明亮的天空

后来太阳才慢慢地冲出重围,出现在天空,甚至把黑云也染成了紫色或者红色。这时候发亮的不仅是太阳、云和海水,连我自己也成了明亮的了
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半死半活的“薛定谔的猫”

(2007-02-21 21:50:49) 下一个



我极力推荐这本书,《上帝掷骰子吗 -- 量子物理史话》,这部书,不仅科普了经典物理和现代以量子物理的斗争发展,其中很多相关的人物历史,无不充满哲理和趣味。

当然,我开始重温这本书的时候,发现了很多观测的真实,以及决定论和混沌论的来历。比如,最直接的结论,象黄鹂鸟说的,我拿着一副牌同时赢又同时输,最后输赢的结果,取决于观测一刻的塌缩,只是我在玩牌的同时还在观测,而处于这个和我玩牌的其他人在这个系统里的观测,都认为我已经输了。我输的概率是 99 。 9 %。当然,如果那次我赢了,他们观测的就只好说过年吃饺子之类的话了。

其他,如果有人说我坏话,我可以自豪的说,你不知道真相。因为你的观测扰动了我的行为,总有一个是不准的。我们互相扰动,你从来就不知道真相,也没有真相。只有你选择观测的时候,我呈现给你,要么可爱纯洁,要么凶悍冷酷。就象电子的波粒二象性,你选择测粒子,我粒子,你选择看干涉条纹,我就是波。

下面是我摘记的:

量子物理在和经典物理会战的时候,很多杰出的人物纷纷涌现,最有特色的一个是薛定谔。

△ψ[8(π^2)m/h^2] (E - V)ψ= 0

  这便是名震整部20世纪物理史的薛定谔波函数

当年,关于电子是波还是粒,大战了不知多少回合。薛定谔的波函数一出来,当时波尔马上敏锐的发现,这个公式后面的意义,就是“骰子”。从而引起爱因斯坦强烈的反对,因为在爱因斯坦世界里,“一个没有严格因果律的物理世界是不可想象的。物理规律应该统治一切,物理学应该简单明确:A导致了BB导致了CC导致了D。每一个事件都有来龙去脉,原因结果,而不依赖于什么随机性。至于抛弃客观实在,更是不可思议的事情。”。

这个量子理论,直接挑战了决定论。“是的,科学家知道过去;是的,科学家明白现在;是的,科学家了解未来。只要掌握了定律,只要搜集足够多的情报,只要能够处理足够大的运算量,科学家就能如 同上帝一般无所不知。整个宇宙只不过是一台精密的机器,它的每个零件都按照定律一丝不苟地运行,这种想法就是古典的,严格的决定论 (determinism)。宇宙从出生的那一刹那起,就有一个确定的命运。我们现在无法了解它,只是因为我们所知道的信息太少而已。”

然而波恩的解释不是这样,波恩的意思是,就算我们把电子的初始状态测量得精确无比,就算我们拥有最强大的计算机可以计算一切环境对电子的影响,即便如此, 我们也不能预言电子最后的准确位置。这种不确定不是因为我们的计算能力不足而引起的,它是深藏在物理定律本身内部的一种属性。即使从理论上来说,我们也不 能准确地预测大自然。这已经不是推翻某个理论的问题,这是对整个决定论系统的挑战,而决定论是那时整个科学的基础。量子论挑战整个科学。

双方交战激烈,这里有哲学问题的根本分歧。爱因斯坦三次挑衅波恩,都让波恩巧妙一掌拨千斤的巧妙化解。反而更加确立了量子物理的完美。薛定谔是站在爱因斯坦身后,不断想出招数来进攻量子派的一位大将。最有名的就是这只半死不活的猫。

他是这样说的,

“薛定谔想象了一种结构巧妙的精密装置,每当原子衰变而放出一个 中子,它就激发一连串连锁反应,最终结果是打破箱子里的一个毒气瓶,而同时在箱子里的还有一只可怜的猫。事情很明显:如果原子衰变了,那么毒气瓶就被打 破,猫就被毒死。要是原子没有衰变,那么猫就好好地活着。

自然的推论:当它们都被锁在箱子里时,因为我们没有观察,所以那个原子处在衰变/不衰变的叠加状态。因为原子的状态不确定,所以猫的状态也不确 定,只有当我们打开箱子察看,事情才最终定论:要么猫四脚朝天躺在箱子里死掉了,要么它活蹦乱跳地喵呜直叫。问题是,当我们没有打开箱子之前,这只猫 处在什么状态?似乎唯一的可能就是,它和我们的原子一样处在叠加态,这只猫当时陷于一种死/活的混合。

虽然荒谬看上去,但量子力学,哥本哈根派的理论,既,当我们没有观察的时候,那只猫的确是又死又 活的。

不仅仅是猫,一切的一切,当我们不去观察的时候,都是处在不确定的叠加状态的,因为世间万物也都是由服从不确定性原理的原子组成,所以一切都不 能免俗。量子派后来有一个被哄传得很广的论调说:当我们不观察时,月亮是不存在的。这稍稍偏离了本意,准确来说,因为月亮也是由不确定的粒子组成的, 所以如果我们转过头不去看月亮,那一大堆粒子就开始按照波函数弥散开去。于是乎,月亮的边缘开始显得模糊而不确定,它逐渐融化,变成概率波扩散到周围 的空间里去。当然这么大一个月亮完全融化成空间中的概率是需要很长很长时间的,不过问题的实质是:要是不观察月亮,它就从确定的状态变成无数不确定的叠 加。不观察它时,一个确定的,客观的月亮是不存在的。但只要一回头,一轮明月便又高悬空中,似乎什么事也没发生过一样。

不能不承认,这听起来很有强烈的主观唯心论的味道。虽然它其实和我们通常理解的那种哲学理论有一定区别,不过讲到这里,许多人大概都会自然而然地想 起贝克莱(George Berkeley)主教的那句名言:存在就是被感知”(拉丁文:Esse Est Percipi)。这句话要是稍微改一改讲成存在就是被测量,那就和哥本哈根派的意思差不离了。贝克莱在哲学史上的地位无疑是重要的,但人们通常乐于 批判他,我们的哥本哈根派是否比他走得更远呢?好歹贝克莱还认为事物是连续客观地存在的,因为总有上帝在不停地看着一切。而量子论?陛下,我不需要 上帝这个假设

与贝克莱互相辉映的东方代表大概要算王阳明。他说过一句有名的话:你未看此花时,此花与汝同归于寂;你来看此花时,则此 花颜色一时明白起来……”如果王阳明懂量子论,他多半会说:你未观测此花时,此花并未实在地存在,按波函数而归于寂;你来观测此花时,则此花波函数发生 坍缩,它的颜色一时变成明白的实在……”测量即是理,测量外无理。

猫处于死/活的叠加态?人们无法接受这一点,最关键的地方就在于:经验告诉我们这种奇异的二重状态似乎是不太可能被一个宏观的生物,比如猫或者 我们自己,所感受到的。还是那句话:如果猫能说话,它会描述这种二象性的感觉吗?如果它侥幸幸存,它会不会说:是的,我当时变成了一缕概率波,我感到自 己弥漫在空间里,一半已经死去了,而另一半还活着。这真是令人飘飘然的感觉,你也来试试看?这恐怕没人相信。

好,我们退一步,猫不会说话,那么我们把一个会说话的人放入箱子里面去。当然,这听起来有点残忍,似乎是纳粹的毒气集中营,不过我们只是在想象 中进行而已。这个人如果能生还,他会那样说吗?显然不会,他肯定无比坚定地宣称,自己从头到尾都活得好好的,根本没有什么半生半死的状态出现。可是,这次 不同了,因为他自己已经是一个观察者了啊!他在箱子里不断观察自己的状态,从而不停地触动自己的波函数坍缩,我们把一个观测者放进了箱子里!

可是,奇怪,为什么我们对猫就不能这样说呢?猫也在不停观察着自己啊。猫和人有什么不同呢?难道区别就在于一个可以出来愤怒地反驳量子论的论 调,一个只能喵喵叫吗?令我们吃惊的是,这的确可能是至关重要的分别!人可以感觉到自己的存活,而猫不能,换句话说,人有能力测量自己活着与否, 而猫不能!人有一样猫所没有的东西,那就是意识!因此,人能够测量自己的波函数使其坍缩,而猫无能为力,只能停留在死/活叠加任其发展的波函数中。

意识!这个字眼出现在物理学中真是难以想象。如果它还出自一位诺贝尔物理学奖得主之口,是不是令人晕眩不已?难道,这世界真的已经改变了么?

半死半活的薛定谔的猫是科学史上著名的怪异形象之一,和它同列名人堂的也许还有芝诺的那只永远追不上的乌龟,拉普拉斯的那位无所不知从而预 言一切的老智者,麦克斯韦的那个机智地控制出入口,以致快慢分子逐渐分离,系统熵为之倒流的妖精,被相对论搞得头昏脑涨,分不清谁是哥哥谁是弟弟的那对双 生子,等等等等。薛定谔的猫在大众中也十分受欢迎,常常出现在剧本,漫画和音乐中,虽然比不上同胞Garfield或者Tom,也算是有点人气。有意思的 是,它常常和巴甫洛夫的狗作为搭档一唱一和出现。它最长脸的一次大概是被恐惧之泪”(Tears for Fears),这个在80年代红极一时的乐队作为一首歌的标题演唱,虽然歌词是薛定谔的猫死在了这个世界

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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评论
sinosydneysider 回复 悄悄话 说点轻松的趣事:小学时得知物理化学史上无华人的影子,很郁闷。时值哥读中学,一日偶翻其教科书,读到”薛定谔定理“,欣喜万分,认为此公是薛姓华人 :-)

主席曰”中华民族应当对人类有较大的贡献“,不知何时能实现?
明亮 回复 悄悄话 呵呵,左转海螺,宋哲学的意思你不要误解,他是夸你诚实和谦虚。如果你要从头到尾读了书,就会明白得更多一些。他们这些高人都说“哲学无解”,人类不知道没弄清楚的事情太多了,并不影响我们高高兴兴的生活,我的问题是,哲学家是不是都很悲观呢,因为他们整体要面对“无解”的难题?
宋哲学 回复 悄悄话 左转海螺 :

看不懂这类文章不能算蠢,这文章专业较强,虽然作者想通俗化,但是,你问自己是不是比较蠢,可能还是表示......
左转海螺 回复 悄悄话 读了你的文章以后, 一个问题困扰我。 我没看懂, 是我太愚蠢的缘故吗?
宋哲学 回复 悄悄话 猫耳草啊,我同意"哲学是无解的".因为我接受RUSSELL对哲学的定义---位于科学和宗教之间的哪些不确定的知识.按这样的定义,某问题有了确切的答案(你的说法:有"解"了),该问题划到了科学领域内了. 结果,物理学,生物学,心理学,一个个从哲学领域分离出来变成了"科学".留在"哲学"里面的,都是目前无解的.
明亮 回复 悄悄话 其实,出世入世倒是真不用在乎形式的,林黛玉这样的选择,对她自己肯定是件好事,可想到她本来可以更有能力带动大家的,又觉得她有些自私,不过她如果真出家以后,仍在世而回普渡众生,倒也是件好事情。
猫耳草 回复 悄悄话 他已经看到了人生的真谛!他比林待遇强,他还好不用寄人篱下。
唉,惭愧,他有我这样的朋友,我不能打电话问他啊,怕听到:“对不起,电话不在服务区!”。
我梦中的defender啊,您就别刺激我了!5555~~~~~555~~~~~
明亮 回复 悄悄话 哈哈,见山不是山,见水不是水,还去炒股票,好像还不如林黛玉啊。今天股票大跌啊,他看见的是什么呢?
我看你人生哲学满开心和舒服的,买吧,买了好车开去哪里啊?
猫耳草 回复 悄悄话 明亮啊,哲学无解的,这不是我说的,是那个同学多年思索的结果,那个同学现在已经见山不是山,看水不是水了,跑去炒股了!呵呵。我有前车之鉴了啊!

牛顿家一定有钱,要不他不耕作跑到苹果树下玩去?科学的发展的原动力到底是啥呢?让我大胆的猜想一下:就是活的没劲,不花点精力打发时间,满足一下自己的好奇心就难受!(我说着玩的哈,砖头的不要!)

实在憋不住了,就让明亮偷着乐去吧,嘻嘻:
公理,定理和推理,看过数学课本的都应该懂吧,可我是20多岁了才懂的,没有公理,哪有定理,没有定理哪有推理,(怎么感觉像歌词啊!)
那公理是啥呀,大师说了,“不证自明”,晕,奶奶的,骗谁呀,你直接说,大家都认为是对的就是公理不就得了!晕!
推到第一张骨牌,大厦即将坍塌!忽悠吧,奶奶的,那楼房,那卫星不是还在么!

想起三句话(我也要显摆,显摆!):
司马迁,史记:天下熙熙,皆为利来;天下攘攘,皆为利往。
佛说:无色无像。
我说:我想买land rover defender!55555~~~~555~~~~
明亮 回复 悄悄话 猫耳草,你功力很高的,两件小事把语言语意的沟通理解问题提到桌面上。其实,这个语意学也是门学问,大家说来说去说不到点子上。所以数学家,物理学家不说话,写公式,公式一出来,简洁深刻,在一个层次上,大家都恍然大悟,没有歧义了。
你们好好定义好前提,还是可以沟通一下有新发现的。思想的火花,就是要讨论才撞击出来的。加油。:)
猫耳草 回复 悄悄话 滑头,见死不救型!
宋哲学大师,咱不能上明亮的当,咱们的才华要有所保留,哈哈哈哈哈!
看来我只能自救了!晕!
明亮 回复 悄悄话 猫耳草,宋哲学,热烈欢迎你们在这里华山论“猫”,很长见识。我也是看了很久,学了不少。宋哲学的哲学好像已经飞跃了,以后多去你哪里学习。
等我有空在琢磨清楚你们说的,我再发言,现在先看看你们各自的意见吧。谢谢两位。
猫耳草 回复 悄悄话 明亮救我!!!救我啊!!!

哎,突然想起件事情来:

春节前,和一个同事去吃午饭,聊天,他问我:“你逛过庙会么?”,我说:“不喜欢,很少去,你呢?”,他说:“我没去过呢。”我说:“我感觉跟你没什么关系呢!”,他说:“是,是!”。
我突然意识到他说“是,是!”的时候语气很怪,我就重新把我的话说了一遍:“我感觉我跑到庙会里去玩,并不觉得热闹,好像置身事外似的!”他说:“啊?”我说:“是我不好,你不是北京人,你还不知道吧,北京人在口语中说‘你‘的时候,不同的语境可能指代‘我,你,他‘,在刚才我那个话里‘你‘指代的是‘我‘!”他意味深长的说了声:“哦~~~!”
我心里想:他妈的,差点就莫名其妙的就把他推入了我敌人的阵营!晕!

哦,又想起件事,这回有点靠谱:
以前有个同学,喜欢哲学,那天走在路上,突然他问我:“语言是什么?”我:“啊?没想过。”他说:“是用来交流的!”我:“是么?”他好像没听到我说话,继续道:“那凭什么我们理解别人的话呢?恩,这就是约定俗成!”“难道所有人对语言约定俗成的理解都一样么?”:你看,我也有聪明的时候,他啊的一声就从他的思路中回来了。唉,救人一命胜造七级浮屠啊!

明亮,还是你来救我吧,这里您老大,我这个人就是太坏了!哈哈!

哦,对了,宋哲学大师,你占了那么多地方,本来我要用这些地方颂扬明亮的,您咋这么不客气啊,不行,明亮收他占地费!(我占的也不少!哈哈,我先欠着。)
宋哲学 回复 悄悄话 回答猫耳草

第一,猫不可以作为观测的主观主体存在的观点是荒谬的, 其实箱子本身也是可以这样论断的;

**
这里涉及的"世界"是人类的不是猫的.猫可能是有意识的,是可以作为"主体"的,但必须在它构造的世界中,而不是在人类构造的世界中. 在人类构造的世界里,根据OCCAM原理,可以ASSUME猫不是观测的主体,这一点也不荒谬.


第二,“薛定鄂的猫”的假想实验在研究主体上不能与粒子测不准理论并论,所以这只是一个荒谬的玩笑;
**
我没弄明白问题!


第三,粒子的测不准现象不应当无端质疑,无论是否由于观测导致电子迁移,对于人这个主观观测者来说,该现象确实存在;

**
粒子的测不准---我个人感觉是原理或定理,不知您WHY称为现象.作用和反作用原理,叫它现象比较奇怪.


第四,粒子的测不准原理不代表粒子的本身属性,是粒子本身属性的外在体现,粒子的无序迁移可以认为是自然界的一种物理属性,如同三大力学定律;

**
就我的理解,粒子的测不准原理是由于"观测行为"性质决定的.

它是内在性质? 或你说的"本身属性"?
也许不是粒子的本身属性,只是外在表现---这要看你把什么叫"本身属性"和"外在的表现".个人认为区分"内在的""外在的"是毫无意义,象是唯物辩证法的遗留的毒物.


第五,将微观世界的测不准理论推演至宏观世界,是应用了逻辑推理的方法,而逻辑推理的理论正确性已经被悖论否定;

**
KANT类似的话是:不能把人类理性用于经验外的东西.宏观微观都属于经验内的,可以运用逻辑.集合的悖论让人怀疑数理逻辑的基础,没证明它错误,更不影响不依赖集合概念的传统逻辑,微积分也一直"基础"不牢靠,没被证明"理论上不正确".

如果辩证逻辑更好,当然,可以抛弃传统的逻辑. 但是...



第六,逻辑推理的验证性在现实世界已经证实了可靠性,理论的不完美无法反驳它的应用能力,但是可以反驳它在理论推演方面的能力;

**
好象在从侧面说逻辑的好话,如果"第五"成立的话,第六不是太多余了?


第七,人这种东西,无论是否存在意识,作为人,它是现实世界的一部分,如果物理世界代表现实世界的话,它就是物理世界的一部分;

**
呵呵,不评论了.


第八,思维的介质是物质实体,电子的迁移导致思维运动,电子的测不准现象可以导致思维的不确定现象;

**
显然没理解测不准原理!

第九,区分观测对象和观测主体时应当注意,如果被观测对象已经包含观测主体,即将出现理论障碍;

**
不知道是要谁去注意什么.


第十,人的思维可以看作一个黑盒,输入是感官,输出是行为,无论黑盒内的运作如何,输入和输出无法摆脱物理世界;

**

输入:一个没胳膊的人能"感觉"到胳膊的剧烈疼痛.
输出:巨大的恐惧

这样的输入和输出,你也称为物质世界? if YES, 你的第十点是对的.但是这时候,你所说的"物质世界"可能完全是一个Solipsism世界.


总结,由于所有这十点是由一个“人”写的,并且其在探讨的事物本身包含此“人”,所以这十点没有任何意义,全是屁话,就是舍不得删啊!

**
对辩证唯物主义中毒太深.要解毒,请参考www.chinajust.org中的哲学部分,不久将来要更新. www.chinajust.org/phpBBS 可以看到更新的动态.
猫耳草 回复 悄悄话 第一,猫不可以作为观测的主观主体存在的观点是荒谬的, 其实箱子本身也是可以这样论断的;
第二,“薛定鄂的猫”的假想实验在研究主体上不能与粒子测不准理论并论,所以这只是一个荒谬的玩笑;
第三,粒子的测不准现象不应当无端质疑,无论是否由于观测导致电子迁移,对于人这个主观观测者来说,该现象确实存在;
第四,粒子的测不准原理不代表粒子的本身属性,是粒子本身属性的外在体现,粒子的无序迁移可以认为是自然界的一种物理属性,如同三大力学定律;
第五,将微观世界的测不准理论推演至宏观世界,是应用了逻辑推理的方法,而逻辑推理的理论正确性已经被悖论否定;
第六,逻辑推理的验证性在现实世界已经证实了可靠性,理论的不完美无法反驳它的应用能力,但是可以反驳它在理论推演方面的能力;
第七,人这种东西,无论是否存在意识,作为人,它是现实世界的一部分,如果物理世界代表现实世界的话,它就是物理世界的一部分;
第八,思维的介质是物质实体,电子的迁移导致思维运动,电子的测不准现象可以导致思维的不确定现象;
第九,区分观测对象和观测主体时应当注意,如果被观测对象已经包含观测主体,即将出现理论障碍;
第十,人的思维可以看作一个黑盒,输入是感官,输出是行为,无论黑盒内的运作如何,输入和输出无法摆脱物理世界;
总结,由于所有这十点是由一个“人”写的,并且其在探讨的事物本身包含此“人”,所以这十点没有任何意义,全是屁话,就是舍不得删啊!
明亮 回复 悄悄话 宋哲学,不用谢。你真有学问!看来你对哲学有深入的研究。以后我得跟着好好学习一下。那个物理公式,最好顺着书从头看起,也许有些帮助。内容太多了,很难一下讲清楚。欢迎。
杨子,术业有专功。无它,手熟而已。不用惭愧的。我大言不惭的什么都写,你就看着好玩吧。:)
杨子 回复 悄悄话
你~太~有~才~了!

俺先后读了两遍,还是一知半解,惭愧。
宋哲学 回复 悄悄话
就传统哲学的身心关系问题,我觉得BERKELEY
很好理解,KANT理论已经足够了,逻辑分析派试图画蛇添足,至于波函数坍缩,是不是太华哩胡哨拉-----谢谢您的文章和推荐的SINA的LINK,马上去打印和学习.看看能不能搞清楚什么是波函数坍缩----

尽管没懂,还是转载到
"http://chinajust.org/phpBBS/viewtopic.php?p=211#211
谢谢!
明亮 回复 悄悄话 梦思得,你的小画我很喜欢。谢谢建议,以后我读了好玩的还会给大家介绍。就是太忙,没空静心好好读这些书。
无去来处,握手握手。那你一定喜欢时间简史。那本书我也喜欢。那个不如这个这么文艺,更死板一些,读进去也很好看。欢迎。
明亮 回复 悄悄话 梦思得,你的小画我很喜欢。谢谢建议,以后我读了好玩的还会给大家介绍。就是太忙,没空静心好好读这些书。
无去来处,握手握手。那你一定喜欢时间简史。那本书我也喜欢。那个不如这个这么文艺,更死板一些,读进去也很好看。欢迎。
无去来处 回复 悄悄话 《上帝掷骰子吗 -- 量子物理史话》,是我看过的最有趣的科普书,不论是不是搞物理的,都会喜欢。几年前一直追着网上的帖子看,后来曾一度中断,前不久发现已经成书出版,立刻在当当上订了两本。一本自己留着,一本送好友。

梦思得 回复 悄悄话 Very good start. To introduce these types of books for discussion or just for reading is to open a new dimension for discussion for the WXC visitors.
明亮 回复 悄悄话 warmginger,这里是新浪读书的link,http://book.sina.com.cn/nzt/liangzishihua/
很浅显易懂。即使不看理论,看看历史是怎么一步一步演变的,也很有意思,里面还有好多这些人物的素描奇谈,很好玩。
warmginger 回复 悄悄话 明亮,谢谢。对你说的那本书很感兴趣。学文科的人能看得懂吗?你知道在美国如何能找到这本书?
明亮 回复 悄悄话 warmginger,谢谢你还硬着头皮给看完了。这个要从头讲有很多概念。基本上,量子物理在微观解释粒子的现象时,和观测手段相当有关系。可宏观世界,我们日常生活应该怎么解释这些现象,还是个相当的挑战,有些观念概念都是很奇特不可思议,这也是它有趣的地方。量子物理,还在发展中,科学是很多哲学思维的基础,你有空还是可以看看我说的那本书,很多是从里面摘的。我也很久很久没看这些东西了。平时用不到。:)
warmginger 回复 悄悄话 我仔仔细细读了一遍,虽然我从高二就不学物理了。不懂波函数,所以搞不清楚为什么观测的时候存在(波函数坍缩),不观测的时候就会慢慢融化。可是对这后面的哲学观点非常感兴趣。觉得我们学教育的讨论什么是真理,什么是知识,如何认知,真的是要仰仗这些更为基本的学科。可惜我不太懂。所以只能人云亦云,听着那个学说更酷就信哪一个,或者只是从自己的有限的主观判断来决定。以后要多多向你学习。对于不懂物理的人说,你写的已经很深入浅出,而且有趣了:-)
明亮 回复 悄悄话 狮王,谢谢夸奖。有些内容是从那书上摘的,你有空看看书,很有启发的。
小小艾,说实话,你的活路比我的宽广多了。我朋友今天给我写了个印象文章,结尾是,要是她是男人,她肯定Pass,不能娶我这样的。你说,我还得管你要活路呢,哪天教我唱歌吧。
黄鹂,不客气,你那天的评论,让我一下想起这些学过的东西,其实看看温习一下,还是很有意思的。我们那次考试,考的就是解这个方程,我们全班,都抄了一个每天上自习的刻苦用功的好学生的答案。那会儿,都没学明白。:)
两只黄鹂 回复 悄悄话 谢谢

很久不捧着玩意了,有点久别重逢的感觉。。。
小小艾 回复 悄悄话 俺totally晕S~~~~

明亮你给俺条活路吧!太刺激俺啦!

智慧与美貌并重,非双料博士不敢娶你啊!:))))
狮王传说 回复 悄悄话 才女呀,谈的有点高深,却又容易理解。深入浅出,不容易。
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