罗素的形式语言及其解释

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为了详细说明这种形式语言，我们首先需要介绍其基本词汇表（basic vocabulary），然后再展示如果从这些基本词汇来构造出句子。沿着这种方法，我们可以介绍出作为语法范畴（grammatical category）的公式的概念，在语法范畴两边分别是词汇表和句子。正是这样的句子（以其自身）表达出完整的思想或者命题。

102形式语言
Ⅰ. 词汇表
1．谓词（Predicates）
＝，A，B，C，……（谓词可以分成一元（1-place）、二元（2-place）……n元谓词（n-place predicate）。像“是红色的”这样表达个体属性的谓词就是一元谓词；像“…比…更重”这样表达在一对个体之间的关系的谓词就是二元谓词；依此类推。一个n元谓词就是在语法上可以结合n个项以形成一个公式的谓词。）
2．项（这类表达式指示或者指称的是单个个体。）
a. 变元（Variables）
x, y, z, x’, y’, z’, ……
b. 名字（Names）
x, y, z, x’, y’, z’, ……（简单说来，一个带有下划线的变元就可以将其视为一个名字。）
Ⅱ. 公式（Formulas）
1．原子公式（Atomic Formulas）
一个带有n个项的n元谓词就是一个公式（在‘＝’的情形中，我们是让项位于谓词的两侧）。
2．其他
如果Φ和Ψ都是公式，那么~Φ，（Φ∨Ψ），（Φ & Ψ），（Φ→Ψ）和（Φ Ψ）都是公式。如果v是一个变元并且Φ(v)是一个有v出现的公式，那么 v Φ(v)与 v Φ(v) 也都是公式。（有的时候，只要不会造成含混，括号也可以被省略。）

~Φ是Φ的否定式，可以读作或称为并非Φ；（Φ∨Ψ）是Φ与Ψ的析取式，可以读作或称为或者Φ，或者Ψ；（Φ&Ψ）是Φ与Ψ的合取式，可以读作或称为Φ并且Ψ；（Φ→Ψ）是一个条件句（conditional），其前件（the antecedent）为Φ,后件（the consequent）为Ψ，可以读作或称为如果Φ，那么Ψ；（Φ Ψ）是一个连结了Φ与Ψ的一个双向条件句（biconditional），可以读作或称为Φ当且仅当Ψ； v Φ(v)是对Φ(v)的一个普遍概括（a universal generalization），可以读作或称为对所有v的都有Φ(v)； v Φ(v)是对Φ(v)的一个存在概括（a existential generalization），可以读作或称为至少有这样的一个v满足Φ(v)。 v和 v都被称为量词（quantifier）。
103Ⅲ. 句子
1． 一个句子就是没有任何一个变元是自由出现的公式。
2． 一个变元的自由出现（Free occurrences of a variable）
一个变元的出现是自由的，当且仅当，它不是被约束的。
3． 变元的约束出现（Binding occurrences of variables）
一个变元在一个公式当中是约束出现的，当且仅当，该变元是在一个量词的辖域当中来使用的。
4． 出现量词 v或者 v的辖域（The scope of an occurrence of a quantifier v or v）
在一个公式当中出现的一个量词的辖域就是与直接跟随在该量词之后的那个（最小的完整的）公式。
Ⅳ. 例子
x (Fx→Gx)与 x (Fx & Gx)与每个都是句子，因为在这两个公式当中出现的带有量词的‘x’都处于量词的辖域当中。请注意，这两个句子：（ⅰ）Fx由于括号‘（’的分隔，所以它并非直接跟随在量词之后，而且（ⅱ）（Fx由于只有前括号‘（’而没有后括号‘）’，所以它不是一个完全的公式。与此相对照的是，( xFx→Gx)和( x(Fx & Hx)→Gx)都不是句子，因为在这两个情形中出现于‘G’之后的‘x’都是自由的。

对该语言的一种罗素式的解释
Ⅰ. 命题与命题函项（Propositional Functions）
句子表达命题。那些不是句子的公式（即“开公式”）表达命题函项。一个命题函项就是一种函项，它根据对自变元给定的对象，来给命题指派真值。例如，如果我们用谓词‘C’意指‘是一头奶牛’，那么公式‘Cx’就将表达一个函项：如果一个对象o作为主目（argument）的时候，该函项就会对表达o是一头奶牛的命题指派其真值。这个命题为真，当且仅当，o是一头奶牛，并且‘Cx’以‘x’命名o的方式表达出该命题。
Ⅱ. 真值（Truth）
1a.通过句子 v Φ(v)所表达出来的命题为真，当且仅当，通过Φ(v)所表达出来的命题函项对所有v可取的值而言都是真的——即，当且仅当，对每一个被使用在主目的对象o而言，函项都会指派一个含有o的真命题作为它的值。这种情况会出现，104当且仅当，对每一个对象o而言，如果用每一个自由出现的v去命名o的话，那么得到的Φ(v)就会表达一个真命题。
b.通过句子 v Φ(v)所表达出来的命题为真，当且仅当，通过Φ(v)所表达出来的命题函项至少对v可取的一个值而言是真的——即，当且仅当，至少有一个对象o可以满足如下的条件：当o被使用在主目的时候，该函项就会指派一个关于o的真命题作为它的值。这种情况会出现，当且仅当，至少有一个对象o，如果所有自由出现的v都去命名o的话，那么得到的Φ(v)就会表达一个真命题。
2a.通过句子~Φ表达出来的命题是真的，当且仅当，通过Φ表达出来的命题不是真的。
b.通过句子（Φ∨Ψ）表达出来的命题是真的，当且仅当，要么通过Φ表达出来的命题是真的，要么通过Ψ表达出来的命题是真的。
c.通过句子（Φ & Ψ）表达出来的命题是真的，当且仅当，不但通过Φ表达出来的命题是真的，而且通过Ψ表达出来的命题也是真的。
d.通过句子（Φ→Ψ）表达出来的命题是真的，当且仅当，并不存在如下的这种情况：（通过Φ表达出来的命题是真的，而且通过Ψ表达出来的命题却是假的）。
e.通过句子（Φ Ψ）表达出来的命题是真的，当且仅当，通过Φ表达出来的命题与通过Ψ表达出来的命题要么二者同时为真，要么二者同时为假。
3．谓词代表属性（或者关系）。名字代表对象。一个原子句就是由名字加单独一个谓词构成的。通过这种句子表达出来的命题是真的，当且仅当，被命名的这个对象（或者，这些对象）拥有谓词所指出的那种性质（或者承担谓词所指出的那种关系）。例如，如果‘C’代表那种是一头奶牛的属性，那么通过原子句‘Cx’所表达出来的命题是真的，当且仅当，由‘x’命名的对象是一头奶牛。每一个命题都是非真即假的。

命题的结构
最后，我们还要勾勒一下罗素的关于命题结构的理论。在罗素看来，命题是由那些被句子编码了的（encoded）信息构成的。他认为，（在逻辑上完美的语言中）被一个句子所编码的信息是一种复杂的实体（entity），其结构反映了句子的结构。在他的形式语言当中，通过该句子所表达出来的命题可以通过如下的方式得到确定：

Ⅰ.对一个由带有n个名字的单一谓词所构成的原子句Pt1... tn而言，其所表达出的命题是一个复合体，该复合体由通过谓词所表达出的属性（或者关系）与名字的指称物一同构成。
一个由一个或者更多自由出现的变元的原子公式Pt1... tn就其自身而言并不表达任何命题。但是，相对于指派对象作为公式中自由变元的（临时）指称物而言，这样一个公式也可以表达一个命题。这样一来，相对于自由变元的一个对象指派A而言，通过Pt1... tn表达出的命题也是一个复合体，该复合体由通过谓词所表达出的属性（或者关系）与相关于A的项的指称物一同构成（只有在公式当中有自由出现的变元的情况下，A才是相关的）。这样的命题是真的，当且仅当，这个（或者这些）对象拥有属性P*（或者处于关系P*当中）。
Ⅱ.通过一个（相关于指派A的）公式~Φ表达出来的命题是这样一个复合体：，其中Prop Φ是通过（相关于指派A的）Φ表达出的命题，而Neg则是表达是一个不为真的命题的属性。是真的，当且仅当，Prop Φ不是真的。
Ⅲ.通过一个（相关于指派A的）公式（Φ & Ψ）表达出来的命题是这样一个复合体：，其中Prop Φ和Prop Ψ是通过（相关于指派A的）Φ和Ψ表达出的命题，而Conj则是表达在两个命题之间的二者同时为真的关系。所以是真的，当且仅当，Prop Φ和Prop Ψ都是真的。类似的法则可以适用于通过（Φ∨Ψ）、（Φ→Ψ）和（Φ Ψ）表达出来的命题。
Ⅳ.通过一个（相关于指派A的）公式 v Φ(v)表达出来的命题是这样一个复合体：，其中g是一个命题函项，它将由一个相应于指派A’的Φ(v)所表达出来的命题指派到每一个对象o上，而指派A’则是将o指派为v的指称物（否则，A’就会同一于A）。而SOME则代表这样一种属性——106作为“有的时候为真”的命题函项（即，它可以将一个真命题至少指派到一个对象上）。因此，是真的，当且仅当，至少由一个对象“是Φ”。
通过一个（相关于指派A的）公式 v Φ(v)表达出来的命题是这样一个复合体：，其中g是一个命题函项，它将由一个相应于指派A’的Φ(v)所表达出来的命题指派到每一个对象o上，而指派A’则是将o指派为v的指称物（否则，A’就会同一于A）。而ALL则代表这样一种属性——作为“总是为真”的命题函项（即，它可以将一个真命题指派到每一个对象上）。因此，是真的，当且仅当，所有的对象都“是Φ”。