用几何方法求极值

世间所有的情事都在变，任何稳定都只是暂时的。变化也总是有一个范围的，不可能延伸到无边的天际。明白了这个范围，世间万物才能安身立命；各个学科设立的根本目的也正是在于此。在引力场中，物体总是沿着最短路线行进；各种波通过媒体界面时，总是走时间最短的折线；各种能量的扩散，总是在最短时间内，占据最大的空间区域；仿佛是神安排好的一般。人呢，则只是找出这些现象的数学表达式；此乃各门计量学科的根本目的。

最早给出求表达式如E(x)的极值的方法之人，是法国律师、地方行政长官、业余数学家Fermat。据说他也是从别人那里学来的，但无从考证了。方法是这样的：列方程E(x + t) – E(x) = 0；把方程展开，两边同时除以t；再令t = 0，解出x。其解就是极值点。用现在的话来说，就是导函数为零的点；当然，这只是一个必要条件，并非充分。再用Taylor展开式去判定一下，一元函数的极值问题就解决了。

对于多元函数E(x, y, z, …)呢，可以固定其它变量，只让其中一个变；这就导致了偏导数为零。同样用Taylor展开式导出的二阶全微分，去判定一下其正定性或负定性，就可知道，那些偏导数为零的点，是局部极小值或是局部极大值，或者根本就不是极值点。在理论上，无条件极值问题是解决了；实际上，解方程太难，人类只能解到4次方程，5次或以上的多项式方程，其解根本就不是初等函数式所能表达的。人们只能估计范围，找个近似解。

所幸的是，我们还有几何方法。显然，平面上两点之间的最短路线是直线段；求两个根式之和的最小值，每个根式下是x的二次多项式，只要把它看成两个线段之和，把它们“掰直”就可以了（实际上就是三角形不等式）。多个根式之和呢，逐个来。比如，AIME 1991年的一道题，要求和式sigma{sqrt[(2k-1)^2 + (ak)^2], k = 1, 2, …, n} 的最小值，其中ak为正实数，其和固定为17。代数上，有Minkowski不等式可以用；几何上，用sqrt[((a1)^2 + (y+b1)^2) + sqrt[(a2)^2 + (y – b2)^2] 大于或等于sqrt[(a1 + b1)^2 + (b1+b2)^2]，再递推即可。

在一条直线上，给定n个点，要找一个点，使得它到那n个点的距离之和最小；答案是中间位置的那个点（n为奇数），或中间两点之间的任何一点（n为偶数时）。在一个平面上呢，n = 4时，答案是四边形对角线的交点。n=3时，此点叫做Fermat点；若有一个角大于或等于120度，此点就是Fermat点。否则，找任何一边向外作一个等边三角形，再作其外接圆，连接圆心到此边相对的顶点，连线与圆弧的交点就是Fermat点。当n>4时，尚无方法求解，尽管我们知道这种点唯一存在。

对于代数式的极值，一般可以采用配平方的方法或者使用均值不等式。可若能引入几何元素，问题更容易求解。比如，CMO 2009年的一道题，要求函数f(x, y, z) = (x + y + z)(xy + yz + zx)/[(x + y)(y + z)(z + x)]的值域，其中x, y, z为正数。当然可以使用偏导数的方法，可若设x + y = a, y + z = b, z + x = c, a, b, c则为一个三角形的三边长；使用正弦定理，可设a = dsinA, b = dsinB, c = dsinC，d为三角形的外接圆的直径; A + B + C = 180°。函数式化为

f = (a + b + c)(2ab + 2bc + 2ac – a^2 – b^2 – c^2]/(8abc)

= (sinA + sinB + sinC)[2sinAsinB + 2sinBsinC + 2sinCsinA – (sinA)^2 – (sinB)^2 – (sinC)^2]/(8sinAsinBsinC)

= (sinA + sinB + sinC)[(sinA + sinB + sinC)^2 – 2(sinA)^2 – 2(sinB)^2 – 2(sinC)^2]/(8sinAsinBsinC)

使用和差化积以及倍角公式，我们有sinA + sinB + sinC = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2), cosA + cosB + cosC = 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) + 1，以及2(sinA)^2 + 2(sinB)^2 + 2(sinC)^2 = 3 – [cos2A + cos2B + cos2C] = 4cosAcosBcosC  + 4；因此，

f = [8(cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2)) ^2 – 2cosA cosB cosC - 2]/[8sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)]

= [(1 + cosA)(1 + cosB)(1 + cosC) – 2cosAcosBcosC – 2]/[8sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)]

= [(1 – cosA)(1 – cosB)(1 – cosC) + 2(cosA + cosB + cosC) – 2]/[8sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)]

= sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2) + ½ = [1 + cosA + cosB + cosC]/4;

使用导数方法可以很快求出其极值。

带有等式条件的极值问题，在微积分中，可以用Lagrange乘子法求出；在初等数学中，可以通过解方程化为无条件极值。例如，求P = sin(A1)…sin(An)的最大值，在给定条件tan(A1)…tan(An)=1的条件下；其中A1, …,An为锐角。当n=1时，答案只有一个：45°；当n > 1时, 可以用归纳法。从cot(An) = tan(A1)…tan(Am), 其中m = n – 1，由sin(An) = 1/sqrt[1 + (cotAn)^2]，原式P= sin(A1)…sin(Am)/sqrt[1 + (tanA1…tan(Am))^2]; 若n = 2, 此式=sin(2A1)/2, 最大值为1/2. n > 2时，

P = sin(A1)…sin(Am)cos(A1)…cos(Am)/[sqrt{(sinA1…sinAm)^2 + (cosA1…cos(Am)^2)}

≤ sqrt[sin(A1)…sin(Am)cos(A1)…cos(Am)]/sqrt(2) ，最大值当每个角度为45°时达到。

带有不等式条件的极值问题，一般可以增加一些非负变量，使其变为等式条件。如果限制条件都是线性的，可以视为高维空间里的一个流形。把目标函数（非负）定义为距离函数，按此距离诱导出一个范数；如果范数满足平形四边形定理的话，则可定义内积。在内积空间中，从一个向量到一个子空间（或流形）的最短距离，可以用正交投影的办法求出。例如，求(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 + (w + 4)^2 的最小值，x, y, z, w满足x – y + z + w = 5, 2x – 3y + 2z – 4w = 12。