数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
带电体都不是孤立的，周围还有其它带电体以达成一个“稳定”的中性环境。一个质子需要一个电子去中和，还需要数个中子去稳定。自由电子是有的，正如存在着系外行星。与电子（及另外两种轻子）对应的中微子及其反粒子，正是宇宙变动的原因；但是因为量稀质轻，难以捕捉，就把它们定义为暗物质好了。
对于电动现象，一个带电体要受到其它电荷的作用，电力大小由库伦定律确定：F = Ke q1q2r/|r|^3, 其中，Ke为试验常数，值为8.9857 * 10^9 （通常记为1/4πε0）; r是朝向自身、由其它电荷指向自己的位移矢量。
考虑一片充满电荷分布的空间区域S，假设任意点（P, t）处的电量体密度为D(P, t)（表达式未知，假设是确定的），它等于包含点P的一个区域V内的总电量除以体积|V|, 当体积|V|趋向于零时的极限；也可以用带电体（如电子、质子）的体密度，乘以基本电量e = 1.6 * 10^(-19)（Milliken滴油试验中得出的那个最大公因数）来计算。区域S内在时刻t的总电量可以表示为空间积分 Q(S, t) = Integral{D(P, t)dV: P属于S}。
这些电荷并非静止不动，密度函数D会随着时刻而变化。按照电量守恒的原则，Q的时间变化率delQ/delt，等于单位时间内新增的电量（源）delq/delt，减去单位时间内净流出边界闭曲面delS的流通量 Integral {d(P, t)v * ndA: P属于delS}；其中，曲面积分沿着外法线方向n，d(P, t)为电量的面密度（单位时间内、单位面积上的电量），v为带电体的平均漂移速度。
为了计算v, 设想有一个截面积为A的导体，单位体积上的带电粒子数为u，那么在时间Δt内，经过一个截面的电量为 ΔQ = A(vΔt) u e。单位时间内通过截面的电量，称为电流强度I（矢量）为 ΔQ/Δt = Aue(v)。因此，单位时间内流过单位表面积的电量为I/A = uev = D(P, t)v = J(P, t) 称为电流密度, 这也是一个矢量。如果假设电量都分布在区域的表面，则有d(P, t)|v| dA = D(p, t)dV，亦即d(P, t) = D(P, t)。
按照Gauss散度定理，Integral{J * ndA: P属于 delS} = Integral{Grad*JdV : P 属于 S}, 其中， Grad为梯度算子 idel/delx + jdel/dely + kdel/delz，Grad *J 可以看作是一个矢量的空间位置变化率】，可以推出 Del D(P, t)/delt = del(q)/delt ? Grad * J. 此方程表明了电量分布的时间变化率与空间变化率的关系。如果没有电源或者源q固定（与时刻无关），那么 Grad * J = - del D(P, t)/delt。
在空间里任何一点（Po, t）处的电场强度 E(Po, t) 定义为单位电荷（电量=1C）感受到的电场力；即，E(Po, t) = Integral{D(P, t) PPo f(|PPo|) dV: P属于S}, PPo是从P指向Po的位移矢量, PPo f(|PPo|) 是两个点电荷P和P0之间的相互作用力。E与J相关，一个简单的假设是欧姆定律：J(Po, t) = σ E(Po, t)，系数sigma是一个标量，称为电导率（Electrical Conductivity）。另一方面，库伦力是保守力，我们可以定义一个势函数U：任意两点A和B之间的电势差U(B) – U(A), 等于E从A到B沿着任一路径Y的环流量的负值：U(B) – U(A) = ?Integral {E(P, t) * ds: P属于Y}；也就是说，E(P, t) = ? Grad(U)。因此，J(P, t) = -σGrad(U)，从而，delD(P, t)/delt = σGrad^2(U) + Grad(σ)*Grad(U) 。
矢量E可以理解为电力线。它通过边界曲面delS的通量为 Integral {E(P, t) * ndA: P P delS} = Integral{ * E(P, t)dV: P S}。n为曲面单位外法线矢量。Gauss定理说，这个通量应当与区域S内的总电量 Integral {D(P, t) dV: P属于S} 成比例。设比例系数为b, 则有Grad * E(P0, t) = b D(P0, t)，对任意P0属于S。
为了计算b的值，设想S为一个体积无限小的球体（以P0为中心，R为半径）；在球面上的任一点P处，电场强度E(P, t) = Integral{D(P’, t)P'P f(|P'P|) dV: P'属于球体S}。按照积分中值定理，此式近似等于 Q PP0 f(R)，其中Q为球内总电量，PP0是位移矢量。在电通量 Integral {E(P, t) * ndA: P delS}中，n = P0P/R, 其值近似等于 E(P0, t) 4πR^2 = f(R)R Q 4πR^2 = b Q，因此有 f(R) = b/(4πR^3)。考虑到b应当与空间距离无关，电力式f(R) = C + K/R^3中的C值应当为零，从而b = 4πKe。方程 Grad * E(P, t) = 4πKe D(P, t)是Maxwell的第一个方程。
当带电体运动时，周围将产生磁场：把一个带电体放在一根有电流(强度I)通过的导线Y附近，它会感受到一个力。在观测位置(P, t) 处，单位正电荷所感受到的力就称为磁场强度B(P, t)。Biot-Savart通过试验测得：B(P, t) = Km Integral{I(P', t) ds × P'P/|P'P|^3: P’ 属于Y}，其中，ds是沿着曲线Y的切线矢量，P'P是从ds (P')处指向观测处P的位置矢量；Km为实验常数，值为10^(-7)，通常记为μ0/4π。实验数据表明，Ke = Km c^2, c为光在真空中的速度，值为 2.9979 2458 × 10^8 m/s。
对于一个点电荷q，当它以匀速度v运动时，观测处（P, t）的磁场强度为 B(p, t) = v × E(P, t)/c^2，c是光速，E是q产生的电场强度，值为qKe b(r/|r|^3), 而b = [1 – v^2/c^2]/[1 – v^2/c^2 (sinθ)^2]^(3/2)，r是从q所在位置指向P的位移，θ是r与v之间的夹角。这里考虑了相对论的因素。当v相对于c很小时，有 B(P, t) = qk(v × r/|r|^3)。
对于一个立体S，则 B(P, t) = Km Integral {J × P’P/|P’P|^3 dV: P’属于S}。总之，对于任何一个内部有电荷流动的几何体S, 在观测处(P, t)，会有磁场B(P, t) = Km Integral {J × P’P/|P’P|^3 dm: P’属于 S}, J是电流密度，即单位几何体上的电流强度。此式表明，磁力还是与距离的平方成反比,但是，方向与位移垂直，因而不作功。磁力线都是环状（巡回）的，因为磁铁总是具有两极；所以，它通过任一闭曲面的通量恒为0, 即有 Grad * B = 0；这也可以用前面关于电流密度J的方程式推出。这是电磁学的第二个方程。
通量或者梯度运算 Grad *F丢失了矢量F的方向信息，还需要考虑F沿着任意空间闭曲线Y的环流量。根据Stokes定理，Integral {F(P, t)* ds, P属于 Y} = Integral {[ Grad × F(P, t)] * ndA, P属于Y包含的一个曲面del S}，曲线积分的方向与曲面的法线向量n满足右手螺旋法则。曲线积分的值与曲面delS的选取无关。安培(Ampere)定律说，对于一个由常电流I产生的磁场B，沿着任何闭路Y，有，Integral {B(P, t)* ds, P属于Y} = 4πKm I，也就是说，Grad × B = 4πKm J。
Maxwell意识到此方程式在电场E随着时刻变化时并不成立。假设有一根导线L，其中的电流强度为I（电流密度为J）。围绕导线有一个平面（圆）S1和一个曲面S2，电流穿过S1而不穿过S2；它们合成一个体S。当电流I随着时刻变化时，板上的电量会变化，但还没有电流通过两块板之间。如果取S1为边界曲面，则环流为 4πKm I；如果取S2为边界曲面，则环流为零，因为没有电流通过S2.
考虑附近的一个观测处(Po，t)。该处的电场强度为E(Po, t) = Ke Integral{D(P, t) ds: P属于 L}; 磁场B(Po, t) = Km Integral {J × ds: P属于L}。B沿着曲线Y的环流= Integral {B(Po, t) * ds, Po属于Y}, 代入B线积分式，难于计算；转而计算Grado * B(Po,t) = Km Integral { Grado * (J *r/|r|^3ds , P属于L}, 这里的下标o表示对Po的分量（坐标）求梯度,而r = PPo, |r| = sqrt{(x – xo)^2 + (y – yo)^2 + (z – zo)^2}，计算可得 Grado * (J * r/|r|^3)=Grado * (Grado * J/|r|) 。另一方面，E(Po, t)关于时间的变化率为
Del E(Po, t)/delt = Ke Integral{[del D(P, t)/delt] ds: P } = Ke Integral {[?Grad * J]ds: P属于L}.代入关于矢量的点积与叉积运算的恒等式，可以计算出，delE(Po, t)/delt = c^2[ Grado * B(Po,t)] ? 4πKe J(Po, t)。这是Maxwell的第三个方程。
再计算E沿闭曲线的环流，可以导出Faraday的电磁感应定律： = ?delB(Po, t)/delt。矢量E（Po, t）与B(Po, t)的矢量积，称为Poynting矢量；它的方向就是电磁波传播的方向；它的模的大小与电磁波所包含的能量成比例。然而，两个线积分的叉积计算十分困难；我相信有一个方法，正如上面第三个方程的推导，我得出了曲线积分的分部积分公式。更难的是，叉积的物理实现，这样就有人造太阳了。
