强力球彩票(Powerball)中奖分析与感想
文章来源: zhao_纽约20162016-01-13 07:08:28

这周强力球彩票(Powerball)的奖金是有史以来最高,因为上周的史上最高(九亿五千万)无人中奖,自动滚入本周。预计今天开奖时,奖金将高达15亿美元。

我们北大“四海同心”微信群的同学们,感谢群主超强的组织力和号召力,从周末开始众筹买彩票。本来是81人接龙,选81可能是取“九九八十一圆满”的意思吧。不到几小时,81人的青龙就接满了。又开第二条龙,可能是取“好事成双”的意思吧。不到一天,第二条龙也接满了。又开第三条龙,难道是“事不过三”的意思?

同学们来自五湖四海,天南地北。最大的乐趣还是参与,调侃,还有憧憬。最头痛的是中奖后这么多钱可怎么花呀?有的说买两个房,一座住人,一座养猪;有的说买两根冰棍,一根从这头舔起,一根从那头舔起 ---- 这世上有几件合法的事是有这么小的投入,但这么快这么大的回报的?还有理性,我听到的最有说法力或煽动性的说法是:不参与,中奖的概率为零;参与,中奖的概率接近零,但绝不是零!

近代的行为经济学,已超越了纯数学和古典概率的范畴,其中有一点就是发现:人类虽然从漫长的历史积累起的实际经验中能轻易地区分一个20%概率事件和一个80%概率事件,但是却不能轻易地区分一个33%概率事件和一个34%概率事件;另一方面又过分地夸大不可能和0.001%可能,以及绝对确定事件和99.9%可能事件的区别。

那么,中彩票的概率是多少呢?目前的游戏规则是:从69个白球中不放回随机抓取五个白球,再从26个红球中抓一个(强力球)。如果五白一红,六个球全中,那就中大奖啦!就这么简单。所以才有这么多人玩嘛。算中奖的概率也非常简单,只需要最基本的组合数学:所有可能的组合是69选5,再乘以26选1,即292,201,338,所以中奖的可能性是1:292,201,338(大约0.0000003%)。这概率有多小呢?一个篮球直径约25厘米,把292,201,338个篮球挨个排起来,从北京到纽约要三个来回,坐飞机飞要差不多90个小时。在这90个小时里瞬间随机抓了一个篮球,而这个篮球正是那个最幸运的金球的概率就是中奖的概率。

但因为这次是有史以来最高奖(约15亿美金),所以它的期望回报值是15亿美金再乘以这个0.0000003%,大约5.13美元。买张彩票才2块美金,回报值却是五块一毛三。所以这交易划得来啊!即使算上2块钱的成本,也有大约三块四毛五的回报。

但这个估算的最大缺陷是,没有考虑到可能有其他人或群体来分这笔奖金。从直觉上讲,玩的人越多,卖的彩票越多,平分的可能性就越大。如果知道卖了多少张票,平分的可能性就比较容易估算,因为这是典型的二项式分布。譬如说,如果卖了四亿张票,无人中奖的可能性大约是25%,而只一人中奖的可能性大约是35%,等等。

但如何估算卖了多少张票呢?或许可以根据以往的博彩历史数据估算,因为按照美国法律,博彩机构必须提供透明的以往的博彩数据。但是困难在于这次抽奖是史无前例,通过线性或多项式回归,我估算这次大约卖了六到九亿张票,平均每个美国人买了两三张。

 

有趣的是,即使把与其他人或群体来分这笔奖金的可能性算上,把成本算上,回报值仍然有$0.43(四毛三分钱)。简直是免费的午餐!

高兴之后才发现,原来没有把税算上,美国联邦政府和各级地方州郡区都要雁过拔毛的,光联邦政府就要割掉39.6%的尾巴。由于大多数人中奖后选择要现金(而不是分期领取29年),又要去掉大约32%。把这些算上,最后两块钱的彩票的期望值是多少?-$1.04(负的一块零四分钱)!

那为什么还有这么多人玩?因为不参与,中奖的概率为零;参与,中奖的概率接近零,但不是零!还有就是成本太低,诱惑太大!今天已没有多少人辩论彩票业的道德价值,美国除了南部的密西西比和阿拉巴马州,西部的犹太州因宗教原因,内华达州因竞争原因不开设彩票业,44州经常性地搞Powerball,并且会越来越大。抽来的税收主要用于州内教育,环境保护,犯罪防治,公共设施等地方。

对于我来说,本来想在多年才逢的Moment里,随便写点感想,没成想乌央乌央涂这么多,主要是跟同学们一起幻想彩票,带来的快乐,远远超过一杯星巴克。