二,数学存在
如前所述,在外部世界存在这一问题上,自然科学的一般态度是不搞争论,埋头搞发展,闷声发大财。数学家最有个性,径直宣称能被1和本身整除的数存在,并令R={x∣x∉x}。这个“令”对应于英文里的Let①,亦即Let there be light里的Let。那是耶稣的话语,让有光。耶稣可以说,到我这里来,我是真理,我是道路。数学家也可以这样说吗?你信不信的吧,反正他们说话就那口气,说完还证明给你看。
在一阶谓词逻辑里,存在量词∃x的意思是,存在一个x,至于x是什么不重要,重要的是它满足定义。∃应该来自Exist的首字母,至于具体是exist,there is,sein,还是dasein无所谓,只要不导致自相矛盾就好。也是的,数的存在看不见,摸不着,只能靠逻辑推导。逻辑思维不到一定高度,哪怕全人类都含笑九泉,也不会有人发现问题。
忽一日,罗素发现,集合(R)的定义导致矛盾。R={x∣x∉x}译成白话就是,(R)是所有不属于自身的集合组成的集合,具体推导如下,
假设R∈R: 根据(R)的定义,x∈Rx 意味着 x∉x,故 R∈R 推出 R∉R,此乃矛盾。
假设R∉R:根据(R)的定义,x∉x 意味着 x∈Rx,故 R∉R 推出 R∈R,此亦矛盾。
结论:无论R∈R还是R∉R,皆导致矛盾。
罗素进一步发现,集合论悖论与古希腊的理发师悖论等价。于是,人们顿觉数学大厦将倾,此即所谓第三次数学危机。集合论悖论既涉及无限(infinity),又涉及自指(self-reference),多数解决方案都围绕这两点发力,很少有人对数学存在产生疑虑。
忽一日,布劳威尔(Luitzen Brouwer,1881/02/27 - 1966/12/02)的注意力落到数学定义的本体论性质上,遂对数学存在产生疑问,于是,直觉主义数学应运而生。直觉主义数学的座右铭是,存在就是被构造(to be is to be constructed)。换言之,数学实体的存在是被构造出来的,数学命题为真当且仅当能被精神过程证明。后者是全体数学家的共识,关于前者,意见出现分歧。
在形式主义和逻辑主义那里,决定数学存在的是无矛盾性。具体说来,集合R={x∣x∉x}导致矛盾,故不存在。直觉主义认为,无矛盾性只是数学存在的必要条件,而不是充分条件。充分条件是,这类实体必须能够被构造出来。换言之,一个集合存在当且仅当能在有限步骤内②构造出来。显然,在有限步骤内无法构造R={x∣x∉x}这样的集合,不仅如此,就连“所有集合的集合”也无法构造。于是有,无法构造的数学实体不存在。集合(R)既不存在,集合论悖论也不复存在。这是布劳威尔的直觉主义对集合论悖论的解决方案。
罗素则试图用类型论(theory of types)来解决集合论悖论。类型论的要点在于,命题符号不能包含于自身之内,换言之,任何命题都不能自指。对此,维特根斯坦认为,罗素的方案行不通,因为类型论在为符号建立规则时必须提及符号的意义。维氏用反证法来说明这一点。如果函项F(fx)可以自指,则可以构造这样一个命题,F(F(fx))。括号内外共有的F只是个抽象的符号,不指称任何实在,因而可以是任何形式。这样一来,内部的F与外部的F意思必定不同,因为内部F的形式是φ(fx),外部F的形式是ψ(φ(fx))。如果把F(Fu)的定义改写为,(∃φ):F(φu).φu == Fu,集合论悖论将消解于无形。
哥德尔(Kurt Gödel 1906/04/28 - 1978/01/14)对这一问题的见解被认为最深刻,因为他给了形式主义致命一击。其实,哥德尔并没有直接提出解决悖论的方案,只是告诉人们,形式化的系统不完备,故在纯形式系统里这个问题无解。这是哥德尔两个不完备性定理的精神实质。第一不完备性定理说,在一个足够强的算术系统内,若系统是完备的,则一定存在不可判定的命题,即不相容,反之,若它是相容的,则一定不完备。第二不完备性定理说,任何协调的形式系統,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就不能用于证明它本身的协调性。
第一不完备性定理所谓“足够强的算术系统”虽未点名,实际剑指罗素和怀海特合著的Principia Mathematica里的公理系统。那是一个庞大的公理系统,一个宏大的思想体系,难以简言以蔽之。第二不完备性定理倒是相对具体,特指蕴涵皮亚诺算术公理的形式系统,可以稍作发挥。皮亚诺算术公理③是何方神圣?为什么好好一个形式系统,一旦蕴涵皮亚诺算术公理,便不能证明自身的协调性?数学家的解释可能滴水不漏,但肯定抽象枯燥,莫名其妙,影响普罗大众把握其精神实质。
撇开数学语境,一言以蔽之,根本原因是算术公理系统涉及无限。每个自然数都有后继,而自然数是一个无穷集合。无穷就是永远在路上,却永远不能到达。对于形式系统来说,其协调性的证明则永远不能完成,“证明永远不能完成”与“无法做出证明”,二者等价。在这一意义上,哥德尔与布劳威尔英雄所见略同。
喜欢技术细节的读者可能对定理的证明感兴趣,可惜,那部分内容极其枯燥冗长,30页的简化证明都可能让99.9%的读者迷失在符号的海洋里,遑论300页的正规证明。其实,注释①便包含其简化证明里初始定义的九牛一毛,聊作管中窥豹之用。好在人脑不必与电脑一般见识,电脑要用成千上万符号来表达的命题,人脑可以一P而过,电脑要累得死机才能生成的证明,人脑可以一喻而明。
近来,AI成为关注热点,不少人担忧AI会超越人的智慧。一个个体若为自己担忧,其忧不无道理,因为AI经过充分训练,必定集所喂数据之大成,而一个普通人所掌握的数据不会超过AI。换言之,若拼算力,人脑拼不过电脑。然而,若因此而为人类担心,则肯定是杞人忧天。AI是人造的,携带人类的某些局限性,但没有携带人类的主观能动性。
近百年前,爱因斯坦就指出,理论只能是发明的,不可能仅由观察结果编织而成。当年这话的矛头所向是实证主义,如今放之于AI亦准。AI长于编织数据,即喂给它的观察结果,数据越庞大,优势越明显。但是,AI只是一部庞大的推理机器,不会创造发明。给定初始公理集合,AI能够按照推理规则推出所有定理,但不会试图突破公理集合,自行其事。一旦突破公理,出现悖论,人类会产生思想飞跃,AI只有死机。人类会自主判定排中律的适用范围,而AI不会,人类会作形而上学预设,而AI不会,如此等等,不一而足。在这一意义上,弗兰肯斯坦(Frankenstein)的故事只能存在于科幻小说里。
让我们回到哥德尔第二不完备定理。如果用“我”来替换“蕴涵皮亚诺算术公理的形式系统”,那末,该定理可以表述为: 我可以证明别人是协调的,但不能证明自己是协调;如果我可以证明我是协调的,那么我是不协调的。这就跟现实挂上了钩,一般读者都能心领神会。打个通俗的比方,法庭上经常听到如下对话,
法官: 有人告你杀人。
嫌犯: 我没杀人。
法官: 你说没用,有证人吗?
也就是说,我可以为别人作证,但不能为自己作证。再形象一点,揪住头发,我可以将别人提离地面,但无法将自己提离地面。如果不是自提自,而是李逵提张顺,理论上也是可以的。如果扩大范围,把无穷集合拉进画面,那相当于A揪住B,B揪住C,...,x揪住y,...,只要序列里有一个人脚踏实地,比如上帝,依然是可以的。怕就怕无人脚踏实地,而此情时有,但被无限掩盖于无形,如罗素的类型论。问题再次回到数学存在。无限算不算数学实体?无限究竟是完成的实体,还是未完成的虚构?世界究竟是物质的,还是精神的?
现实世界中不会出现的画卷,抽象思维里可能出现,而且经常是,悖谬已出,人不自知,非但不知,反用包含悖谬的理论指导实践。罗素,哥德尔,布劳威尔,爱因斯坦等人的伟大之处在于,世人皆微醺,大师独清醒。放眼AI世界,遍地良匠下夕烟,不见大师出深山。
---------------------------------------------
① Let
在数学定义里,Let的使用比比皆是,司空见惯。比如,
Let ????(xi) be a wf of ?.
Let g(() = 3,
Let g()) = 5,
Let g(∀) = 13,
Let g(xk) = 7 + 8k for k = 1, 2,...,
Let p be the Gödel number of wf.
Let s1, s2, ..., sr, be strings of symbols of ?, and define
g(s1, s2, ..., sr) = 2g(s1) x 3g(s2) x ... x pr(sr).
...
Let R = { x ∣ x ∉ x }.
千百年来,数学家们就是这样思考,这样说话,这样著书立说的。尽管包尔查诺(Bernard Bolzano 1781/10/05 - 1848/12/18)等人有过疑问,终未掀起波澜。直到罗素将R={x∣x∉x}化归为说谎者悖论,人们才意识到用Let跑马圈地的日子结束了。布劳威尔明言,你说那片地是你的,有地契吗?他所说的地契就是数学构造。
② 在有限步骤内
这一限定与布劳维尔否定传统逻辑里的排中律(PEM)的普遍有效性密切相关。他认为,排中律是从有限事物中概括出来的,但是如果人们忘记排中律的有限来源,将其用于无限的场合,就会犯错误。详情容下篇细述。
③ 皮亚诺算术公理
意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano 1858 - 1932) 提出的关于自然数的公理系统。皮亚诺的公理系统,共包含五条初始公理,可用非形式化的方法叙述如下:
根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。