形而上学畅想 - 数学存在

二，数学存在

如前所述，在外部世界存在这一问题上，自然科学的一般态度是不搞争论，埋头搞发展，闷声发大财。数学家最有个性，径直宣称能被1和本身整除的数存在，并令R={x∣x∉x}。这个“令”对应于英文里的Let①，亦即Let there be light里的Let。那是耶稣的话语，让有光。耶稣可以说，到我这里来，我是真理，我是道路。数学家也可以这样说吗？你信不信的吧，反正他们说话就那口气，说完还证明给你看。

在一阶谓词逻辑里，存在量词∃x的意思是，存在一个x，至于x是什么不重要，重要的是它满足定义。∃应该来自Exist的首字母，至于具体是exist，there is，sein，还是dasein无所谓，只要不导致自相矛盾就好。也是的，数的存在看不见，摸不着，只能靠逻辑推导。逻辑思维不到一定高度，哪怕全人类都含笑九泉，也不会有人发现问题。

忽一日，罗素发现，集合(R)的定义导致矛盾。R={x∣x∉x}译成白话就是，(R)是所有不属于自身的集合组成的集合，具体推导如下，

假设R∈R: 根据(R)的定义，x∈Rx 意味着 x∉x，故 R∈R 推出 R∉R，此乃矛盾。
假设R∉R：根据(R)的定义，x∉x 意味着 x∈Rx，故 R∉R 推出 R∈R，此亦矛盾。
结论：无论R∈R还是R∉R，皆导致矛盾。

罗素进一步发现，集合论悖论与古希腊的理发师悖论等价。于是，人们顿觉数学大厦将倾，此即所谓第三次数学危机。集合论悖论既涉及无限(infinity)，又涉及自指(self-reference)，多数解决方案都围绕这两点发力，很少有人对数学存在产生疑虑。

忽一日，布劳威尔(Luitzen Brouwer，1881/02/27 - 1966/12/02)的注意力落到数学定义的本体论性质上，遂对数学存在产生疑问，于是，直觉主义数学应运而生。直觉主义数学的座右铭是，存在就是被构造(to be is to be constructed)。换言之，数学实体的存在是被构造出来的，数学命题为真当且仅当能被精神过程证明。后者是全体数学家的共识，关于前者，意见出现分歧。

在形式主义和逻辑主义那里，决定数学存在的是无矛盾性。具体说来，集合R={x∣x∉x}导致矛盾，故不存在。直觉主义认为，无矛盾性只是数学存在的必要条件，而不是充分条件。充分条件是，这类实体必须能够被构造出来。换言之，一个集合存在当且仅当能在有限步骤内②构造出来。显然，在有限步骤内无法构造R={x∣x∉x}这样的集合，不仅如此，就连“所有集合的集合”也无法构造。于是有，无法构造的数学实体不存在。集合(R)既不存在，集合论悖论也不复存在。这是布劳威尔的直觉主义对集合论悖论的解决方案。

罗素则试图用类型论(theory of types)来解决集合论悖论。类型论的要点在于，命题符号不能包含于自身之内，换言之，任何命题都不能自指。对此，维特根斯坦认为，罗素的方案行不通，因为类型论在为符号建立规则时必须提及符号的意义。维氏用反证法来说明这一点。如果函项F(fx)可以自指，则可以构造这样一个命题，F(F(fx))。括号内外共有的F只是个抽象的符号，不指称任何实在，因而可以是任何形式。这样一来，内部的F与外部的F意思必定不同，因为内部F的形式是φ(fx)，外部F的形式是ψ(φ(fx))。如果把F(Fu)的定义改写为，(∃φ):F(φu).φu == Fu，集合论悖论将消解于无形。

哥德尔(Kurt Gödel 1906/04/28 - 1978/01/14)对这一问题的见解被认为最深刻，因为他给了形式主义致命一击。其实，哥德尔并没有直接提出解决悖论的方案，只是告诉人们，形式化的系统不完备，故在纯形式系统里这个问题无解。这是哥德尔两个不完备性定理的精神实质。第一不完备性定理说，在一个足够强的算术系统内，若系统是完备的，则一定存在不可判定的命题，即不相容，反之，若它是相容的，则一定不完备。第二不完备性定理说，任何协调的形式系統，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就不能用于证明它本身的协调性。

第一不完备性定理所谓“足够强的算术系统”虽未点名，实际剑指罗素和怀海特合著的Principia Mathematica里的公理系统。那是一个庞大的公理系统，一个宏大的思想体系，难以简言以蔽之。第二不完备性定理倒是相对具体，特指蕴涵皮亚诺算术公理的形式系统，可以稍作发挥。皮亚诺算术公理③是何方神圣？为什么好好一个形式系统，一旦蕴涵皮亚诺算术公理，便不能证明自身的协调性？数学家的解释可能滴水不漏，但肯定抽象枯燥，莫名其妙，影响普罗大众把握其精神实质。

撇开数学语境，一言以蔽之，根本原因是算术公理系统涉及无限。每个自然数都有后继，而自然数是一个无穷集合。无穷就是永远在路上，却永远不能到达。对于形式系统来说，其协调性的证明则永远不能完成，“证明永远不能完成”与“无法做出证明”，二者等价。在这一意义上，哥德尔与布劳威尔英雄所见略同。

喜欢技术细节的读者可能对定理的证明感兴趣，可惜，那部分内容极其枯燥冗长，30页的简化证明都可能让99.9%的读者迷失在符号的海洋里，遑论300页的正规证明。其实，注释①便包含其简化证明里初始定义的九牛一毛，聊作管中窥豹之用。好在人脑不必与电脑一般见识，电脑要用成千上万符号来表达的命题，人脑可以一P而过，电脑要累得死机才能生成的证明，人脑可以一喻而明。

近来，AI成为关注热点，不少人担忧AI会超越人的智慧。一个个体若为自己担忧，其忧不无道理，因为AI经过充分训练，必定集所喂数据之大成，而一个普通人所掌握的数据不会超过AI。换言之，若拼算力，人脑拼不过电脑。然而，若因此而为人类担心，则肯定是杞人忧天。AI是人造的，携带人类的某些局限性，但没有携带人类的主观能动性。

近百年前，爱因斯坦就指出，理论只能是发明的，不可能仅由观察结果编织而成。当年这话的矛头所向是实证主义，如今放之于AI亦准。AI长于编织数据，即喂给它的观察结果，数据越庞大，优势越明显。但是，AI只是一部庞大的推理机器，不会创造发明。给定初始公理集合，AI能够按照推理规则推出所有定理，但不会试图突破公理集合，自行其事。一旦突破公理，出现悖论，人类会产生思想飞跃，AI只有死机。人类会自主判定排中律的适用范围，而AI不会，人类会作形而上学预设，而AI不会，如此等等，不一而足。在这一意义上，弗兰肯斯坦(Frankenstein)的故事只能存在于科幻小说里。

让我们回到哥德尔第二不完备定理。如果用“我”来替换“蕴涵皮亚诺算术公理的形式系统”，那末，该定理可以表述为: 我可以证明别人是协调的，但不能证明自己是协调；如果我可以证明我是协调的，那么我是不协调的。这就跟现实挂上了钩，一般读者都能心领神会。打个通俗的比方，法庭上经常听到如下对话，

法官: 有人告你杀人。
嫌犯: 我没杀人。
法官: 你说没用，有证人吗？

也就是说，我可以为别人作证，但不能为自己作证。再形象一点，揪住头发，我可以将别人提离地面，但无法将自己提离地面。如果不是自提自，而是李逵提张顺，理论上也是可以的。如果扩大范围，把无穷集合拉进画面，那相当于A揪住B，B揪住C，...，x揪住y，...，只要序列里有一个人脚踏实地，比如上帝，依然是可以的。怕就怕无人脚踏实地，而此情时有，但被无限掩盖于无形，如罗素的类型论。问题再次回到数学存在。无限算不算数学实体？无限究竟是完成的实体，还是未完成的虚构？世界究竟是物质的，还是精神的？

现实世界中不会出现的画卷，抽象思维里可能出现，而且经常是，悖谬已出，人不自知，非但不知，反用包含悖谬的理论指导实践。罗素，哥德尔，布劳威尔，爱因斯坦等人的伟大之处在于，世人皆微醺，大师独清醒。放眼AI世界，遍地良匠下夕烟，不见大师出深山。

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① Let

在数学定义里，Let的使用比比皆是，司空见惯。比如，
Let ????(x_i) be a wf of ?.
Let g(() = 3,
Let g()) = 5,
Let g(∀) = 13,
Let g(x_k) = 7 + 8k for k = 1, 2,...,
Let p be the Gödel number of wf.
Let s₁, s₂, ..., s_r, be strings of symbols of ?, and define
g(s₁, s₂, ..., s_r) = 2^g(s₁) x 3^g(s₂) x ... x p_r^(s_r).
...
Let R = { x ∣ x ∉ x }.
千百年来，数学家们就是这样思考，这样说话，这样著书立说的。尽管包尔查诺(Bernard Bolzano 1781/10/05 - 1848/12/18)等人有过疑问，终未掀起波澜。直到罗素将R={x∣x∉x}化归为说谎者悖论，人们才意识到用Let跑马圈地的日子结束了。布劳威尔明言，你说那片地是你的，有地契吗？他所说的地契就是数学构造。

② 在有限步骤内

这一限定与布劳维尔否定传统逻辑里的排中律(PEM)的普遍有效性密切相关。他认为，排中律是从有限事物中概括出来的，但是如果人们忘记排中律的有限来源，将其用于无限的场合，就会犯错误。详情容下篇细述。

③ 皮亚诺算术公理

意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano 1858 - 1932) 提出的关于自然数的公理系统。皮亚诺的公理系统，共包含五条初始公理，可用非形式化的方法叙述如下：

1. 1是自然数；
2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
3. 如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b = c；
4. 1不是任何自然数的后继数；
5. 任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理保证了数学归纳法的正确性）

根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。