康托集合论之哲学误区

戴榕菁

 

1873年集合论的重磅人物康托证明了自然数与有理数一样多。他将所有的有理数排列成下面这个方阵：

1/1  1/2  1/3  1/4  1/5  ...

2/1  2/2  2/3  2/4  2/5  ...

3/1  3/2  3/3  3/4  3/5  ...

4/1  4/2  4/3  4/4  4/5  ...

5/1  5/2  5/3  5/4  5/5  ...

...    ...    ...    ...    ...

 

然后，给出一个浏览这个方阵的法则：从1/1开始，按45度角从左到右，从上到下数过来：

1/1, ½, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, ¼, 2/3, 3/2, 4/1, ….

有了这个法则，我们就可以从一个一个地将有理数进行排列：

(1) 1/1,

(2) 1/2,

(3) 2/1,

(4) 3/1,

(5) 2/2,

(6) 1/3,

(7) 1/4,

(8) 2/3,

(9) 3/2,

(10) 4/1,

….

康托声称，既然我们可以按照自然数序列来将有理数进行排列，那么我们就可以认为自然数和有理数一样多。由于康托这个荒唐的结论看似非常合理，它被之后的众多数学大咖们接受，而反对康托做法的人也未能找出有力的反驳的理由，其中有些人还因此被看作是挟个人恩怨的小度量。而康托按照是否能找到自然排序来衡量无穷集合大小的做法也就成为了集合论的基础之一。当那些大咖们看到康托的做法可能带来逻辑矛盾时，他们就想办法解决那个“悖论”，就如同罗素，图灵，哥德尔他们所做的，并因此创立了所谓的“自我指涉”悖论理论。但遗憾的是，尽管他们那些悖论想的很大而实际意义其实很有限，却没有一个人愿做戳破皇帝新衣的那个小孩，象我在“一不小心破解连续性假说（CH）？”一文中所做的那样来用最简单的数学例子对康托的理论进行检视，否则的话，他们应该早已发现我下面将要指出的康托理论的哲学错误。

（一） 研究的便利与实际数学意义之界线

康托的编号（denumerate）法则为人们研究无限集合提供了方便，最令人印象深刻的是根据他的编号法则，人们可以有一个区分无限大等级的依据：实数无法编号而代数数（algebraic number）因为可编号所以它们的长度不等。而有理数可编号所以与自然数一样多，或者说所有可以用自然数进行编号的序列都和自然数一样多。

但是，这样用编号来给无限集合提供判断“大小”的方法显然存在着哲学上的荒唐性：首先，在有理数的任意有限的长度范围内，不论它含有多少亿还是多少百万亿个元素，有理数一定比自然数多很多，所以，用康托编号法则得出的有理数和自然数一样多不具有任何物理实际意义；其次，如下面的（二）中将要指出的，用自然数编号判断无限大集合的大小本身在逻辑上是错误的。

（二）对于无限多的集合我们可以有无限多种排列

上面康托对于有理数与自然数一样多的证明中，他找到了一种为有理数进行排列的法则，按照这个法则，我们似乎可以给所有的有理数分配一个自然数编号，因此有理数似乎就与自然数一样多。但是，这里的前提是我们要将集合的元素数目延申到无限大。而当我们把集合的元素数目延申到无限大的时候，我们就可以有无限多种对于其中的元素进行排列的方式。我在“一不小心破解连续性假说（CH）？”一文中给出的就是将有理数的一个子集进行排列的一种方式，按照那种排列，很显然有理数的一个纯子集的元素绝对多于自然数。而我给出的那种按照自然数的大小发展进行排列的方式显然比康托编号法则更有实际意义，因为它在自然数的任何有限范围内都成立。

我在那个被academia.com删掉的讨论中将这一现象称为“假如希尔伯特的大饭店中有无限多个房间，那么我们就能有无限多种排列那些房间的方式”。我的意思是，康托找到了一种方便使用的排列方式，便将这种排列方式定义为衡量无限大集合的大学的法则在哲学上是错误的！我是先给出了这个论点，然后写了“一不小心破解连续性假说（CH）？”，再将其中的数学论证翻译成英文放到那个讨论中。不久那个讨论便被删掉了。

（三）数学与美学之间的区别

近代学术界有一个误区，就是用美学标准作为判断数学和物理学理论的价值的最根本的标准。这一误区的本质可用两个字来形容：“肤浅”。要特别强调一下，不是不能用美学标准来帮助判断数学和物理学理论的价值，因为自然界的很多现象都具有特殊的数学美；但是，如果将美学标准作为判断数学与物理学理论价值的最根本的标准那就不对了。这不是因为数学理论和物理学理论的价值在最根本的层面上不具有美学价值，而是因为人类的审美能力本身是有缺陷的，是肤浅的。

前面所介绍的康托给出的有理数方阵以及浏览该方阵的法则确实很漂亮。但这种漂亮更主要的是心理层面的冲击力，而不能代表有理数与自然数在本质层面上多少的全部意义，更确切地说它不能代表有理数与自然数数目多少之对比的实际意义。

（四）局部逻辑无限延申之误导

上述康托的编号法则是康托度量哲学的一个特例。康托度量哲学的基本思路是只要他能找出一对一的对应，那么那两者所含有的元素就是一样的。1877年康托另一个惊人之作便是“证明”了正方形的边长与正方形所含有的点数是一样的。这明显就是将基于现实的知识延申到超出现实的无限大领域而产生的哲学谬论，一个织布女工就能轻易地指出康托的上述结论有多荒唐，但是这个热衷于皇帝新衣的世界就是喜欢这种稀奇的作品，直到今天，康托的这一定理仍是集合论及与其相关的几何学的重要的基础理论之一。而这里康托的游戏之所以能成功，就在于那个希尔伯特大饭店里有无限多个房间，你想怎么玩都行。在这样的前提背景下，康托又找到了用边长上的点对长方形里的点进行“编号”的法则。既然边长上有“无限”多个点，他怎么玩都不会出现资源不足的问题，关键在于要找到那个法则。

（五）数学与自然现实的界线

人们除了因抵挡不住表面美的震撼力而混淆表面美学标准与实际的数学及物理学理论价值之外，也容易混淆数学的逻辑可能性与实际的自然现实。康托度量哲学的种种缺陷其实都与这种混淆有关。对于康托来说，只要找到一种法则或某个函数，就是在自然界有意义的现实。

这里我们要注意不要走到另一个极端去轻易地否认数学现实主义（mathematical realism）的合理性，因为这直接涉及到宇宙的根本特质的问题，而对于这个问题人类今天的知识是远远无法理解的。基于这个原因，我这里不会否认任何数学上存在的形式在现实中都可能具有某种对应的哲学观。但是，对于这一哲学观的肯定是建立在这样一个前提之下的：我们并不总是能够在特定的时间段里确定任何一种数学形式在自然中实际对应的现实意义。这与前面提到的人类审美能力的不足一样，并非数学与物理上合理的存在不美，而是人类的审美能力有局限。以正方形边长与正方形所含点数的对应来说，或许在某个未知的领域它具有一定的实际意义，但绝非在我们对于正方形和边长的几何关系的认识上有任何意义，更不能作为否定正方形含有无限多个边长上的点的结论的正确性的依据，也不能作为否定“正方形含有无限多个边长上的点的结论比康托的结论更具有现实合理性”的结论的依据。

。。。。。。

[慕容青草]

举个学过微积分的人都熟悉的简单例子：当n趋于无穷大时，根据洛必达法则，（n^2+1)/(n+1)将趋于无穷大。。。但是，按照康托告诉你的，它应该是趋于1，因为正方形边长上的点数与面上的点数一样。。。。

[慕容青草]

过去一百多年里包含众多学术界巨星在内一干人众参与的皇帝新衣大戏的一个共同特点就是那些戏剧中还常伴随着假讯息！

比如，有关能量守恒，一个流行的假讯息是说诺伊德证明了能量守恒，但实际真相是，如我在之前的文章中指出的那样，诺伊德定理的原文中根本没有说她证明了能量守恒，恰恰相反，她在那篇文章中明确指出广义相对论违背了能量守恒。。。

对于康托集合论。。。你今天上网随便一查，哇，一个个都说康托宣告了无限大并非都是一样大，打破了人类之前的误解。。。。但事实真相为比康托早两百年的洛必达法则就是教人们比较不同的无限大之间的大小的。。。而康托恰是在很大程度上混淆了很多不同的无限大之间的区别，比如本文所指出的几个例子。。。

[慕容青草]

对于不熟悉集合论和数论因而感到最近这三篇关于破解希尔伯特第一问题及讨论康托集合理论的文章不易懂的读者，这里是提示：

你按照本文所介绍的康托用来对有理数进行编号的法则来编号会发现，用不了多久，用来编号的自然数就远远大于（注意：不是大于，而是远远大于）所编号的对象。。。。。。这本身就表明拿自然数给有理数进行编号是超支的，是赤字经济，是入不敷出的。。。而康托之所以可以这么玩是因为他的库存里的货是无穷多，尽管他的无穷多根本比不上被编对象的无穷多，反正谁也不会真地去编无穷多的号。。。。。。这在哲学上是典型的诡辩（sophistry）。。。但诡辩在过一百多年的哲学界，物理学界和数学界已经成为一个常态。。。

你认为这样下去，人类文明还有希望？你认为这样下去世界末日还不会到来？？？