强力球彩票（Powerball）中奖分析与感想

这周强力球彩票（Powerball）的奖金是有史以来最高，因为上周的史上最高（九亿五千万）无人中奖，自动滚入本周。预计今天开奖时，奖金将高达15亿美元。

我们北大“四海同心”微信群的同学们，感谢群主超强的组织力和号召力，从周末开始众筹买彩票。本来是81人接龙，选81可能是取“九九八十一圆满”的意思吧。不到几小时，81人的青龙就接满了。又开第二条龙，可能是取“好事成双”的意思吧。不到一天，第二条龙也接满了。又开第三条龙，难道是“事不过三”的意思？

同学们来自五湖四海，天南地北。最大的乐趣还是参与，调侃，还有憧憬。最头痛的是中奖后这么多钱可怎么花呀？有的说买两个房，一座住人，一座养猪；有的说买两根冰棍，一根从这头舔起，一根从那头舔起 ---- 这世上有几件合法的事是有这么小的投入，但这么快这么大的回报的？还有理性，我听到的最有说法力或煽动性的说法是：不参与，中奖的概率为零；参与，中奖的概率接近零，但绝不是零！

近代的行为经济学，已超越了纯数学和古典概率的范畴，其中有一点就是发现：人类虽然从漫长的历史积累起的实际经验中能轻易地区分一个20%概率事件和一个80%概率事件，但是却不能轻易地区分一个33%概率事件和一个34%概率事件；另一方面又过分地夸大不可能和0.001%可能，以及绝对确定事件和99.9%可能事件的区别。

那么，中彩票的概率是多少呢？目前的游戏规则是：从69个白球中不放回随机抓取五个白球，再从26个红球中抓一个（强力球）。如果五白一红，六个球全中，那就中大奖啦！就这么简单。所以才有这么多人玩嘛。算中奖的概率也非常简单，只需要最基本的组合数学：所有可能的组合是69选5，再乘以26选1，即292,201,338，所以中奖的可能性是1：292,201,338（大约0.0000003%）。这概率有多小呢？一个篮球直径约25厘米，把292,201,338个篮球挨个排起来，从北京到纽约要三个来回，坐飞机飞要差不多90个小时。在这90个小时里瞬间随机抓了一个篮球，而这个篮球正是那个最幸运的金球的概率就是中奖的概率。

但因为这次是有史以来最高奖（约15亿美金），所以它的期望回报值是15亿美金再乘以这个0.0000003%，大约5.13美元。买张彩票才2块美金，回报值却是五块一毛三。所以这交易划得来啊！即使算上2块钱的成本，也有大约三块四毛五的回报。

但这个估算的最大缺陷是，没有考虑到可能有其他人或群体来分这笔奖金。从直觉上讲，玩的人越多，卖的彩票越多，平分的可能性就越大。如果知道卖了多少张票，平分的可能性就比较容易估算，因为这是典型的二项式分布。譬如说，如果卖了四亿张票，无人中奖的可能性大约是25%，而只一人中奖的可能性大约是35%，等等。

但如何估算卖了多少张票呢？或许可以根据以往的博彩历史数据估算，因为按照美国法律，博彩机构必须提供透明的以往的博彩数据。但是困难在于这次抽奖是史无前例，通过线性或多项式回归，我估算这次大约卖了六到九亿张票，平均每个美国人买了两三张。

 

有趣的是，即使把与其他人或群体来分这笔奖金的可能性算上，把成本算上，回报值仍然有$0.43（四毛三分钱）。简直是免费的午餐！

高兴之后才发现，原来没有把税算上，美国联邦政府和各级地方州郡区都要雁过拔毛的，光联邦政府就要割掉39.6%的尾巴。由于大多数人中奖后选择要现金（而不是分期领取29年），又要去掉大约32%。把这些算上，最后两块钱的彩票的期望值是多少？-$1.04（负的一块零四分钱）！

那为什么还有这么多人玩？因为不参与，中奖的概率为零；参与，中奖的概率接近零，但不是零！还有就是成本太低，诱惑太大！今天已没有多少人辩论彩票业的道德价值，美国除了南部的密西西比和阿拉巴马州，西部的犹太州因宗教原因，内华达州因竞争原因不开设彩票业，44州经常性地搞Powerball，并且会越来越大。抽来的税收主要用于州内教育，环境保护，犯罪防治，公共设施等地方。

对于我来说，本来想在多年才逢的Moment里，随便写点感想，没成想乌央乌央涂这么多，主要是跟同学们一起幻想彩票，带来的快乐，远远超过一杯星巴克。

[老粗]

文笔真好！有理有据。