科普哥德巴赫猜想 & 1 + 1

送交者: lala 于 July 09, 2009

1 + 1是数论中存在最久的未解问题之一。其陈述为： 任一大于 2 的偶数，都可表示成两个质数之和。

将一给定的偶数表示成两个质数之和被称之为此数的哥德巴赫分割。例如，

                 4 = 2 + 2 
                 6 = 3 + 3 
                 8 = 3 + 5 
                 10 = 3 + 7 = 5 + 5 
                 12 = 5 + 7 
                 14 = 3 + 11 = 7 + 7 
                 …

这就是非常著名的哥德巴赫猜想.

1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫写信给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉, 提出了以下的一个命题。他写道：

"我的问题是这样的： 随便取某一个奇数，可以把它写成三个素数之和. 

         比如77可以把它写成三个素数之和：77 = 53+ 17 + 7； 
         比如461， 461 = 449 + 7 + 5， 也是这三个素数之和，
         461还可以写成461 = 257 + 199 + 5，仍然是三个素数之和。

这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。"

欧拉回信说：“这个命题看来是正确的".但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于6的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。

不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：
　　
                    2N + 1 = 3 + 2(N - 1)，其中2(N - 1) ≥ 4.

若欧拉的命题成立，则偶数2(N - 1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N + 1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

但严格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史.

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。 需要说明的是，这个9不是确切的9，而是指1，2，3，4，5，6，7，8，9中可能出现的任何一个。又称为“殆素数”，意思是很像素数。与哥德巴赫猜想没有实质的联系。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是10的500000次方，即在1的后面加上500000个“0”，是一个目前无法检验的数。所以，保罗赫夫曼在《阿基米德的报复》一书中的35页写道：充分大和殆素数是个含糊不清的概念。

在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年，中国的王元证明了“3 + 3”。
1957年，中国的王元证明了“2 + 3”。
1962年，中国的潘承洞证明了“1 + 5”。 
1962年，苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”。 
1962年，中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃证明了“1 + 3 ”。
1965年，苏联的小维诺格拉多夫证明了“1 + 3 ”。
1965年，意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

以上数学家在本国都得到奖励，但是没有一人获得国际数学联合会的认可，于是人们开始思考。王元院士在1986年9月在南开大学的讲话中明确地说明：[1 + 1]与[1 + 2]不是一回事。（见“世界数学名题欣赏”《希尔博特第十问题》188页。辽宁教育出版社1987年版）。1997年7月17日，王元院士在中央电视台东方之子节目中也阐述了：哥德巴赫猜想仅指1+1。邱成桐院士认为，文学无论多么精彩，也不能够代替科学，2006年邱院士说，陈景润的成功是媒体造成的。一般认为，目前没有任何人对哥德巴猜想作过实质性的贡献。所有的证明都存在问题，与哥德巴猜想没有实质联系。