五分钟用初中数学搞定狭义相对论

五分钟用初中数学搞定狭义相对论


前两天我准备写篇科普文章给小朋友讲讲相对论，但发现光速不变的假设不好理解，而且现有的相对论方程的推导都太复杂了（比如爱因斯坦的推导），要用到光传播的一系列假想实验。我想，这么优美的学说肯定有简单的解释。于是开始试着独立推导，结果发现根本不需要用到光速不变原理，相反，光速不变是一个结论。

首先，让我解释一下相对论研究的是什么问题。假设一个人坐在以速度v直线运行的火车（B)上，另一个人坐在火车的起点站（A)，两个人的手表开始是对好时间的，现在假设坐在车站的人观测到在时间t_A,离车站距离x_B的铁路线前方发生一起事故。那么，坐在火车上的人观测到的事故时间(t_b)、地点 (x_B)（相对于火车）是什么呢？这是一个小学生都会回答的问题。答案是：时间相同， t_B=t_A;而位置 x_B = x_A - vt_A （因为火车跑了vt_A距离）。这就是所谓伽利略坐标变换。相对论研究的就是这个坐标变换的问题，爱因斯坦根据光速不变假设，推断出运动的时钟会变慢等相对论效应，引起了一场科学的革命。

让我们假设在一般情况下，坐标的变换是 （下面的* 是乘号, sqrt 是平方根）
x_B = r * (x_A – v * t_A )

r是一个不随时间、地点变换的因子，显然如果r=1,上面的变换就回到伽利略变换了。如果我们换个角度看（车不动，地在退),铁路线相当于车的速度是 -v 。所以从车上观测到的坐标到地面坐标的变换公式应该是：

x_A = r * (x_B + v * t_B )

从以上两个一次方程，我们得出

t_B = r * t_A + x_A * (1 – r*r) /(r*v)

如果时间与空间的地位是对称的，那么时间的变换方程应该是 （就是把上面 x_B 方程中的 x,t换位）：

t_B = r * (t_A – v * x_A )

因此， 我们有
- r * v = (1-r*r)/ (r*v)

由上可以解出：
r = 1 /sqrt (1- v * v)

由上可见，速度v不能超过1，否则坐标就出现虚数了。所以单位速度也是最高速度。而且很容易验证，如果一个物体在一个参照系里的运动速度是1，在任何其他参照系里，其速度也是1。这个单位速度是什么呢？就是光速。

更详细的分析，在这个链接。