《数学：确定性的丧失》——这是真的吗？(中）

《数学：确定性的丧失》——这是真的吗？(中）


数学不再是一个真理体系。这是何等令人沮丧的事情啊！欧氏几何竟然是建立在一个有严重缺陷的逻辑基础之上的。而现代数学分析是建立在算术与代数的虚构的逻辑上。虽然严谨的思想家们承认必须摈弃数学是现实世界的真理的主张，但许多数学家仍然信奉原来的观念。

数学仍在发展，尽管它的某些方面不合逻辑。并且它在物理世界上的应用仍然成就辉煌。

当一种观念改变了人们的主要看法时，人们的表现通常是：一部分人完全不理会其观念的内容；另一部分人试图另寻出路；还有一部分人试图修复缺失的东西。为了修复数学有缺陷的基础，数学界分裂为逻辑主义派和直觉主义派。逻辑派认为所有的数学都可由逻辑推导出来。罗素就属于逻辑主义派。他早年属于柏拉图主义者。他试图把数学建立在严密的逻辑基础之上。他和怀特海合著的三卷巨著《数学原理》就是这一尝试。

罗素的努力最后失败了。我们所说的失败是指他未达到原来的目标。当然，失败不意味着罗素的工作毫无意义。罗素所用的公理是“合理”否，甚至它们是否是公理，数学家们都达不成一致意见。打个比喻：逻辑主义派想找出一个刚体的山谷修一道不漏水的大坝，结果发现任何坝体都漏水，且地下的基岩竟是沼泽一样的塑体。到了晚年，罗素自己已不相信数学能从逻辑中导出。

逻辑派对公众影响很大的一点是“罗素悖论”。这个悖论简单说，就是：一个集合的元素不可以包括该集合。否则，将带来逻辑矛盾。它可用一种变形的形式表达（仅指它的逻辑关系，不是指其内容）：“凡规则都有例外。”（你可以变出许多命题：“我说的全是谎话”。“世界上没有正确的东西。”……）若命题中的“凡规则”包括了自身，则它既不真也不能假——排中律被违反了。其实，“解决的办法”是：命题叙述的内容不可反身到自身，否则，将带来逻辑矛盾。电脑是一个技术工具，它不允许也不能忽略矛盾。若你编一段程序，内循环程序又包括了整个外循环程序段，那个程序要么不能工作，要么进入无穷循环。这取决于你写的代码。若该程序开始运行，你只要“杀死”该程序，才能停止它“疯狂”地运行。这是“罗素悖论”的一个“体现”。罗素自己就说过：“我们可以发现，在一切逻辑的悖论里都有一种反身的自指，这种反身的自指应该根据同样的理由加以指斥。那是说，它包含讲那个总体的某种东西（这种东西有时总体中的一分子）。如果这个总体已经固定了，这种东西才有明确的意义。”

蜘蛛网上常有人将类似的悖论变种拿来，还认为自己是发现了新大陆。其实，那是新“发明”自行车，且该车的是方形的。

直觉主义者是属于另找出路的一派。他的观点是：数学是人的直觉所创造的。克罗内克说过一句话可谓代表：“上帝创造了整数，其余的都是人的创造。”支持直觉主义的事实是：许多在数学这块板上钻过若干大小洞的人都知道，几乎全部的数学定理都是在各种思考方式下找到的，“证明”是后加上去的。爱因斯坦说过：从特殊到一般是靠直觉起作用。他可没说什么逻辑。当然，反对直觉主义的理由是：人的直觉经常出错。像“在某区间上处处连续，但处处不可导”的“病态函数”着实使许多数学家多少有点吃惊。还有一点，即使你是最坚定的直觉主义者，你若在论文中说：“根据本人的直觉，得到如下的结论：……”这样的论文是不会被接受的。还有更重要的一点是：根据直觉主义的观点，数学许多的部分要被废弃。排中律不能用于无限的集合中。

直觉主义者认为数学是人的创造。他们的某些对手也承认这一点。有人会想，既然数学是人的创造，那数学研究不就太简单了吗？我们的回答是：你来试试便知道了。

希尔伯特所领导的形式主义派认为：数学不是一种逻辑的结果，而是一种自然存在的法则。对待数学的可靠的方法是不把它当作实际知识，而是当作一种形式上的法则。数学思想的要素就是符号和符号组合或串联而成的命题。看来，他们是要调和逻辑派和直觉派的矛盾。今天所有的数学书中充满着各种符号，就是这一派的影响的体现。

另一派是策梅罗创建的集合论公理化派。顾名思义，这一派是要把集合论公理化。它想把前三者的某些东西结合起来。它的追随者最多。今天的高中生都要学一点集合论，就是这一派的功劳。某些没有历史感的历史学家经常在历史中找什么公理化思想就是受这一派的影响。

这几派互相攻击，有时也互相取所长。倒也相安无事。

但对数学进行了一场毁灭性打击的是哥德尔。