风吹枫叶黄
憧憬退休的生活，闻吻夕阳的色彩
素数随想
（一）随想的前奏
作为一个数学系学生，我应该算是一个曾经比较热血的，一直喜欢那些关于数论、平面几何等各种与自然界相关联的东西，直到毕业转行了还是如此。
我的中学时代受宣传陈景润的影响，当然也是本色亦然，对数学可以说是热爱，结果就在上大学时选择了这个专业 – 我是被第一志愿录取到数学系的。那时的人们还都比较理想化，就算是有务实的想法，也相信“学好数理化，走遍天下都不怕”那套说教。
上了大学后慢慢发现高级纯理论的数学和自己的想象不太一样，有点脱离自然世界，越来越抽象晦涩。但我比较懒，也比较皮实抗压，挺了过来，懒得去转换专业。
我的本科毕业论文搞得是调和分析（Harmonic Analysis）。那时因为家父病危，需要回家照顾，连这个论文也完全是好友帮忙的结果，很惭愧 – 这位好友现在美国大学做计算机教授，在此再次感谢 – 那可是真哥们儿：我离校回家一个多月，只是临走前告诉他有事就帮我应付一下，因为我不知道要回去多长时间，结果我在论文答辩前两天才回来，此时他在我不知情的情况下已经帮我写好了论文，连标题都是他命的名 – 关于调和函数性质的几点注记。
然后，毕业答辩时有一个精彩的桥段：
在我“复习”了一下那篇毕业论文后，就是看懂那些公式推导，就做了答辩。当我介绍了这种调和函数产生的几个“美丽”的属性之后，一个我不认识的评审老师提问，你能不能举一个具体的调和函数的例子来说明？应该说，这个问题是最基本的了，没有任何刁难之意。不幸的是，我还真的找不出这样一个例子。于是，我红着脸转向我的导师，寻求帮助。
在前排坐着的我的导师也是面露尴尬，转过头去解释说：我们搞理论数学研究的，主要注重形式逻辑推导和公式的美感，希望能够得到像爱因斯坦的质能方程、麦克斯韦电磁方程、欧拉公式等那样漂亮的公式。至于在现实中如何应用，不是我们关注的重点。说实话，这个例子我现在也举不出来。
这时我已经考了他的研究生并被录取了。我开始逐渐体会到，数学不属于真正的自然科学！数学只是纯理抽象，是一种逻辑工具。喜欢联系实际，对纯抽象有点脸盲的我，此时对于纯理数学的热情到此也消磨一空，后来虽然读了数学研究生，但还是又转成工科，离开了纯理抽象的数学天地。但巧合的是，毕业后我还真的做了多年的调和分析的应用，比如傅里叶谱分析、核磁共振信号处理等工作，虽然与理论数学上的调和分析不搭嘎。
这里插一句 – 人生就是这么狗血：在《童年的记忆》里我曾提及，我的小学第一堂课是以无知、无感的被动“作弊”开始的，我没有动一下笔就得到了入学考试的 100 分；而大学毕业又复制了小学入学的魔幻，没有动一下笔，毕业论文就得了 A – 当时考上研究生的同学好像都拿了 A。
我对数学中那些和自然世界贴近的部分还是情有独钟，在毕业工作后有时还会去琢磨一下。其中一大兴趣就是关于素数，也称为质数， prime number。它们像生长于自然数间的杂草，看上去随机分布，但又表现出惊人的规律性，并有规范其行为之法则，且以可证明的精准度遵守着这些法则。
为纪念创刊 125 周年，Science 杂志于 2005 年 7 月提出了 125 个重要的科学问题，其中包含 25 个最突出的重点问题以及其他 100 个生命科学、物理学、数学等领域的难题。
2021年，上海交大协同 Science 在全世界范围内再次征集并发布了新的 125 个问题。其中三个数学问题被列在首位，而第一个问题就是 “是什么让素数如此特别？”。
【翻译】有无限多个素数，就是那些只能被 1 和该数字本身整除的数。对于数学家、计算机科学家和其他专家来说，其存在性和属性非常有趣。虽然所有的自然数都可以表示为素数的乘积，但将大数分解为素数的积却存在很大困难。 由于素数具有与分解相关的独特属性，因此它们在密码学领域非常有用。想象一下，计算机加密依赖于一个非常大的数字，例如具有数十甚至数百位数字的多个因数的数字； 即使是超级计算机在识别其素因数方面也会面临巨大的挑战，这使得素数在信息加密领域极有潜力。
虽然数学在严格意义上不属于自然科学（没有证伪性），而是以形式逻辑为核心的符号语言，但在各种科学问题上数学工具是不可或缺的，而且极为重要。不信，你看看下面的公式，如果出现在某篇文章中，是不是就有让人肃然起敬的高大上的感觉？
– 熟识这个公式的人一定是物理学界的好学生。
声明一下：其实概率统计是可以验证的。所以我个人认为概率统计学属于自然科学范畴。但概率统计是否该归类为纯理数学，就是另一个问题了。
在八十年代，计算机性能还不像现在的水平，对复杂计算的能力有限。当时我接触到伪随机序列生成，就是用一个种子不断乘积后用大素数求模产生的序列。现在还记得一个经典的数对：种子是16807，大素数是2147483647 – 这是一个梅森素数，231-1，第31个梅森数。这对数产生的伪随机序列的“随机性”很好，序列长度为10位数。但理想的随机序列式白噪声，还是达不到的。
素数对应的是合数，也就是说，不是素数的自然数就是合数。对于刚刚接触到初等数学的人来说，素数与合数的关系和奇数与偶数的关系有点类似。但其本质却是有巨大的差异。和多年来的社会阅历融合在一起，我感受到素数及其属性可以映射到人类社会中。
现在我试一试用“关于素数的一点注记”的方式来补上我那“作弊”的大学毕业论文，也以此纪念我那数学系为我辩护的导师 – 他在我毕业后没几年就故去了，还不到50岁，英年早逝，也是癌症。可惜我连一张他的照片都没有，不过他长得很像陈教授：
下面就是我的素数随想。在开始之前，请有兴趣的读者做一个小练习，试证明：在n2和(n+1)2之间，至少有一个素数 – 答案在文后找，不过最好自己先尝试一下。
（二）随想
【素数性质 – 1】素数是自然数中的中坚。如果把自然数看成一个空间，那么素数就是这个空间的支撑框架。任何一个大于1的合数都可以用素数的积来表示。比如，2023 = 7 x 17 x 17。这样，素数就可以用来构成这个自然数世界。这就是我们小学学习的因式分解。
随想 – 这个社会上有一些素数人，就像砼（tóng，混凝土，我从土木系同学那里学习来的字）里的钢筋，支撑起了这个社会大厦。这些人有独立的人格，有自由的思想，不会人云亦云、随波逐流。这个人类社会靠的不是那些唯唯诺诺、见风使舵的人。当社会风起云涌之时，墙头草们都随风而去，只有他们坚韧不折，撑起这片天，是社会的中流砥柱；当社会政通人和，国泰民安之时，他们又是走在时代前列的先行者，引领着时代的潮流。人类社会上的最小思维单位就是那些素数人。
【素数性质 – 2】素数在自然数中的完备的。哥德巴赫猜想（向陈景润致敬）：任何一个大偶数都可以用两个素数的和来表示。虽然这个猜想没有被完全证明，但现在数学界没有人怀疑其正确性。比如，20 = 3 + 17。当然，奇数加 3 就是偶数，所以奇数可以最多用三个素数的和来表示。这样，不超过 3 个素数相加就可以得到所有的自然数。
随想 – 仅靠素数人就可以完成这个世界上的任何人间奇迹，素数人也可以把思想活动伸延到社会各个领域、各个角落，没有死角。如果有什么自然界的难题产生，只要有足够的时间，素数人就可以找出解决问题的方法，不管是小行星要撞地球，还是超级细菌未知病毒侵蚀人类健康。
【素数性质 – 3】素数在自然数中是稀疏的，而且值越大越稀疏。虽然在数值较小时，有不少靠近的素数，但随着数值的增大，素数在自然数中的分布就越来越稀少。比如以100为区间，100以下的素数有2、3、5、7…97等共25个，但1000~1100中就只有16个素数，10000~10100中就只有11个，100000~100100中就只有6个。如果上面的100区间改为1000区间，则上述的类似位置上素数的个数就变成了168、112、87、65、53。这个素数分布原理叫素数定理，用 π(x) 来代表小于x的素数的个数，其初等表达式： π(x) ≈ x / ln(x)，ln是自然对数。比如 π(100) = 22， π(1000) = 145， π(10000) = 1086， π(100000) = 8686，...；而实际上的素数个数对应为 25，168，1229，9592，...。其高级表达式更准确：π(x) = ∫1/ln(t)dt。当年高斯和勒让德都在18世纪末提出了类似的理论，但无法证明。这个问题的证明成为当时数学界的顶尖难题，当时有传言，谁证明了这个问题，就会得到永生。100年后，法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明！他们俩果然高寿，分别活到了98岁和96岁。相关联的素数定理推论：对每个正整数 n，从 (n+1)! + 2 至 (n+1)! + n + 1 的 n个连续正整数都是合数(非素数)。
随想 – 我也想长寿，可惜没有这份天赋去证明这个素数定理。社会中素数人不是均匀分布的，而是距你越远的地方素数人越稀少。这就好像是广义相对论中质量（引力）对时空的密度压变，让观察者看到平面的扭曲。素数数量本身就大大少于非素数，那么在你不熟悉的环境下，素数人更是显得少。在这个世界里，庸庸碌碌的人永远是大多数。
【素数性质 – 4】不仅素数是可以无限大的（欧几里得定理），而且孪生素数也是可以无穷大的 – 这就是希尔伯特在1900年提出的孪生素数猜想。孪生素数就是 N 和 N+2 都是素数的情况，比如17和19。虽然素数在自然数中是稀疏的，但不管如何设限，总有更大的孪生素数。北大学子张益唐对此颇有研究，目前他的结果在这个问题的研究上也是最先进的，不过和哥德巴赫猜想一样，也没有完全证明，不过大家都相信证明只是时间问题。
随想 – 道不孤行，不管素数人是如何的少，总会有结伴的素数人，在某个地方、某个领域，做出杰出的贡献。比如杨振宁与李政道，虽然前者在非学术领域让人有些微词。
【素数性质 – 5】素数理论是RSA加密算法的基石。因为对大数做因式分解的算法复杂度与大数相乘或求模的不对称性，两个大素数可以用来产生RSA算法。这样的两个素数的积也被称为半素数，RSA数是一些大的半素数的集合。这种加密算法是MIT的三位大咖在1977年提出的，随用他们三人姓名的首字母命名。这是一种公开密钥算法，在电子商务中被广泛应用。
随想 – 这就是 2021 版 Science 的 125 重要问题 No 1 的描述。到目前为止，分解素数还是没有什么太好办法，除了 brutal force，一些算法可以加速，但还是很慢。这就像在茫茫人海中寻找那个对的你，或是在复杂工程中寻找合适的能工巧匠。素数不像毛遂，无法自荐，荐了也不一定有用。素数人也是如此，能识别素数人的才是高才伯乐。
【素数性质 – 6】素数本身是有优美的内在规律的。对整数a，如果p是素数，则 ap-a 是p倍数 – 这就是费尔马小定理，比如 a = 2，p = 31，则 2 的 31 次方减 2 就是 2147483646，是 31 的倍数。
随想 – 发现素数人特征是很 tricky 的。作为律师，费尔马四百年前就发现了这么复杂的素数内在属性，厉害。欧拉和莱布尼兹都在费尔马发现约100 年后给出了证明。我也曾碰巧对此感兴趣 – 那还是在我知道有这个费尔马小定理之前，我也发现了类似的规律，但是是其逆命题，即如果 ap-a 是 p 倍数，则 p 是素数。我当时高兴得想发表论文，可遗憾的是这个发现是错的，而且我不是第一个犯错的人。中国数学前辈李善兰 （1810年—1882年）就曾发现过，并被称为中国猜想：当 a = 2，n = 341 时，中国猜想不成立，因为 341 = 11 x 31。关于这个中国猜想，还有许多神奇的故事，甚至被神话到春秋时代，李约瑟在《中国科学技术史》中也有提及。
素数还有许多性质，在此就不拓展了，大家可以自行脑补：
- 素数和而不同...
- 素数可助韩信点兵...
- 素数除了 2 都是奇数...
- 素数是有棱有角的石头…
- 素数是个性十足的的另类…
- 素数是不随波逐流的非主流…
- 素数是有自我意识的万物代表…
（三）随想的伸延
从其名字上就可以感受到其特性：素数、质数，翻译得真好，反映了其性质，类似几何上的奇点。英文更是有味道，prime，来自拉丁语primus，就是第一位的，初始的。由此派生的名词：
Prime minister – 总理
Prime time – 黄金时间
Primer – 底漆
欧几里得（公元前 325 ~ 公元前 265）是伟大的古希腊数学家，在思想巨匠亚里斯多德离世前三年出生，和超长待机的秦昭襄王（秦始皇的曾祖父）是同时期的人。就在东方世界上演连横合纵、尔虞我诈之际，他贡献了三维空间的公理化体系结构，故我们现在最基本的三维几何空间被称为欧几里得空间。那时古希腊的哲学、科学、方法论是如此辉煌，看欧几里得的关于 “素数是无穷的” 证明就可见一斑。因为是欧几里得给出了第一个证明，故也称为欧几里得定理（后来欧拉在18世纪也给出过解析的证明，并且推论出素数的出现密度高于自然数的平方数）：
【证明】如果素数是有限的， S{P1,P2,P3…Pn} 是由所有素数所组成的有限集合，令 N = 1 + （P1…Pn）， （P1…Pn）为所有 S 中所有素数的积。如同其他自然数一样，N大于所有素数，必可被至少一个素数整除。但任何可整除 N 的素数都不可能是有限集合 S 内的元素（素数），因为后者除 N 都会余 1。所以，N可被其他不属于 S 的素数所整除。这与前面 S 的定义是矛盾的，所以 S 不是有限的。
前面的练习题“在n2和(n+1)2之间，至少有一个素数”的答案：不好意思，开了一个天大的玩笑 – 这是著名的勒让德猜想，由德国人 Edmund Georg Hermann Landau 在1912年提出，已经有一百多年了，至今无人征服，既无法证明也无法证伪。
我在上高中时曾经也有过类似的笑话。1978年，“科学的春天”刚刚开始，我靠数理竞赛上了我们那里唯一的重点高中。当时分班是按成绩排名，我们年级 7 个理科班，完全按入学考试成绩分，把我们竞赛的前 20 名加上升高中考试的前 30 名拼成一班。可想而知，同学们都是来自各个中学的尖子，牛气得不要不要的，感觉自己离陈景润华罗庚不远了。
高中开学的第一天，报到后也没有什么事，我们这些靠竞赛上去的因为不久前在地区礼堂里颁奖时见过，彼此认识，就嗨了起来：有一位猥琐的高手出了一道题，让这些不知深浅的同学证明：X3 + Y3 = Z3 没有非零整数解。一帮“骄子”们瞬间都静了下来，憋着劲要当第一个证明人。嘿嘿，结果可想而知......
1993 年 6 月，英国人 Andrew John Wiles 发表了他的证明，“解决”了费尔马大定理（也称费尔马最后定理），也就是这个题目的一般形式：“Xn + Yn = Zn 当 n 大于 2 时没有非零整数解”。
Andrew 的证明在数学界极为轰动，这可是公认的三百五十百年来最难啃的骨头。 他独自一人花了 7 年的时间，悄悄地啃了下来，并为此发明了许多新概念和方法。可是，可但是，但可是，他复杂的证明在当时无法马上验证，而几个月后在同行评审中发现了逻辑错误，有致命伤。虽然他发明的数学工具还是有巨大的价值，但此证明还是无法成立 – 数学就是这样黑白分明的逻辑关系。
携 170 的智商，Andrew 再度投入到证明中，和他的学生 Richard Taylor 一起，经过不到一年的奋战，居然再次完整地证明费尔马大定理，并在 1995 年《数学年刊》发表，这是经过同行评审、逻辑验证了的 – 真是神人啊，最终的证明和附带的讨论长达 130 页纸。他后来也因此获得了一系列的数学大奖，包括有数学界诺贝尔之称的菲尔兹奖 – 不过是特别奖，因为他已经超龄了（菲尔兹奖上限是 40 岁）。这个证明被誉为 “20 世纪最辉煌的数学成就”。
法国大律师费尔马搞数学是纯业余爱好。当年他在书的旁空处写下此式，并标注：“我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下（Hanc marginis exiguitas non caperet）”，喜欢恶作剧的费尔马害得数学界努力了几百年也不见效，不知道那个“美妙的证法”是什么。这句话也成为了他的名言。
费尔马不愿意发表他的成果，所以好东西都在手稿里面。他在阅读数学书籍的过程中，习惯地把随想的一些思路写在旁边空白的地方。他还对证明思路讳莫如深，往往只会写出推导得到的定理，而不会保留证明过程。有趣的是，他还在手稿中非常理直气壮地给出理由，为什么没有给出证明过程：比如 “我可以证明这个结论，但现在我必须去喂猫了” 或者是 “我可以证明这一点，但我要去洗头了”。这种恶趣味让几百年以来的数学家对他又爱又恨。
费尔马去世后，其子出版了一本书，里面囊括了他老爹在页边空白处所做的所有笔记。因为都没有证明只有结果，所以留下了一个个极为诱人的挑战，无数数学家只能前赴后继去求证费马潦草笔记的正确性。这些东西在被后人证明之前，只能称为猜想，虽然被费尔马称为定理。
别总瞧不起民科，费尔马就是民科鼻祖。当年在中关村的人常能看到科学院数学所和北大来打擂台的民科，其中就有“证明了”费尔马大定理的，他们多被 “读过什么专业书？” 给打发回去了，不知道有没有误人子弟的。
费尔马这样的大咖，自然不会对素数熟视无睹。他对素数的贡献：
- 费尔马小定理：a^p-a ≡ 0 (mod p)，其中p是一个素数，a是正整数
- 素数可分为 4n+1 和 4n+3 两种形式
- 形如 4n+1 的素数能够、而且只能够以一种方式表为两个平方数之和
- 没有一个形如 4n+3 的素数可以表示为两个平方数之和
- 形如 4n+1 的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1 的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1 的 m 次方是且只能是 m 个这种直角三角形的斜边
- 形如 4n+1 的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷
欧拉给费尔马擦屁股：
- 1770年，证明了费尔马大定理当 n = 3 时成立，也就是我上高中碰到的第一个恶作剧。其实欧拉做了两种不同的证明，详情见这里。而且其中一个有问题，虽然看上去很手段巧妙 – 天才如欧拉也会犯错误。如果感兴趣关于欧拉的错误，可以看这里。
- 费尔马说他发现形如 Fn = 2^(2^n)+1 的数全是素数，比如 n 为 0~4 时，对应的值是3，5，17，257，65537都是素数。欧拉发现 n=5时，4294967297 = 641x6700417 却是个合数，而后面的直到 n < 1495 时都是合数。
不知道这费尔马的脑子是怎么长的，业余爱好吊打专业大咖。另一个类似的情况是孟德尔，作为神职人员窥视上帝造物的秘密，把豌豆玩个爆，发现了遗传规律，不知道是否符合教规。达尔文也是差不多，学习医学、神学，最后反叛了教会，用《物种起源》阐明了生物进化原理。
现在还有许多素数相关的猜想没有解决，其中最著名的就是黎曼猜想，其描述比较复杂，是猜想中的皇冠，有兴趣的可以看这里。黎曼猜想与素数定理密切相关，不过，作为数学系的学生，我听到黎曼头就有点大。
还有许多关于素数的猜想，有兴趣的可以去研究，比如：
- 斐波那契素数是无限的
- 梅森素数是无限的
- 费尔马素数是有限的
回到我的高中课堂上。这个题目虽然通式证明非常困难，但当 n 为 3 的时候，并不是通式级别的超级难题，虽然对我们这些自以为是的小白们还是无法触及的。
下面给出欧拉在1770 年时候的证明，他使用了无穷递降法（proof by infinite descent）。术语：coprime – 互素；gcd – 最大公约数（greatest common divisor） 。
慎入！Theorem: Euler's Proof for FLT （Fermat's Last Theorem）: n = 3
x3 + y3 = z3 has integer solutions -> xyz = 0
(1) Let's assume that we have solutions x,y,z to the above equation.
(2) We can assume that x,y,z are coprime. [See here for the proof].
(3) First, we observe that there must exist p,q such that (see here for proof):
(a) gcd(p,q) = 1
(b) p,q have opposite parities (one is odd; one is even)
(c) p,q are positive
(d) 2p*(p2 + 3q2) is a cube
(4) Second, we know that gcd(2p, p2+3q2) is either 1 or 3. (see here for proof).
(5) If gcd(2p, p2+3q2) = 1, then there must be a smaller solution to FLT n=3. (see here for proof).
(6) Likewise, if gcd(2p, p2+3q2) = 3, then there must be a smaller solution to FLT n=3. (see here for proof).
(7) But then there is necessarily a smaller solution and we could use the same argument on this smaller solution to show the existence of an even smaller solution. We have thus shown a condition of infinite descent.
能看明白这个解题思路的，可以去练国际数学奥林匹克了。
我们那时还是一帮生瓜蛋子，哪里有这个本事？记得我用了一个不容易看出错误的简单方法给出了证明，高兴了两分钟，一片欢呼，但很快就被人看出了破绽，原来是个假把式。那个时候竞赛级别的难题很少见，后来出题人说这是费尔马大定理的特殊形式，我们马上就都打蔫了。
十几年后，留美时的一位同学，说到他刚刚上北大时，班上同学都是各地的尖子，不服不忿的，老师就用一道初等数学的平面几何题来震慑大家，说让你们看看什么是难题：
用圆规和直尺在三条平行线上画出一个等边三角形，使得三角形的三个顶点分别落在三条平行线上。
这道题很有趣，你来试试？
（四）随想中的生物
在北美有一种蝉，叫周期蝉，其生命周期是 13 年或 17 年，相应被称为 13 年蝉或 17 年蝉。幼虫孵化后即钻入地下，一生绝大多数时间在地下度过，靠吸食树根的汁液生存。它们在地下生活 13 年或 17 年后，同种蝉的幼虫同时破土而出，在 4~6 周内羽化、交配、产卵、死亡，而卵孵化后进入下一个生命周期。因此某一年份在美国东部一些地方每过 13 或 17 年就会突然出现大量的蝉，成为一种奇景。
为什么会有这个 13 年 或 17 年的奇怪周期？对了，就是素数长周期。
在这样长的素数周期年里，一般不会连续碰到天敌和自然灾害也与这个周期同步，从而避免被灭族。不同的周期蝉种群出地的年份不同，使这个大家族的基因继承就更安全了。
大自然真的很神奇。
关于“全球变暖”理论，我的理解是：首先确认是否变暖，比如可以通过观察地球表面不同位置的温度，进行各点上的“时间积分”和整个球面上的插补估算，来确认地球表面的平均温度是否逐年升高。当然这个观察方法不很准确，但趋势不会有大错。也可以引入评估南极/北极冰川消融量和消融速度以及海水温度采样做为估算的参数。如果经过一些年的数据积累，可以拟合出这些年的地球表面温度变化曲线，从而进一步确认是否在“全球变暖”。当然，这也可能是短期的、暂时的（以百年为考察单位的地球时间长河中），但我们可以根据这个观察曲线做近期证明或证伪。所以我认为这是一个科学问题。当然靠简单地感觉某个地方天气变热是不够的，但如果有长期观察数据，也可以得出局部结论：某地气候在变暖/变冷（均值变化），或者差动变大/变小（标准方差变化）。
至于目前流行的环保理论，比如二氧化碳排放导致温室效应等，也是同样，理论上可以用观察来证明或证伪，是一个科学问题。遗憾的是这个理论太难以验证，因为参与的不可控的变量太多，而没有一套可信的方法来证明或证伪，结果现在就在实践上成为一种宗教式的信仰，并且被某些政治团体因某些其他目的而推动，脱离了科学问题。我想这与我们这里讨论的关于科学的定义这种哲学观点没有什么联系。
在各种科学观察中，用数学作为工具是假定了这种逻辑推理的正确性，对观察的结果做逻辑解释。比如上面提到的拟合气温的曲线，大概需要数学建模，用最小二乘法进行曲线拟合，甚至建立ARMA模型引入回归/自回归等反馈模型等。这些活动的核心还是科学观察，用以证伪的基本材料还是对自然世界的观察结果。
我想用“可证伪”来区分是否是（自然）科学的烧脑之处在于：理论上是否具有可通过观察来证伪，和在实践中是否能够真正做到这种证伪之间的区别。人类的实践能力是很有限的，可以说实践中我们不能证伪的东西远多于可以证伪的东西，但这不是区别一个问题是否是科学问题的关键。一个问题只要在理论上具有可证伪性，就是科学问题，包括广义相对论、量子纠缠、甚至黑洞、暗物质等那些我们知之甚少，又缺乏观察手段的问题。
用你对数学的反例不算可证伪性的逻辑， 所有科学都不可证伪。 所有硬科学都靠数学，任何证伪都“基于当前数学公理化体系结构之内的逻辑规则来进行”。
我对于这个问题的浅显理解：数学公理化体系结构是开放的，而且有许多公理是不证的，但一致性必须保证。如果发现不一致的数学理论，则必须限定其定义域，否则数学大厦就会倾倒。这大概也是引入群环域的不同级别的集合空间来考虑理论使用范围的原因吧？完备性只能存在于某类集合空间中。
数学世界的公理化体系必须是自洽的、严密的，不允许谬误和近似的存在。一旦发现有谬误，一定是，也必须是某个逻辑过程有误，或者原始的公理有误。如果是后者，则建立在那个谬误公理之上的所有理论都成为待验，多半都是谬误。
就拿我前面举例的黎曼ζ函数来说，对于所有正整数的和，那种直观看上去不合理的（-1/12）结果只要赋予其合适的定义域【Re(s) > 1】，就变得有意义了，也与先前的公理化体系相溶，并可应用于复分析、量子力学和弦理论中。
不好意思，不知所云。
请教一个问题。
哥德尔定理对数学体系意味着什么？如果完备性、一致性和有效公理化的存在性不能同时具有，那么一致性和有效公理化的系统是半开半闭的，即从一致的公理集合出发，会发生不可预料的、不存在于原来系统的东西。这个东西何以发生？
如果完备和有效公理化存在，那么意味着一致性不能保证，也就是说这样将得到一个自我矛盾的体系。这又如何发生？这是不是意味着，所有公理体系只是个近视或者谬误。
我的理解是证伪性必须由根据观察的实验来体现。拿你举出的哥德巴赫猜想的例子来说，找出反例的否定方法也是基于当前数学公理化体系结构之内的逻辑规则来进行的，不能算是观察实验。我也举一个极端的例子：所有正整数之和被欧拉发现等于（-1/12），这与我们的常见的数学情况并不相符。但后来黎曼给予了解析证明，并限制了其成立的空间，也就是黎曼ζ函数。这个结果甚至有物理意义。
只是我的个人理解，可以商榷。
数学命题不能用实验证明， 但可以用实验证伪。 比如哥德巴赫猜想， 如果找到一个偶数不能写成两个素数之和， 就证伪了。 如果通过两个点画出两条不同的直线，则两点决定直线的公理就被证伪。
数学符合科学的可证伪性， 但不是狭义的科学，因为不符合科学关于实验的部分。
根据wikipedia的定义：可证伪性（英语：falsifiability）又称可反驳性[1]（refutability）、可反证性、可否证性、可检验性[2]（testability），在科学和科学哲学中用来表示由经验得来的表述所具有的一种属性，并使用严格的否证法（相对于实证法）来判别一个理论是否科学，即“这些结论必须容许逻辑上的反例的存在”。
作为可反证性对比的则包括形式上的或数学的表述，如恒真式或同义反复（由于定义的原因它们总是真的），数学公理和定理——这些表述不容许逻辑上反例的存在。
可证伪性是科学哲学家卡尔·波普尔在他1934年的著作科学发现的逻辑中引入的科学理论和假设的评估标准。他提出它作为解决归纳和划界问题的基石。如果一个理论或假设可以被现有技术的实证检验在逻辑上抵触，那么它就是可证伪的（或可反驳的）。可证伪性的目的，甚至是一个逻辑标准，是使理论具有预测性和可测试性，从而在实践中有用。
可以看出，可证伪性不能用于数学，根本原因是数学是formal system 形式系统，和经验科学是两回事。其实也就是说「数学不是（经验）科学」。自然不在可证伪性的讨论范围内了。数学是一种概念演算技术，一种形式系统。“数学不是科学”是一种哲学观点，并不是贬低数学。
素数难以达到。合数有加、乘、乘方组合的捷径可达。素数的奇特在本身当然有，但颇在于得到的方法——捷径。
好文章，深入浅出，引人入胜，除了作者的独立思考，还有不少逸闻趣事穿插其中，让人忍俊不禁。
谢谢科普。