语是George Pólya在他 1920年的论文中首次提出的。Pólya是Riesz的匈牙利好友，经常访问瑞典，因此克拉梅尔有机会与他交流合作。
另一方面，风险事业也可看作一个随时间变化并在每一瞬间随机波动的经济系统。1903 年，数学风险理论的奠基人之一Filip Lundberg在Uppsala大学完成了博士论文，研究了一类当所有待付的索赔总数中每笔都相同时形成的过程，这类系统可以说是最早的连续时间随机过程的模型之一。1919 年克拉梅尔用瑞典文写出了他的第一篇概率论论文，是Lundberg格过程的特例——泊松过程的一个简短注记。然而，直到1920 年之前概率论仍被排除在主流数学之外。就连一些著名数学家都束手无策，比如庞加莱就曾叹道 ： “人们难以给出概率的一个满意定义。”
1920 年代概率论历史上发生了两件大事 ：一件是法国数学家莱维（Paul Lévy）的专著《概率计算》于 1925 年问世，该书第一次尝试用严格的数学方法对概率论进行系统描述。另一件是以年轻的苏联数学家欣钦（Aleksandr Khinchin）和柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）为代表的 “新俄罗斯学派”的兴起，在他们特别是后者的一系列论文中，证明了如 “0–1 律”、独立随机变量和的不等式及重对数律等重要结果，这些结果为柯尔莫哥洛夫日后提出概率论的一般理论作出了充分准备。
对于克拉梅尔来说，1920 至 1929 年也是克拉梅尔积蓄能量、厚积薄发的十年。由于他所从事的保险业中风险问题的需要，克拉梅尔的研究兴趣集中在中心极限定理及误差估计。克拉梅尔也十分关注概率论的基础理论，他在 1926 年的一篇论文中前瞻性地指出"概率论的概念应该通过纯数学定义引入，其基本性质和经典定理应该通过纯粹的数学运算来推导。" 能够比柯尔莫哥洛夫的概率论公理化定义早七年提出这一观点，对此颇为得意。左：黎斯，右：哈代。
克拉梅尔的研究兴趣从解析数论转向概率统计，还有一些人事上的因素。Stockholm大学的数理统计教授Rolf Sundberg在《Stockholm高专时期数理统计研究所的历史》一文中摘录了克拉梅尔本人1978年撰写的《漫长生命的简短回忆》中的若干片段，Arild Stubhaug撰写的Mittag-Leffler传记中也提到此事。Mittag-Leffler在Scandinavia数学界和瑞典学术界都是很有权势的人物，克拉梅尔对他的描述是"热心好斗、精力充沛"。1924年Stockholm大学数学教授Helgevon Koch去世，他的同事、克拉梅尔的博士导师Riesz毫无疑问是最具竞争力的后继者人选，Riesz得到了系里三位知名教授的推荐并即将获得校方通过。
Mittag-Leffler当时已经77岁，对于他身后Stockholm大学数学系及以他的名字命名的研究所的后继人考虑较多，因此可能对于教授人选施加了一些影响。Uppsala出身的TorstenCarleman最终得到这一职位，Riesz则转移到瑞典南方的Lund大学作终身教授。Carleman是一位很强势的数学家，1927年Mittag-Leffler去世后继任研究所所长20年。同时Mittag-Leffler也与克拉梅尔产生了一些矛盾，认为克拉梅尔的一篇数论文章并非原创，并告知克拉梅尔不可能在北欧数学界得到位置。随着Stockholm数学系的"改朝换代"，克拉梅尔作为一位初出茅庐的年轻数学家，不得不为自己的前途从长计议，他的这一想法得到以前的老师和朋友哈代大力支持。克拉梅尔在Stockholm的同事和朋友圈中，很多都是和他一样从事保险业的年轻数学家，也对他的决定表示欢迎。
克拉梅尔说：“当纯数学之门对我似乎将要关闭之时，我必须为自己开创一个新的科学未来”。而他在一个学科蓬勃发展的时刻加入，可以说是天赐良机，1927年克拉梅尔出版了瑞典文教科书《概率论及其应用》。瑞典保险业于1925年开始认真筹划资助设立一个保险数学方向的教授位置，经过几年时间关于这一位置的名称、资金及所在大学的落实过程，1929年在Stockholm大学设立了瑞典历史上第一个精算数学与数理统计的教授位置，克拉梅尔成为首任教授。克拉梅尔还回忆到，由于他的教授位置属于数学系的编制，因此Carleman等人起初设置了重重障碍，他甚至都没有一间自己的办公室。但是克拉梅尔凭借出色的教学效果和科研成绩、年轻同事的齐心协助、保险业的强大后盾，最终打开了局面。几年后他的研究所在Stockholm城北的Norrtullsgatan街16号拥有了办公地点，赢得了良好声誉。
1930年代是概率论发展的新纪元，被克拉梅尔称为 “英雄时期”，20世纪初分析数学中测度论的发展为概率论的严格表述提供了关键性工具，从而使得概率论最终纳入现代数学的范畴。柯尔莫哥洛夫在1933年出版的奠基性著作《概率论的基本概念》中首次为概率论建立了严格的公理化系统，从而解决了Hilbert第六问题的概率部分，标志着概率论发展新纪元的开始。克拉梅尔担任Stockholm大学教授之后，在他周围聚集了一批事业心很强的优秀学生，他们兴趣十足地注视着国外同行的新动向，并尝试作出自己的贡献，最初几年他们主要继续1920年代在极限定理和风险过程方面的工作。
毕业于哥廷根大学的克罗地亚犹太裔数学家William Feller为逃避纳粹德国的迫害，经克拉梅尔的好友Harald Bohr介绍，于1934年来到Stockholm加盟克拉梅尔团队达五年之久。克拉梅尔曾作了极大的努力试图帮助Feller在Stockholm大学谋得一个终身教职，但由于Carleman等人的反对没有成功，因此成为克拉梅尔的一大憾事。1939年Feller去了美国，后来成为20世纪最伟大的概率学家之一。Feller在Stockholm期间还学会了瑞典语，克拉梅尔的学生Ulf Grenander后来在美国遇到Feller，就是和他用瑞典语交谈。
在这一时期中，克拉梅尔、Feller以及他们的同事和学生们在马尔科夫过程、独立增量过程、平稳过程、无穷可分分布、极限定理及特征函数等当时概率论的热门领域都作出了重要工作。1934年克拉梅尔将Khinychine关于平稳过程协方差表示的结果推广到多维平稳过程，1936年证明了勒维关于“任意正态分布的因子也是正态”的猜想——被后人称为Cramér-Lévy定理，同年他还和学生Herman Wold证明了关于多维随机变量中心极限定理的Cramér-Wold定理。1934-1935年间克拉梅尔在Stockholm大学作了关于柯尔莫哥洛夫研究工作的系列讲座，他也许是在苏联境外介绍这一划时代成果的第一人。
除了他本人许多重要的原创性工作外，克拉梅尔投入很大精力将他人重要却难懂的结果用优美通俗但不失严格性的方式在他的文章和著作中表述。1927年克拉梅尔访问英国时，由于当时还没有概率论方面的英文专著，Hardy曾建议他编写一本，但这一计划直到十年之后才付诸实现。在1937年剑桥出版社出版的专著《随机变量和概率分布》中，克拉梅尔基于柯尔莫哥洛夫的概率论公理化体系，系统阐述了有限维空间上的概率分布理论及其应用，该书至今仍为概率论的经典著作之一。1937-1939年间克拉梅尔访问了巴黎、伦敦和日内瓦等欧洲城市，举办讲座或参加学术会议，结识了许多当代极负盛名的数学家和概率学家，如法国的PaulLévy、波兰的Hugo Steinhaus和当时尚在英国的Jerzy Neyman以及一批年轻的后起之秀。当克拉梅尔1939年7月离开日内瓦时，世界大战已迫在眉睫、一触即发。（未完待续）
相关博文链接：乌城走出的数学大侠们（上）
https://blog.wenxuecity.com/myblog/78059/202206/5009.html
谢谢，明白了一些数学理论知识。
新浪也是最早时候接触网络时所呆之地。
是的，在四川动用小石磨是愉快庄重时分，那时长辈们每年会在田里普通稻米里种一点点糯米，我的观察他们从种植开始到收获以及后来的食用整个过程都是欢快的庄重 ：）。
前辈的写作实在是高效，谢谢，并祝中国元宵节快乐，想起汤圆了，：）