一次彻底失败之成功

戴榕菁

过去这些年里我做过很多哲学项目，不论是抽象的社会动力分析，还是经典哲学解译，还是对于逻辑本身的抽象探索，还是诊断专业哲学的衰败原因，还是心理人文探索，还是经济动态规律分析，还是关于自然与超自然的形而上学，还是推翻宏观能量必须守恒的结论，还是推翻狭义相对论并指出量子理论和广义相对论的一些相应的缺陷，甚至是推翻所谓的康托连续性假设（即希尔伯特第一问题），等等等等，感谢上帝，我都令自己惊奇地一路顺风地披荆斩棘，屡获成功，而且所有的成功都是历史性的和突破性的，没有任何对前人工作的重复，包括对老子，柏拉图，亚里士多德，康德，黑格尔的解读都一再纠正相关的领域的专业哲学家们的错误，有些是他们至今也不明白的错误，有些是他们中的一些人这两年里也开始改正的错误（比如，将Transcendental和a priori都翻译成“先验”这个错误）。尽管其间也出现过一些错误和挫折，但都很快在没有得到任何其他人的指正和帮助的情况下，被我自己纠正了。当然，我自己明白这完全是上帝的带领的结果！

或许有人会质疑说：你贴出来的都是成功的，谁知道你背后有过多少失败的例子没有贴出来呢。坦白地说，不论你们信还是不信，过去这些年里我所花费时间的项目中只有一个项目是彻底失败的，不过与我这些年所做的其它项目不同，那个项目基本上称不上是一个哲学项目。我在开始的时候也曾想着或许我可以借助哲学分析为那个号称是让所有的数学家栽跟头，甚至可以说是数学家坟场的看似最简单的数学题目开辟一个不同于数学家们的新思路，但是很快就意识到没那么简单。所以那次的失败应该是自己的一次任性尝试的结果。

很多读者可能已经猜到，那个失败的项目所针对的数学题目就是著名的考拉兹猜想（Collatz Conjecture）。我前后共尝试了两次，第一次是2021年看了Veritasium（即Derek Muller）的相关视频【[1]】后，感觉这个问题确实如他所说看上去非常简单，因而出于好奇就想试一下，正好几天后需要去车行维修车子且被告知可能要等很长时间（那时是新冠正猛的时期），所以我就背个书包，揣了一些废纸，在车行开始了白纸黑字的推导，但很快发现这个问题与哲学没什么关系，所以离开车行后就再也碰过它，不过心里还想着按照自己的思路做下去或许有戏，打算日后有时间或许还可以再捡起来玩玩。

第二次是今年3月底，在以为推翻狭义相对论的工作可以告一段落的时候正好有点时间就又捡起了这个考拉兹猜想，但4天后终于明白了这是一个至少目前对我来说是一个不可能完成的任务而且今后恐怕也不会再去碰的问题，于是就是彻底撒手。

或许有人会说，要想解决考拉兹猜想至少要先去看看别人怎么做的吧。我当然不会去干这事，那是因为从一开始我就认为这不是一件正经的事，纯粹是一种诱惑之下的尝试，看看哲学分析在这里是否能有点作用，如果我的思路能走通，那一定是前人没有走过的，如果自己的思路走不通，那就不会再去深究。当然，我还是简单地了解了一下他人（包括Muller介绍）的思路，知道我自己的思路与数学界的不同。尽管如此，只有象我这样尝试过的人才能体会其中的诱惑，所以即便我一开始并没打算陷进去，我仍将自己对考拉兹猜想的浅尝辄止的果断退出看成是一种自律的成功。

前两天YouTube名为“雅桑了吗”中文频道又在谈论这个考拉兹猜想【[2]】，该视频的标题提醒我何不将我自己那个失败了推导过程写出来。一方面虽说我的尝试不成功，但我失败的一个很重要的原因是不具备应有的计算手段（我所有的就是一台老旧的windows10笔记本），而我推导的过程与数学界的思路不一样，且至少从一个角度将该问题的难点揭露了出来，说不定别人有条件的按照相同的思路能够取得进展呢；另一方面反正我已不打算再碰它了，既然已经花费了几天的时间，就不如将自己的思路公布出来也算没完全浪费时间。

先简单介绍一下考拉兹猜想（Collatz Conjecture）【[3]】:

任何一个（大于2的）自然数，如果它是偶数，那么将它除以2，如果是奇数，那么将它乘以3再加1。然后如果所得结果不是4，2，1，就再重复上述操作，最后的结果一定会落在4，2，1之中。而上述的变换也叫做考拉兹变换。当然，考虑到4，2按照考拉兹变换结果也是1，也可以说考拉兹变换最后结果就是1。

现在来谈一下我的思路。我的基本思路是将自然数按照考拉兹变换来分类，找到这种分类的一般表达式，然后看是否能证明这样的分类可以覆盖所有的自然数。下面将第k类写成N_k，并将变换后得到4，2，1的称为考拉兹数。我们先考察几个有限的k，看是否能总结出规律来。下面推导中的整数都是非负的。

第一类N₁: 令N₁= 2ⁿ，           n为大于等于1的任意整数                                                                            (1)

很显然，N₁一定是考拉兹数。

第二类N₂：令 3N₂ + 1 = N₁= 2ⁿ                                                                                (2)，则有 

N₂ = (N₁ – 1)/3 = (2ⁿ – 1)/3                                                                                          (2a)

很显然，N₂一定是考拉兹数，且不难证明 (2)中的n 一定为 2m，m为任意非零整数，所以

N₂ = (2^2m– 1)/3                                                                                                             (2b)

第三类N₃： N₃ = N₁N₂= 2ⁿN₂                                                                                                    (3)

很显然，N₃一定是考拉兹数。

第四类N₄：令3N₄ + 1 = N₃= N₁N₂= 2ⁿN₂                                                                  (4)，则有 

N₄ = (N₁ N₂– 1)/3 =[ 2^(2m+n) -2ⁿ -3]/3²                                                                           (4a)

很显然，N₄一定是考拉兹数。

第五类N₅： N₅ = N₁N₄= 2ⁿN₄                                                                                                    (5)

很显然，N₅一定是考拉兹数。

第六类N₆：令3N₆ + 1 = N₅= N₁N₄= 2ⁿN₄                                                                  (6)，则有 

N₆ = (N₁ N₄– 1)/3 =[2^(2m+n?+n?) – 2^(n?+n?) – 3x2^n? – 3²]/3³ (6a)，

其中的x表示乘号。很显然，N₆一定是考拉兹数。

第七类N₇： N₇ = N₁N₆= 2ⁿN₆                                                                                                    (7)

很显然，N₇一定是考拉兹数。

第八类N₈：令3N₈ + 1 = N₇= N₁N₆= 2ⁿN₆                                                                  (8)，则有 

N₈ = (N₁ N₆– 1)/3 =[2^{(2m+n?+n?+n?)} – 2^(n?+n?+n?) – 3x2^(n?+n?) – 3²x2 ^n?–3³]/3⁴                         (8a)，

其中的x表示乘号。很显然，N₈一定是考拉兹数。

到这一步我们已经可以很清楚地看出考拉兹数的一般表达式如下：

N_2k = [(2^2m-1)2^f(k,1)-3x2^f(k,2)-3²x2^f(k,3)-……-3^(k-2)x2^f(k,k-1) – 3^(k-1)]/3^k                                               (9a)

N_2k+1 = N₁ N_2k=2ⁿN_2k                                                                                                   (9b)

其中的x表示乘号，函数f(k,t)为：

              (10),

而n_{t（t=1,2,3,…,k-1）}是任意的自然数，我们并不知道其具体值与N_k之间有什么隐藏的规律。

很显然，按照上面一步步的思路，所有考拉兹数必然都能由(9a)和(9b)来表达。那么接下来的问题是：由(9a)和(9b)表达的考拉兹数是否覆盖所有的自然数？答案显然是肯定的，否则考拉兹数集合与自然数集合就不重合，那么考拉兹猜想就不成立了。问题是如何证明这一点。

一个简单的思路是证明一个考拉兹数加1或加2之后仍然是考拉兹数，但这样的难度是很大的，原因很简单：N_2k与k之间不存在一个简单的单调关系。N_2k增加1或2，k可以向上（即变大）或向下（即变小）好几位数。

那么是否可以证明由(9a)和(9b)表达的两个考拉兹数的（非负）线性叠加仍是考拉兹数呢？这个我也证不出来。到了这一步，我彻底明白接下来就不是我能玩的游戏了，所以就果断地退出了。

结束语

这就是这几年里我所做的唯一彻底失败的一个项目，耗时4天加上在车行的几个小时。

那么我为什么又说它是“一次彻底失败之成功”呢？主要有两个原因。其一，我很快判断出其（至少对于不具备相关的计算工具的我来说）之真正难点，从技术上说这算是一种成功；其二，更重要的是我当时理智地抵抗住了的进一步做下去的诱惑而果断地停止了该项目。

读者或许会说：这里能有什么诱惑呢？不会是吃不到葡萄说葡萄酸吧？还真不是那么回事。这里的诱惑还确实很大。诱惑的原因其实很简单：这个问题不但看上去实在太简单了，而且每一步都会让人觉得下一步也很简单。即便是我已经看出其诡谲多变的难点以及对于计算手段（即电脑）的高要求时，仍然会心里痒痒地觉得一定能找出其中的规律而跃跃欲试。所以，当时能够理智地战胜诱惑让我感到是一次比做出来更重要的成功。

 

 

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[[1]]  Muller, D. [Veritasium] (2021). “The Simplest Math Problem No One Can Solve - Collatz Conjecture”. [video] URL: https://www.youtube.com/watch?v=094y1Z2wpJg

[[2]] 雅桑了吗 （2023）“最簡單的不可能解決的小學數學題：3n+1猜想！陶哲軒說不可能證明”. [video] URL: https://www.youtube.com/watch?v=PWxGEOQ6aYo

[[3]] 维基百科“考拉兹猜想”.Retrieved from: https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E8%80%83%E6%8B%89%E5%85%B9%E7%8C%9C%E6%83%B3#:~:text=%E8%80%83%E6%8B%89%E5%85%B9%E7%8C%9C%E6%83%B3%EF%BC%88%E8%8B%B1%E8%AF%AD,%E6%9C%80%E7%BB%88%E9%83%BD%E8%83%BD%E5%A4%9F%E5%BE%97%E5%88%B01%E3%80%82

[慕容青草]

对于对本文提供的方法感兴趣的考粉们，我在英文版中提供了几个数的参数展开，有兴趣的可以去看：

https://murongqingcao.wordpress.com/2023/09/11/collatz-set/

[慕容青草]

澄清一点： 我文中说“那个项目基本上称不上是一个哲学项目”，指的是在得出方程（9）和（10）以后，想继续证明它们覆盖自然数，基本就是数学操作了。。。。但本文得出（9）和（10）的步骤其实还是非常哲学的，与数学界的思路完全不同。。。。