春后雨前的博客
兰若生春夏，芊蔚何青青。秋渔荫密树，夜博然明灯。
【续前】乌城走出的数学大侠们 (上)
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Mittag-Leffler和Beurling的学生及后继者们
Mittag-Leffler和Beurling都在Uppsala大学获得博士学位，分别向上追溯数学家族谱系的两代或四代，师出同一位数学家——1796年毕业于Uppsala大学的Jöns Svanberg，但仍然没出"五服"。Mittag-Leffler去世时Beurling还在大学读书，二人年龄相差49岁，没有查到他们二人直接交往的记录。但如前所述，Mittag-Leffler在芬兰一支的直系后人Lars Ahlfors却是Beurling的合作伙伴和终生挚友，可谓源远流长。Mittag-Leffler和Beurling的性格完全不同，前者活跃外向、交游广泛，喜欢文学、管理、经商，身居祖国放眼全欧，是入世的智者; 后者内向敏感、不善交际、追求完美、热爱自然，移居新大陆却独孤求败，如出世的高人。但这些并不影响二人同为瑞典现代数学的巨匠但这些并不影响二人同为瑞典现代数学的巨匠，因此后来瑞典的复分析与实分析学派才有了如Lars Hörmander和Lennart Carleson这样的传人。
Mittag-Leffler从欧陆及芬兰回到瑞典之后主要的工作和活动地点是在Stockholm，他亲自指导的学生中比较著名的有Edvard Phragmen (1863-1937)、Erik Fredholm (1866-1927) 和 Helge von Koch (1870-1924)，三人都先后于Uppsala大学获得学位、在Stockholm高专任教、在Djursholm区居住，因此形成了数学史上非常有名的"Stockholm School"，Stockholm如今房价最高的上等社区Djursholm一百多年前成为瑞典数学界的中心。Phragmen的主要成果是扩展了关于有界全纯函数的Liouville定理，与芬兰数学家Ernst Lindelöf一起得到了著名的Phragmen-Lindelöf最大值定律。Phragmen还对精算学感兴趣，曾担任瑞典精算师协会第二任主席以及多家大保险公司的高管或总裁。Fredholm是积分方程理论的创始人之一，他给出了一般常系数椭圆型偏微分方程的基本解，并得到了著名的积分方程择一定理，他有关积分方程的工作被称为泛函分析的四项奠基性工作之一。
Von Koch在1904年的一篇论文《关于一个可由基本几何方法构造出的无切线的连续曲线》中描述了一类长度无穷大但所围面积有限且连续却无处可微的曲线的构造方法，这一俗称为"雪花曲线"的Koch曲线是最早的分形曲线之一，是上世纪七十年代发展起来的分形几何学的重要例子。后来还有Torsten Carleman (1892-1949) 加盟，Carleman也是一位出身于Uppsala大学的数学家。他的主要贡献是在函数论、积分方程论和谱理论方面，以他的名字命名了若干定理、法则、不等式、积分核和正交多项式等。1927年Mittag-Leffler逝世后，Carleman继任研究所所长超过二十年的时间，并成为瑞典最有影响的数学家。Mittag-Leffler、Fredholm和von Koch身后都安葬在Djursholm的Altorp墓地，依旧比邻而居，在天堂继续他们的数学合作研究，下图为Mittag-Leffler夫妇的墓地与皇家科学院为他立的墓碑。
Mittag-Leffler在国际科学界的地位和声誉吸引了大批国外的青年学者，因来访研究所而改变了命运的学者之一是匈牙利数学家Marcel Riesz (1886-1969)，他于1908年来到瑞典，先后担任Stockholm和Lund大学教授并创建了Lund大学的数学研究中心。Riesz在三角级数、泛函分析、位势理论、偏微分方程及Clifford代数等领域多有建树，例如他于1926年证明了Lebesgue函数空间中线性算子的插值定理，但证明方法十分复杂。他的学生与合作者Olof Thorin于1939年使用Hadamard的三圆定理将其证明大大简化，这就是著名的Riesz-Thorin插值定理。Thorin后转行从事精算业，但他仍因这一定理而在分析数学领域闻名，可谓"惊鸿一瞥"。
Riesz最优秀的学生是1962年Fielz奖和1988年Wolf奖得主Lars Hörmander (1931-2012)，他的主要工作成果是在现代线性偏微分方程理论方面，是伪微分算子和傅立叶积分算子的奠基人之一，他的四卷本《线性偏微分算子分析》(1983-1985) 被认为是线性偏微分算子的经典文献。如果没有Hörmander，著名的Atiyah-Singer指标定理的证明不知道还要晚多少年，前文所述的著名数学历史学家Lars Gårding也是Riesz的学生。图为1988年Hörmander在以色列首都接受总统颁发的Wolf奖。
Riesz最早的学生之一Harald Cramér (1893-1985) 是瑞典乃至世界概率统计学界的泰斗，他早期研究解析数论，1925年转向概率论并于1929年被任命为瑞典第一位精算数学和数理统计学教授，还担任瑞典精算师协会第三任主席长达26年。 Cramér最重要的成果之一是证明了法国概率论祖师爷Paul Lévy关于正态分布独立性的一个猜想。Cramér还对保险风险问题进行了深入研究，并从统计学角度研究素数和孪生素数的分布问题。享有世界声誉的"概率论学界教父"、华裔数学家锺开莱 (1917-2009) 就是在Cramér的指导下，于1947年获得美国Princeton大学博士学位的。
Arne Beurling非常热爱教学，学生们都说他讲课的时候双目就像燃烧的火焰，极富激情和感染力。二战期间正是Beurling创造力的高峰期，但他却义不容辞地将大部分精力投入到破译德军密码的工作中并建立了奇勋，他还鼓励自己的学生献身到反法西斯的工作中去。Beurling在Uppsala大学任教期间开办的星期二分析讨论班一直延续至今，唯一区别是由隔周一次改为每周一次、时间从晚上移到了下午。他在讨论班上一般只讲授自己的研究成果，并且对学生要求十分严格。Beurling一生共指导了九名数学博士，全部毕业于Uppsala大学，最著名的当属与他亦师亦友的Lennart Carleson。Carleson是Beurling的学生中仅存的健在者，今年已米寿高龄，他曾经说过自己是被Beurling的人格魅力和非凡才能所吸引，从而走上数学研究之路的。他于1950年获得博士学位并不负师望，在傅立叶分析、复分析、拟共形映射和动力系统等方面都做出了重要贡献。
1966年Carleson证明了提出已达半个多世纪的Lusin猜想，即单位圆上平方可积函数的傅里叶级数几乎处处收敛，我们在复旦读书时使用的《实变函数论与泛函分析》教科书中就曾提到这一重要成果。Carleson的另一重大贡献是解决了日冕问题(Corona)，由此得到的Carleson测度已经成为傅立叶分析和复分析的基本工具，他还证明了在二维情形任意阶的Bochner-Riesz均值都有界。为了防止人才外流，1967年瑞典政府专门在Uppsala数学系为Carleson设立了一个教授位置，使得他具有很大的自由空间，他后期的主要工作地点是在Mittag-Leffler研究所和KTH皇家理工学院。
Carleson因"其在傅立叶分析、复分析、拟共形映射及动力系统理论方面的基础性贡献”获得1992年Wolf奖，又因"其在调和分析和光滑动力系统方面深刻和重大的贡献"获得2006年Abel奖。Abel委员会这样评价Carleson："他的工作已经永远改变了我们对分析的看法。他不仅证明了极难的问题，而且他引入的证明方法与定理本身同等重要"。图为2007年Carleson与另二位Abel得奖主Simivasa Varadhan和Peter Lax在Niels Abel墓前的合影。
如前所述，Mittag-Leffler生前是将自家私宅作为一个北欧乃至世界的数学中心来规划建设的，并将他在其他领域的经营所得大量投入，因此Mittag-Leffler研究所在1916年建立之初时前景一片光明。然而1922年全欧洲的一场经济危机使得Mittag-Leffler濒临破产，到他临终时研究所的运转难以为继，在Carleman时代只能惨淡经营。1949年Carleman去世后，皇家科学院曾先后提议Lars Ahlfors和Arne Beurling继任所长，但二人均婉言谢绝。以后由于经费不足及管理不善，Mittag-Leffler研究所入不敷出，在将近二十年的时间里只作为图书馆使用。而且研究所的大笔房屋维护费用使得皇家科学院不堪重负，曾一度打算将研究所的房产出售，少数反对者之一就是1956年成为Acta Mathematica主编、1957年当选为院士的Carleson。
Carleson于1968–1984年间出任研究所所长并实行了一系列改革举措，他掌管之后得到了Knut & Alice Wallenberg基金会、大保险公司及北欧其他国家的资助，研究所才重新开始正常运转并获得新生。与当时世界著名的两个数学研究所——美国Princeton的IAS和法国巴黎的IHES不同，Mittag-Leffler研究所除了兼职所长及几位行政人员外，并没有专职的研究人员。自从1969/70年度开办了第一个以调和分析为主题的学术年以来，Mittag-Leffler研究所以半年或一年为期举办不同专题的学术研究计划。世界各国的顶尖学者汇集于此，同时前来的还有一些在学术道路上刚刚起步的博士生或博士后，因此Mittag-Leffler的梦想直到Carleson时代才真正得以实现。1976/77年度Carleson专门组织了Beurling年，Beurling在其系列讲座中报告了自1930年代以来他本人的数学思想和成就。
Carleson是一位德高望重、谦逊低调、平易近人、极具正义感和人文关怀的长者，非常令人尊敬。他亲自指导的26名博士中有24人毕业于Uppsala大学，其中多人也已成为著名数学家，在学术领域多有建树。Carleson在1978至1982年间担任国际数学联盟IMU主席，他在任期内极力促成中国数学会取得代表权，1977年陈景润就曾因这一代表权问题谢绝了国际数学家大会ICM的45分钟报告邀请，Carleson还积极推动设立了以著名芬兰数学家Rolf Nevanlinna命名的、表彰青年理论计算科学家的Nevanlinna奖——目前IMC的四大奖项之一。Carleson热心于数学普及工作，经常给高中教师和学生举办讲座，并于1968年出版了科普著作《我们时代的数学》，涉及数学科学的方方面面。
二十多年前笔者在Uppsala大学博士答辩后不久，曾参加数学系为时年65岁的Carleson和Beurling的另一名学生Yngve Domar教授举办的荣休晚宴。Carleson退休之后仍然常常出现在各种数学讲座和会议上，但多半是默默地当听众，并不喧宾夺主。大约十年前的一天，笔者从Stockholm驾车去Uppsala数学系参加学术会议，一辆Mazda小车一路同行，直到停车场才发现驾车的老者原来就是Carleson。还有一次恰逢先生寿日，全场为他合唱生日快乐歌。图为Carleson、Domar以及Beurling指导的唯一女学生、也是瑞典史上第二位数学女博士Sonja Lyttkens在Uppsala纪念Beurling百年诞辰时的合影 (从右至左)。
几年前Uppsala大学数学系发生了一起行政干预学术的校园政治事件，两位外籍教授被校方劝退辞职，此事曾引起包括欧盟数学会、美国数学会及IMU在内的国际数学界的广泛关注。事情发生后Carleson率先发表公开信，对学校当局的作法表示遗憾，称之为"50年来瑞典学术界的最大丑闻"，并向被辞退的教授表达慰问和声援。在2016年三月庆祝Mittag-Leffler研究所成立一百周年的第27届北欧数学家大会上，Carleson当选为大会名誉主席。
最后值得一提的是，瑞典、挪威、芬兰三国均位于Scandinavia半岛，并且都以路德派新教作为国教。从民族、历史、文化、语言诸方面来看，瑞典和挪威似乎更接近，18世纪两国还合并成立过UK君合国，至今也都是君主立宪的王国。然而邻国挪威的数学发展道路却与瑞典完全不同，挪威数学在19世纪就已经很辉煌，出现了诸如Niels Abel、Ludwig Sylow、Sophus Lie等划时代人物。但除了前述在Acta Mathematica创办之初Mittag-Leffler与Lie的合作之外，两国在数学研究上却少有交集——前者偏代数、后者重分析，曾听Størmer说起过直到今天两国数学家都鲜有合作研究。而芬兰却截然相反，Mittag-Leffler在芬兰Helsinki大学执教的几年时间里成果斐然，特别是培养了Robert Mellin这样优秀的学生，并一脉相承地培养出了Ernst Lindelöf、Rolf Nevanlinna和Lars Ahlfors等以分析见长的几代数学家。瑞典和芬兰两国的数学家密切合作，共同作出不少重要的研究成果，例如复平面无界区域上的Phragmén-Lindelöf最大模原理和调和分析中的Beurling-Ahlfors变换，可谓分析数学的双子星座。
这一切也许仅仅是由于Mittag-Leffler当年到欧陆游学并经Hermite和Weierstrass的推荐从而获得Helsinki大学教职这一系列的偶然因素，无论哪个环节出了问题，历史都将重写。同时也说明，数学是一种超越国界的国际语言，世界大同的理想在数学家中可以实现。曾经看到过这样一段话，摘录于此作为本文结束语"数学很小众，它其实就是一群虔诚者的自娱自乐和精神安慰。它的受众仅限于那些能够坚持并且还觉得可以坚持的数学研究者。因为不涉及意识形态，它与政治没有必然的联系...... 。作为数学研究者，现实是允许你胸怀理想的，唯一的风险是内心的失衡甚至扭曲"。
是这样的：“数学很小众，它其实就是一群虔诚者的自娱自乐和精神安慰。它的受众仅限于那些能够坚持并且还觉得可以坚持的数学研究者。因为不涉及意识形态，它与政治没有必然的联系...... 。作为数学研究者，现实是允许你胸怀理想的，唯一的风险是内心的失衡甚至扭曲”