黛绿年华
本博客文章皆为本人原创。
计算：围困莫斯科的德军真可看到克里姆林宫吗？
黛绿年华
问题一：克里姆林宫中最高的建筑物伊凡大钟楼高81米。假设：天气晴朗，周围数十公里内都是极平坦的平原，并且没有一个三层楼以上的建筑物遮挡视线。问：站在81米高的伊凡大钟楼尖顶处远眺，能看到的最远处，距离伊凡大钟楼有多远？
问题二：1941年12月初，德軍先头裝甲部队前进到距離克里姆林宫不到32公里的地方。假设：完全如同问题一。问：德军将军们在距離克里姆林宫32公里的地方登上钟楼，是否真的可以远眺克里姆林宫？
其实这两个问题属于同一个极其简单的平面几何学的问题。
我们可以把海洋，或者小范围平原看成是规则的球面。
这样，如图所示，上述问题可以简化为：在以地球球心为圆心，地球半径（R=6371.004千米）为半径的圆周上，从高度为H的观察点A，作圆的切线，得切点即目标点B。问线段AB的长度L是多少？其实将A作为目标点，将B作为观察点，计算方法也是完全一样的。
图. 以地球球心为圆心，以地球半径R为半径的园上，高度为H的观察点（或目标点）A，至切点即目标点（或观察点）B之间AB线段的长度L，代表能观察到目标点的最远距离。
现在，A点代表81米高的伊凡大钟楼顶点。切点B代表从A点能看到的最远处；或者反过来，A点代表81米高的伊凡大钟楼顶点。切点B代表德军能看到A点的最远处。结果是一样的。
因为AB线是园的切线，OB线是园的半径，所以∠ABO是一个直角，在ΔAOB中，
AB2=OA2-OB2 (1)，即:
L2=(H+R)2-R2=H2+2HR (2)，H2远远小于2HR，故可忽略
L=(2HR)1/2 (3)
将R=6371.004千米，H=0.081千米，代入方程（3），得：
L=(2HR)1/2=(2x0.081x6371.004)1/2=32.126千米
这就是说，在距离伊凡大钟楼32.126公里的地方，德军即使蹲在地上都可以看到这座81米高的大钟楼尖顶。德军如果登上高塔，则更可以看到克里姆林宫中的建筑物。
如果我们知道德军在距离克里姆林宫32公里的地方，登上高塔后眼睛与地面的距离，我们还可以计算出德军可以观察到伊凡大钟楼从尖顶往下直到何处。此处从略。
利用方程（3），我们可以计算出不同“身高(H)”的人站在一个平坦开阔的平原上极目远眺，可以看多远（L）。这里“身高(H)”是指眼睛到地面的垂直距离，2R=12742008米：
“身高(H)”=1米：L=(1x12742008)1/2=3570米
“身高(H)”=1.75米：L=(1.75x12742008)1/2=4722米
“身高(H)”=2.3米：L=(2.3x12742008)1/2=5414米，等等。
---（黛绿年华）
回复megchen的评论: Thanks for your comments! Mathematics is actually in our daily life.
Wishing you to be happy in the new week.
This is very interesting...when I watched 6 hours long former Soviet movie about that war, I have never thought of this. Thanks for sharing...
回复xwenxuecityy的评论:
谢谢阅评！其实数学是非常有趣的学科，钻研起来，其乐无穷！祝好！
回复Green_sky的评论:
Thanks for your appreciation! Have a good day!