泛函分析简介（1）

泛函分析研究各种空间的结构、两个空间之间的变换（算子），尤其是函数空间上的泛函，也就是以函数为自变量、映射到某个数域中的线性算子。它不仅赋予空间各种几何结构，如距离、角度、维数，还融入了代数结构，如加法、数乘、极限；可以定义收敛性、微分、积分，从而高度概括了线性代数、数学分析、实分析、复分析、微分方程、微分几何、部分拓扑学中的主要理论。在拓扑学中，收敛性的概念更为一般化；有的拓扑空间中甚至都不能引入距离的概念。

最一般的拓扑空间，就是把一个非空集合的一些子集归集在一起，只要满足三条开集公理。如此简单的结构，却生长出了令人惊奇的丰富结果：邻域给出了最一般的极限与连续性概念；空间的分离性、各种紧性、连通性，可以刻画得淋漓尽致。网收敛的概念，把点极限（序列极限）、体极限（度量积分的极限）一网打尽。一个拓扑空间，还可以对应到一个代数系统（比如群）；两个拓扑空间之间的同伦关系，可以表示为两个代数系统系统之间的同构关系。这就有了代数拓扑学，其基本对象是基本群与同调群。

再往上，空间的结构还有四个层次：度量（距离）空间、线性空间、赋范空间、内积空间。任何满足正定性、对称性、三角形不等式的二元函数都可以叫做距离。拓扑学里去掉正定性、换成可分离性，就得到了伪距离族；由此可以描绘一致空间。在爱因斯坦的相对时空里，除对称性外，其它两条距离公理都不满足，只是两个四元数的之差的模。有了距离的概念，就可以方便地定义收敛性。尽管距离的概念，可以随意定义，在有限维空间里，按照收敛性的意义，它们其实都是等价的。

为了把距离的概念引伸到向量长度的概念，自然的想法是把向量的长度定义为它到零向量的距离。在线性空间中，向量之间有代数结构：两种线性运算，加法及数乘。两个向量之和的长度不超过各个向量的长度之和，正是三角形不等式的体现。向量加法实际上一个向量的平移，按照常理，平移之后的长度应当不变；这就得要求距离函数具有平移不变性：d(x + y, x + z) = d(y, z)，这也相当于距离函数对加法运算是连续的。对于数乘运算的伸张性，可以要求距离函数具有正齐次性：d(kx, ky) = |k|d(x, y). 这就相当于引进了“范数”的概念。完备的赋范空间就叫作Banach空间；至于准范数，至是把齐次性改为正、负向量范数相等，以及范数关于数乘的连续性，这便有了Frechet空间。

还缺一个方向的概念。在数学中，一般是用“角度”来表示方向。在欧几里德空间中，两个向量之间的夹角是通过点积（标量积）、加上Cauchy不等来定义的；在一般的线性空间中，也可以如法炮制出“内积”：一个二元函数f(x, y)，满足正定性、对第一个变量x为线性、对第二个变量y为共轭线性，再加上共轭对称性。共轭的要求是为了保证复空间上的Cauchy-Schwarz不等式成立；尽管依然得不出“复角度”的概念，但对于诱导出范数、满足三角形不等式，已经足够了。有了正交的概念，最佳逼近的问题迎刃而解；有了正交规范基，任何向量都有了Fourier展开式。Hilbert空间也就算是完善了。

如果一个范数满足平行四边形恒等式，也可以诱导出一个内积。在一个向量空间里，从内积定义距离，是很自然的事情：d(x, y) = ||x – y||。上述四类空间，以内积要求最高。我们还缺个矢量积！在三维空间里有，高维空间就没有了。也许有了张量积，叉积就不需要了；正如有了向量，四元数就被抛弃了。

泛函分析主要研究函数空间。函数是从一个非空集（上述五类空间）到复数集的一个映射；全体函数的集合的基数为2^c, 这里的c是连续基数，人类能够构造的最大基数了！把一些函数归结起来，在其中定义一个距离、一种范数、或是一种内积，研究其完备性、列紧性、紧致性、可分性等等，只是一个开篇；接下来，还得讨论各个空间之间的关系，用算子。