新林院
想多看看这个世界，善待这个地球。
长话短说：完全一样。
以下是从数学的角度分析，分析过程中把各种条件极端简化。而在现实世界里，各种条件要复杂得多，所以，以上结果并不是在所有的情况下都成立。
以下是把各种条件极端简化的几个假设：
在第一年，你从工资里拿出一笔价值为 principal 的钱，准备存入退休账户。
存 years 年。
账户里年增长率是 growthrate。
国家税率是 taxrate。
税前 401k
价值为 principal 的工资没有交税，全部存到税前 401k 退休账户里。
过了 years 年，总额变成
取出后，交完税，到手的总额是
税后 Roth
价值为 principal 的工资，等交完了税，还剩下
principal x (1 - taxrate)
把这笔钱作为本金存到税后 Roth 退休账户里。
过了 years 年，取出（不用再另交税）的总额为
根据乘法交换率，以上结果又可写成
可以看出，和税前 401k 的结果完全一样。
举例
税前 401k
假设价值为 $100 的工资没有交税，全部存到税前 401k 退休账户里。
假设年增长率是 10%。
假设税率是 20%。
过了 40 年，总额变成
取出后，交完税，到手的总额是
$4525 x (1 - 0.2) = $3620
税后 Roth
价值为 $100 的工资，交完税，还剩下
$100 x (1 - 0.2) = $80
把这笔钱作为本金存到税后 Roth 退休账户里。
过了 40 年，取出（不用再另交税）的总额为
和税前 401k 的结果完全一样。
现实世界里更复杂的情况
现实世界里更复杂的情况主要是税。
我在分析中假设了 flax tax rate 20%。而现实世界里显然不是这样，所以，现实世界里的结果肯定会与我以上的结论有出入。某些情况下，可能税前 401k 更好。在另外一些情况下，可能税后 Roth 更好。因为税的规则太复杂，那些情况下哪个选择更好不在本文讨论范围之内。
本文的结论是：在把税极端简化的假设下，税前 401k 和税后 Roth 结果完全一样。
也许以下的指南是一个开始：
如果预测73岁以后每年 401k RMD 会低于目前的年收入，那目前就选择税前 401k，现在税率高，暂时不交税，等73岁以后税率低了再交。
如果预测73岁以后每年 401k RMD 会高于目前的年收入，那目前就选择税后 Roth，趁现在税率低，先把税交了，别等73岁以后税率高了再交。
当然， 使用了简化模型， 比如没有考虑 401K 公司的match， 这个不少哦。 如果每年投入到tax cap， 今年是 $23,500， 5% 就是 1175， 复利40年， 不得了。
另外就是大家的预期是 tax rate越来越高。 即使rate不变， 因为自己的收入越来越高， 交税的rate还是越来越高
当然，博主已经说明了这些被简化。 公式说明非常好。 我家两人这些年的税前税后都是交到顶点的。 哈哈， 税后的走“后门”。 因为我刚一进金融公司就被告知， HCE 应该考虑税后。 不过退休存储太多了， 也有问题。 只能考虑家族信托了。
【然而，tax-rate 是会变化的。】
是这样。
假设某人年薪十万美元。
2011年，这个人的最高税率是 28%。
2018年，这个人的最高税率变成了 24%。
【如果你很幸运，在你 cash-out 401K 时 tax-rate 下降了，那么你就更划算了。但是实际上N年后，tax-rate上升的可能更多些。】
税率是升是降，无法预测。所以我采取不可知论者的态度。
像上面我举的例子，川普在2018年把年薪十万美元的人的税率降下来了。
这次川普胜选以后，又有一次税率下降的机会，稍纵即逝。有两个人想当财政部长，Scott Bessent 和 Howard Lutnick。最终川普挑选了 Bessent。而 Lutnick 的理念是取消 income tax，政府全靠 tariffs 运转。如果川普挑选了 Lutnick，没准他真能在川普任内把 income tax rate 变成零呢。
美国在1900年就没有 income tax，政府全靠 tariffs 运转。
Lutnick spoke at a Trump rally at Madison Square Garden, where he advocated for the strength of economy of the United States in 1900, crediting the lack of income tax and high tariff policies active at the time, saying "We had no income tax, and all we had was tariffs".
然而，tax-rate 是会变化的。如果你很幸运，在你 cash-out 401K 时 tax-rate 下降了，那么你就更划算了。但是实际上N年后，tax-rate上升的可能更多些。
【首先， 你的算法是不正确的。X=principle；Y=（flat）growth rate
1Y：X+XY=X(1+Y);
2Y: X+X(1+Y) + [X+X(1+Y)]Y = X(1+Y)(2+Y）；】
(1) 首先，你的英文是不正确的。
principle 的意思是“原则”。
principal 的意思才是“本金”。
(2) 你对2Y的算法是不正确的。
以下是一个简单的例子：
假定本金 X = 100。
假定利率 Y = 0。（0%）
把这两个值代入你的算法：
2Y: X(1+Y)(2+Y) = 100(1+0)(2+0)= 100(1)(2) = 200
这显然是不正确的。
第二年开始时存款是 100，第二年结束时的存款不可能是 200。（那利率就不是 0%，而是 100% 了。）
你的算法 X(1+Y)(2+Y）里的关键错误在那个 2。有了那个 2 以后，即使利率为零，第二年结束后的存款也变成第二年开始时存款额的 2 倍。这显然是错误的。
1Y：X+XY=X(1+Y);
2Y: X+X(1+Y) + [X+X(1+Y)]Y = X(1+Y)(2+Y）；
以此类推。
50岁以下，每年最多7000元。50或50以上，8000元。
上述额度还有收入限制。单身，年收入MAG在150K以下，如超过就少买，165K就不能买了。结婚共同报税，二人收入不超过236K,超过就少买，246K以上就不能买。
这是2025年的额度。
至于退休后收入是否会大幅下跌，是一个很有意思的话题。我做了一些假设，然后粗粗算了算。
假设某人73岁退休，401k 账户里有二百万美元。
根据 IRS 的规定，第一年必须取出的 RMD 是二百万美元除以 27.4，也就是七万三千美元。
再加上社会保险金，退休后一年大约十万美元。
用这个数字跟退休前收入比，就可以判定退休后收入是否有大幅下跌。
我看到对税前 401k 和税后 Roth 各种不同的说法，自己也想知道正确答案，于是自己拿笔算了算，然后就把推导过程和结果写进这篇博文里。