一不小心破解连续性假说（CH）？

戴榕菁

所谓连续性假说（Continuum Hypothesis，缩写CH）是有著名集合论大师康托在1878年提出来，又被希尔伯特在1900年列为23个数学问题的第一个，而且据说至今也没有明确答案的一个问题。其基本论点为：不存在这样一个集合，它的基数大于自然数集合的基数而小于实数集合的基数。

昨天在academia被邀请去参加某人证明CH的文章的讨论（https://www.academia.edu/s/a6ed99ac3f?source=link）。我之前从未关心过这个问题（不敢说没听说过，因为这些年读过的文章数不清，未必都留下印象。只能说没什么印象），不过昨天我直觉感到这个假说本身就是错的。我给出了一个简单的反例，但因为没有用到无穷的概念，被那里的人认为不能接受。今天我上网查了一下，发现康托本人的工作似乎并非要证明这个假说，而是要否定这个假说，只不过一直未成功。后来的哥德尔等人用复杂的数学也是为了证明这个假说不对，只不过未能成功而已。

上面这些信息对一上来就要否认该假说的我来说是很大的鼓舞，于是我便将昨天给出的简单的反例扩展到无穷大集合来否定CH的合理性。我个人至少目前感觉我的证明是严格的。下面是我的证明：

先证明有理数序列的基数大于自然数序列。

我们可以将自然数序列表达为：

1, 2, ….m, m+1,…..

其中m 是任意一个自然数，则我们可以构建下面有理数的无穷大序列：

1/2, 1, 1, 2, -1/2, -2, -1,-2, …..m/(m+1), (m+1)/m, m, m+1, -m/(m+1), -(m+1)/m, -m, -(m+1), …….

很显然，不论你如何延展这个有理数序列，它的基数都是自然数的4倍；即便我们要除去重复的数（除去所有被1除的数，及其它的整数倍的分数），它的基数也一定是大于自然数。

再来证明实数的基数大于自然数的基数。

对于任何一个大于1的有理数m/n，我们可以构造下面这个序列：

(m/n)^(1/2), (m/n)^(1/3), (m/n)^(1/4)…..(m/n)^(1/k)…..

该序列中的至少绝大多数都是无理数。所以，实数的基数一定大于有理数。

至此希尔伯特的23问题之第一问题的连续性假说（Continuum Hypothesis，CH）被否定。

。。。。。。

我的证明是个意外，因此欢迎数学大师们来找毛病。。。。

[慕容青草]

去年当有网友向我提出康托所制造的虚幻时，我还不以为然，现在看来这个世界是在相当程度上被康托洗了脑。。。本文可以帮助打击康托虚幻。。。。。。

[慕容青草]

这些年已经习惯了在最不会被认为是皇帝新衣的舞台上观看安德森的皇帝新衣动画片，先是哲学，后是物理学，现在又轮到数学。。。。。。

[慕容青草]

看来我又干对了！

academia的那个关于CH的讨论被删了。。。这些年来已经形成一个惯例，每当遇到这种对抗新哲学的怪事的时候，我就知道我又干对了。。。

如果这次我真的在无意中破解了希尔伯特23问题中的第一个问题的话，那真是上帝给我的又一大礼物！

感谢上帝的恩典！一切荣耀归于上帝！

顺便提一句，那个讨论被删前的内容我有存档，谁感兴趣，提供email或微信我可以传过去。。。。。