《数学：确定性的丧失》——这是真的吗？（下）

《数学：确定性的丧失》——这是真的吗？（下）


哥德尔在1931年发表了一篇论文《论数学原理中的形式不可判定命题及有关系统》。他的结论是毁灭性的：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不能通过逻辑体系的方法而建立。他的一个推论称为“哥德尔不完备定理”，是说：如果一个形式理论T足以容纳算术逻辑并且无矛盾，则T必定是不完备的。相容性是以不完备为代价的。数学家当年假设的相容性和完备性是我们数学逻辑所必需的两条的断言成为梦呓。

不仅仅是数学的全部，甚至任何系统都不能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理体系加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。任何系统内部都可能存在着不可判断的命题。这里的“不可判断”是指逻辑结构而言的，不是因为我们的智力愚钝或信息不足等原因导致的。

在这种意义上讲，何谈什么危机不危机的，说什么数学出现“危机”这一论断是假设一个前提，即认为：数学应是完备的和相容的，至少是相容的。

完备性和相容性是逻辑主义和公理化派（至少在部分意义上讲）赖以走路的两条腿，现在哥德尔告诉他们这两条腿无法同时满足——数学注定是一个瘸子。

在某种意义上讲，哥德尔不完备性定理是对排种律的否定。

至此，旨在1可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。是接受公理化派的方法，还是直觉主义的方法，数学家们不再有一致的看法。

魏尔说：“逻辑是数学家们用来保持他思想健康强壮的卫生手段。”证明确实起到了一定的作用，它减少了（不是消灭了）矛盾出现的危险。数学杂志接受论文时仍需有适当的证明，至于什么是“适当的证明”不会有天下共同的看法，它取决于数学家的观念而有别。

数学是人类的一种活动，它受制于人类的各种弱点和过失。它需要不断修正。尽管如此，数学仍是可用的最好知识的典范，仍是人类思想中最贵重的宝石。

数学在各个领域的应用依然是那样卓有成效。

数学界分裂成两大派：“纯粹数学”和应用数学。

荷马说，国王西西弗斯死后，諸神罚他推一块巨石上山，而在他接近山顶时，又使石头落到山下，于是他从新开始。如此劳作不已。克莱茵把现代的数学家比喻成现代的西西弗斯，他们将永远推下去。

我们也打个比方：数学像一个航空港的侯机大楼。大楼按照一定的应用要求和它自己“内部的规则”不断向前延伸。大楼向何方延伸取决于人不同时期的想法、航空港的限定和大楼本身的要求。各部之间可能出现无法协调的矛盾，但“工程师们”想方把它们降到最低，至少是为了使用方便的目的，保存它们在我们能忍受的程度内。这些“工程师”所干的东西就是今天的数学家们所从事的活动。

最后《数学：确定性的丧失》不是指1加2是不是等于3一类的问题，而是指：数学所描述的东西不再是“自然本身”所拥有的那样子——人类曾经那样认为过——那是一种幻觉而已。

爱因斯坦曾经说过：“我们不断对自然作出拷问：是这样吗? 是那样吗？自然界多数是沉默无语，偶然回答：也许是。”

我们可以把它用来描述今天的数学。