火箭方程与火箭预算

火箭方程是俄罗斯科学家Konstantin Tsiolkovsky独立地推导并于1903年发表的。早在1810年，英国数学家William Moore推出了这个方程；后来，美国人Robert Goddard 和德国工程师Herman Oberth分别于1912年和1920年也独立地推出了它。因为Tsiolkovsky首次应用它来回答火箭能否达到空间旅行所需的速度，火箭方程又称为Konstantin Tsiolkovsky 火箭方程。火箭方程的具体形式如下：

 

Vf-V0=Ve*ln(M0/Mf)

 

V0，M0分别是火箭在点火时的初始速度，初始质量；

Vf，Mf 分别是火箭在燃烧完成时的达到的速度，剩余质量；

Ve 是火箭的燃烧气体喷出的速度。

 

火箭方程可以用来计算火箭在推进剂用完时，火箭的载荷(包括本级火箭的空重，下一级火箭及其载荷)能达到的速度。它没有考虑重力和空气阻力引起的速度衰减。重力和空气阻力引起的速度衰减与火箭推进剂的燃烧时间有关，火箭推进剂烧完所需的时间越长，重力和空气阻力引起的速度衰减越大。一般地，对每级火箭，重力和空气阻力引起的速度衰减大致为1.5-2km/s。每级火箭的Vf减去1.5-2km/s，就得到火箭实际所能达到的速度。

 

例子一，星舰集成发射系统。

 

助推器(booster super heavy)：总重3600吨, 空重200吨，Ve=3.4km/s。

星舰 (starship)：总重1300吨, 空重100吨，Ve=3.7km/s。 

 

假设让星舰最后留下50吨推进剂，那么，助推火箭的M0=4900吨，Mf=1500吨，Ve=3.4km/s；二级火箭的M0=1300吨，Mf=150吨，Ve=3.7km/s；由火箭方程可以算出带有50吨推进剂的星舰的Vf=12.02km/s。

 

由于用了火箭两级，由重力和空气阻力引起的速度衰减至少3km/s。所以，带有50吨推进剂的星舰实际所能达到的速度不超过9.02公里/秒。

 

星舰集成发射系统在2023年11月18日进行的第二次飞行试验的结果：助推器火箭燃烧了160秒，升到67公里的高度，速度达到1.57 公里/秒；星舰部分的火箭燃烧了约313秒，最后升到148公里的高度，速度达到6.69公里/秒。

 

例子二，Artemis I 发射系统。

 

助推器(booster)：总重1460吨, 空重182吨，Ve=2.64km/s。

核心级 (core stage)：总重1073吨, 空重85吨，Ve=4.43km/s。 

二级(ICPS))：总重32吨, 空重3.5吨，Ve=4.565km/s。

载荷(spacecraft Orion)：重27吨。

 

那么，助推火箭的M0=2592吨，Mf=1313吨，Ve=2.64km/s；核心级火箭的M0=1132吨，Mf=144吨，Ve=4.43km/s；二级火箭的M0=59吨，Mf=30.5吨，Ve=4.565km/s；由火箭方程可以算出载荷宇宙飞船Orion的Vf=13.94km/s。

 

由于用了火箭三级，由重力和空气阻力引起的速度衰减至少4.5km/s。所以，宇宙飞船Orion实际所能达到的速度不超过9.44公里/秒。

 

上述数据来自英文维基百科，其中，Ve都选用真空值或一组发动机中的最大值。这样，Ve的选取又使求出的Vf偏大。

 

以地球半径为6378公里，月球与地球的质心距离为384399公里。根据能量守恒定律，在离地面1000公里的高度，以10.3公里/秒的速度飞行的飞行器，将动能全部转化为引力势能，这个飞行器就能飞到月球的高度。

 

由此可见，星舰集成发射系统与Artemis I 发射系统都只能将宇宙飞船(分别是带有50吨推进剂的星舰和Orion)送到离地面不超过1000公里的高度，各自的速度分别为不超过9.02公里/秒和不超过9.44公里/秒。也就是说，星舰集成发射系统与Artemis I 发射系统都只能将宇宙飞船送入小于1000公里x 378000公里的椭圆形轨道。

 

当宇宙飞船沿椭圆轨道上升到离地面接近378000公里的最高点后，将沿这个椭圆轨道的另一边返回到近地轨道的高度。如果不点燃宇宙飞船上的火箭作再入大气层，宇宙飞船将沿这个椭圆轨道继续飞行。直到下一轮返回到近地轨道的高度，如果点燃宇宙飞船上的火箭作再入大气层，宇宙飞船将结束轨道飞行，降落地面。

 

把火箭方程倒过来就得到火箭预算公式：

 

M0=Mf*exp{(Vf-V0)/Ve}

 

火箭预算公式可以用来计算火箭至少需要填充多少质量的推进剂。如果要把一个质量为Mf的载荷从零加速到Vf的速度，由火箭燃烧气体喷出的速度 Ve 就可求出火箭起飞时的质量M0。M0-Mf 就是至少需要填充的推进剂的质量。

 

火箭预算公式可以用来计算在月球表面起飞所需要的火箭推进剂的质量。月球表面的逃逸速度是2.38公里/秒。月球引力的减速作用，按地球的六分之一计算，应大致为0.25-0.33公里/秒。这样，可以设定从月球表面起飞的Vf= 2.38公里/秒。

 

如果宇宙飞船是从离月球表面500公里高的轨道上降落着陆的，这一高度的轨道速度是1.48 公里/秒，着陆过程可以简化为把1.48 公里/秒的轨道速度减少到零。这样，可以设定从月球表面着陆的Vf= 0公里/秒，V0= -1.48公里/秒。

 

例子三，星舰 (starship)空重100吨，也就是Mf=100吨，Ve=3.7km/s。根据火箭预算公式，可以求出M0=190.3吨。因此，至少需要90.3吨的推进剂，才能将空的星舰从月球表面升起转轨离开。

 

如果预留50吨火箭推进剂用于以后再入地球大气层，那么，起飞过程的Mf=150吨，可以求出起飞过程的M0=285.4吨。因此，至少需要135.4吨的推进剂，才能将带有50吨推进剂的星舰从月球表面升起转轨离开。

 

要把带有185.4吨推进剂的星舰从500公里高的轨道上降落着陆，着陆过程的Mf=285.4吨，那么，可以求出着陆过程的M0=425.8吨。也就是说，星舰在进入月球轨道时，至少要携带325.8吨的火箭推进剂，其中，140.4吨用于着陆，135.4吨用于起飞，50吨用于再入地球大气层。这还没有计入从地球椭圆轨道变轨到月球轨道，以及从月球轨道变轨回到地球椭圆轨道所需要的火箭推进剂。

 

如果把例子一中的二级火箭的Mf从150吨变到425.8吨，由火箭方程重新计算得到带有325.8吨推进剂的星舰的Vf=8.16km/s。校正由重力和空气阻力引起的速度衰减后，带有325.8吨推进剂的星舰实际所能达到的速度只有不超过5.16公里/秒。

 

例子四， Orion干重15.485吨，也就是Mf=15.485吨；Orion的火箭是AJ10，其Ve=3.13km/s。 根据火箭预算公式，可以求出M0=33.2吨。因此，至少需要17.715吨的推进剂，才能将Orion从月球表面升起转轨离开。

 

Artemis I 发射系统的载荷(spacecraft Orion)总重27吨，减去干重15.485吨，它携带的火箭推进剂不超过11.515吨。这11.515吨的火箭推进剂不够在月球表面起飞所需的至少17.715吨推进剂，可以假设11.515吨的火箭推进剂是为再入地球大气层准备的。这样，起飞过程的Mf=27吨，重新计算后得到，起飞过程的M0=57.76吨，因此，在月球表面起飞至少需30.76吨推进剂。

 

如果要Orion从500公里高的轨道上降落着陆后的余重为57.76吨，也就是说，着陆过程的Mf=57.76吨，那么，可以求出着陆过程的M0=92.68吨。也就是说，Orion在进入月球轨道时，至少要携带77.195吨的火箭推进剂，其中，34.94吨用于着陆，30.76吨用于起飞，11.515吨用于再入地球大气层。这里也没有计入从地球椭圆轨道变轨到月球轨道，以及从月球轨道变轨回到地球椭圆轨道所需要的火箭推进剂。

 

如果把例子二中的载荷(spacecraft Orion)的重量从27吨变到92.68吨，由火箭方程重新计算得到带有77.195吨推进剂的Orion的Vf=10.64km/s。校正由重力和空气阻力引起的速度衰减后，重92.68吨的Orion实际所能达到的速度只有不超过6.14公里/秒。

 

由此可见，例子一和例子二的发射系统甚至不能把425.8吨的星舰和92.68吨的Orion发射到地球的低地轨道。

 

如果估算一下两次变轨所需的火箭推进剂，星舰和Orion进入椭圆轨道时的重量至少分别是588.7吨和131.3吨。根据火箭预算公式，如果保持每级火箭增加的速度和燃烧气体喷出的速度相同，最后一级火箭的Mf的比值和发射前的M0的比值相同。因此，就可以预算一下需要多大的火箭发射系统，才能把588.7吨的星舰和131.3吨的Orion发射到的高度和速度，与例子一和例子二的发射系统把150吨的星舰和27吨的Orion发射到的高度和速度相同。

 

对于星舰集成发射系统，这个比值是588.7/150=3.9；而对于Artemis block one发射系统，这个比值是(131.3+3.5)/(27+3.5)=4.4。也就是说，所需的星舰的发射系统的大小是例子一中的星舰集成发射系统的四倍；所需的Orion的发射系统的大小是例子二中的Artemis block one发射系统的四倍多。