闲聊拓扑学

有人认为拓扑学是最抽象的数学，拓扑空间是最一般的数学空间。对于搞数学的人，
越抽象越有意思，数学中有诗一般的境界。拓扑学尽管抽象，但与我们日常生活所
遇到一些事情还是有关。如，它能解释为什么每个人的头发至少有一个头顶(任何在
球面上的矢量场必有奇点)；它能解释中学物理课学的“重力做功与路径无关”(势
函数的拓扑性质)。它也能解决一些智力游戏问题，如“等长指针的手表”问题等。
本文想通俗地介绍一些拓扑学基本概念。

1。同胚

设有一个开区间：X = (-1，1)。另有一个映射函数：f(x) = tan(pi*x/2) 。式中，
pi 是圆周率；tan 是正切函数。这个函数将开区间X 映射到整个实数数轴 R。这映
射是一一对应双向连续变换。这就是拓朴变换。开区间X 和实数数轴 R具有相同拓
朴。因此它们是同胚的。这里可以看出，长度不是拓朴特性因为开区间X 和实数轴
 R有不同的长度；有界性也不是拓朴特性因为开区间X有界而实数轴 R无界。连续性
是事物的一种特性，而连接性是事物的拓朴特性。你不可能通过拓朴变换将本来连
在一起东西分开。另一个拓朴特性是紧致性。所谓紧致性，简单地说，在一个点集
中如果所有序列的极限都在该点集中，这点集是紧致的。比如有一个半开区间：X1 
= [0，1)，可以通过映射函数：f(x) = (cos2pi*x, sin2pi*x), 映射到单位圆C。
式中，pi 是圆周率。但是X1和C不是同胚，就是说，它们具有不同拓朴。在X1中删
去一个点，X1就变成两段；而在C中删去一个点，C仍然连在一起。原因是：X1不紧
致；X1右端的极限值1并不属于该区间。而C是紧致的。
所举例子属于一般拓扑学(点集拓扑学)。
所谓不同拓扑是指不能用拓扑变换将一个对象完全影射到另一个对象。如，环面与
球面有不同拓朴，即，你不能用所有变形方法把球面捏成环面除非你把球面撕裂。

2。同伦

一个圆环面可以由两个发生器形成。即一个小圆(一个发生器A)的圆心沿一个大圆(另
一个发生器B)绕一圈而形成。在圆环面上一个点可以画出很多种封闭环。比如，取
一个基点C可以画出一个既不绕发生器A，又不绕发生器B的封闭环。通过基点C可以
画出无穷个这种类型的封闭环。在这些封闭环中每一个封闭环都可以通过一个拓朴
变换，即同伦变换，变成另一个封闭环。所有这些封闭环组成一同伦类。而这些同
伦变换组成一基本群。又如，取一个基点D可以画出一个只绕发生器A的封闭环。这
些封闭环组成另一同伦类。但是这种同伦类是不可能通过一个拓朴变换变成前面一
种同伦类，他们是不同的同伦类。

3。同调

用同伦变换处理高维图形会遇到困难。于是人们发展同调变换。通俗地讲，同调变
换是一种求边界的变换。即对高维图形求边界而得到低维的轮廓图形。比如，对圆
盘作同调变换H，可以得到圆。圆是圆盘的边界。如果这个圆是由两个端点A和B的两
段圆弧a和b组成，实际上通过上述同调变换H，得到圆 ( a - b ) (负号表示圆弧b的
方向和圆弧a的方向相反)。再对圆 ( a - b ) 作同调变换，可以得到端点A和B。端
点是圆弧的边界。

上述内容属于代数拓扑学。

各种变换(如同伦，同调变换等)以及对图形作“手术”是拓朴学的重要内容。

将一条长纸带两端扭向连接在一起就做成默比乌斯(MOBIUS)带。默比乌斯带只有一
个面，而且沿中间线将默比乌斯带分开，仍然只有一个环(并不能得到两个环)。默
比乌斯带也是拓朴学的研究模型。拓扑学中的纤维丛研究与它有关。默比乌斯带在
实际中有很多应用，与此有关还有许多专利。