集合的除法运算

学习了KDE235大师对f(x)存在性的证明过程，其中提到等价关系与等价类的概念。明了这两个概念及其基本性质是明了其证明的前提条件。下面简述一下我对这两个概念通俗与浅显的理解。

 

在初等算数中有除法，例如，我们要把80个苹果装到袋子里，每袋装8个苹果，问可装多少袋子。类似于此，我们在日常生活中经常要对某些事物按该事务的某种特性进行分类，比如按性别对人或动物的分类，按品种或颜色对花卉或植物的分类。这种分类和算数中的除法有类似之处，都是将一个整体做某种分拆。但在数学中，具体说集合论中，对这种分类有着更严格与明确的定义。

这种严格的定义基于“等价关系”上。在一个给定的集合中，各种元素之间如果有某种关系（这种关系可以是自然存在的，也可以是定义出来的），如果这种关系是等价关系，就是说这种关系要同时满足如下三种性质：

1。具有自身反射性：就是每个元素必须自身对自身要符合这种关系。

2。具有对称性：即如果a 与 b 具有这种关系，那么 b 和 a 同样具有这种关系

3。具有传递性：即如果a 与 b , b 与 c 具有这种关系，那么 a 与 c 同样具有这种关系。

例如，如果把汽车按颜色来分类，那么这种分类就是一个等价关系。另一个例子是把整数按余数来分类，例如选某个给定的非零整数 k 做除数，把所有的整数按所得的余数来分成k个不同的类别，也是一种等价关系。

相反地，如果把正方形沿对角线剪开这种操作，所得的结果就不是一个等价关系，因为剪开之后，所得的三角形和正方形不同类，失去了反射性。 此外，大于（或小于）的关系，也不是等价关系，因为这种关系不具有对称性。

 

当一个集合中两个元素具有等价关系的时候，在记法上为a ~ b, 读为 a 等价于 b, 或a, b 等价。当然，要把这种等价关系用某种方式表示出来。

 

把一个集合按等价关系进行分类之后，每个具体的类别组成一个等价类，是原来集合的一个子集。例如，汽车按颜色分类后，所有的红车组成红车类，蓝车组成蓝车类等。如果用5作为除数，所有的整数按余数可分为0，1，2，3，4 的余数类。在一个等价类之内，所有的元素是彼此等价的，因此，在记法上，选取任一个元素作为这个等价类的代表，用一个中括号来标识这个等价类。例如，【3】={k; k= 3 (mod 5)} 就是除5余3的等价类，当然，你也可以用【8】来表示同样的等价类。

 

等价类的一个重要性质是，基于一个等价关系来对集合进行分类，所得的等价类是彼此独立的，而且集合中的每个元素能且只能属于一个等价类。这是一种很科学的分类方法，经此方法的分类之后的结果清晰明了，不会有模糊的地方。

 

用上面的方法分类之后，在数学上就是对这个集合进行了除法运算。记为S/~.  其中~是一个给定的等价关系。