地球上从北极到南极打个洞，扔一块石头进去引发的思考

石头在到达地心之前的向心运动是加速运动，到达地心速度最大。然后减速做离心运行驶向地球的另一端。

 

假设孔大于石头的最大尺寸而没有接触摩擦。视有无空气阻力而产生两种结果。

 

如果没有或不考虑空气阻力，这块石头会在南北极之间以正弦方式做往复运动永不停止。每次向心运动时是加速运动，以最大速度穿越地心后，以减速运动做离心运动而奔向地球的另一端。以此类推，循环往复而不休。

 

如果有空气阻力，每次离心运动的最大行程都会小于其前次的最大行程。经过若干次这样的往复运动后而停止在地心。

 

这里假设地心不是铁水，石头不会融化。

 

在某一时刻，设石头距地心距离为 r （r< = R, R 地球半径），假设地球密度均匀（理想假设）

则地球对石头的万有引力只来源于rR 物质对石头的万有引力等于零）。

这部分质量 Mr = C* r^3 (C为与r无关的常数）。来自地球对石头的万有引力 Fr =G (m*Mr)/r^2=G*m*C*r^3/r^2 = G*m*C*r  = K*r  (K=G*C*m, m 石头的质量）.

 

如果将 有向坐标 z 的原点 置于地心，正方向指向石头初始位置，则 Fz = -K*z 。 这和弹簧力一致。

 

在不考虑空气阻力情况下，石头的运动方程为（牛顿第二定律）：

 

m * d^2z/dt^2 +K * z = 0

设初速度为零，dz/dt =0; z0 = R, 解此方程得：

 

z = R*cos (omega t)    其中 omega =sqrt(m/K)=sqrt(g/R), g: 重力加速度；omega=0.00124 rad/sec ，其行程公式为：

 z=6356.9 cos(0.00124 t) 公里  （t: 秒）

周期 T= 2*pi/omega = 1小时24分20秒

由于cos(omega t) 最大最小值为 1 与 -1， z 在+R与-R之间交变，每约1小时24分20秒往返一次。     

（试计算一下如果将该石头从地面向上扔，恰好该石头经过84.34分钟返回地面，按自由落体假设其到达的最大高度是多少？在这种情况下，自由落体假设成立吗？）