唐宋韵
唐宋韵
女子与数学 （2）gender gap
写这篇文章的动机，并不是因为近来刷屏的姜萍，而是网友的一篇博文《数学，无关性别》。说的是她回国以后得知上初三的表哥的女儿，在数学上遇到了困难，尝试请一位重点中学数学老师帮忙，而这位老师冷淡地表示，女生数学掉链子，无能无力……
同作者一样，我不同意那位老师的态度，但我却这样回：
“数学有点不同于其他学科，事情真的比较复杂、难说。
在完全自由的选择和类似的努力下，性别差异的确明显。我曾经近距离、数年之间（因某种契机）深入了解过我们这个学区最好的约20多个 math kids，包括我自己的两个孩子，我觉得总体上性别差异明显。但这其中确有几个个女生数学也是优秀的，其中两个大学里继续学STEM。所以，对于个体来讲不一定。
数学上最优秀者，两性的比例大约是 1：10，这在任何别的学科都是没有的，不能被歧视、偏见、自信心不足等来充分解释。
…… 我可以写一篇说这个问题，但不愿意趟这涉嫌“歧视”的浑水，被人扔砖头。”
她的回答中有两点，我认为非常中肯：1. 就应付大学以前的数学考试而言，她觉得学习数学“开窍”很重要。2. 她不知道女孩是不是从小就被灌输了性别的差异，因而从思想深处就对数学生出了惰性和怯意。
此外，她鼓励我写有关此问题的文章，不要管别人说什么......
好吧，既然我有一些数据、观察和有关的一些思考，就写出来，言者无罪。
性别差异（gender gap）这种说法早就有，但经常是非常宽泛的，比如平均而言男人比女人力气大，暴力犯罪率高，从政人数多，这些都是gender gap。（BTW，两性的智商平均值没有差异，尽管两性在IQ测验的分项上各有所长。）这里，我们将“性别差异”范围仅限于数学的能力或特长。
2009年，总部设在巴黎的国际组织“经济合作与发展组织”（简称经合组织； Organisation for Economic Cooperation and Development，OECD）开始了一项为期3年，每三年重复的“国际学生评价计划”（Programme for International Student Assessment (PISA)），通过测验评价几十个国家的15岁学生的数学和语言能力。本计划的初衷主要是提供一个量化的、显示不同国家初等教育水平的可比较数据，从而帮助各国制定教育政策。
PISA测验的结果，除了反映各国的差距之外，也反映出了显著性的性别差异 — 1. 在大部分国家，女孩的数学分数低于男孩；2. 在所有国家，男孩的阅读水平低于女孩。这是其中一年的全部结果：
另一个反映性别差异的是SAT成绩。下图左侧是40年间的SAT数学成绩的对比。男生的平均成绩始终比女生高30-40分。（但注意y坐标是从450而不是0开始，在视觉上“放大”了差异。）右图是两性在不同分数段出现的频率，同样表明男生在高分段比例高。（在700分以上，男女比约3 ：2 ）。
然而，统计表明在SAT阅读考试上，两性是没有显著差异的，有的年份女生还略有优势。下图是纽约州的Vassar College跨越10年，对其入校新生SAT的统计结果。尽管这所学校比较好，SAT的平均分比美国平均值要高很多，但趋势是一样的，即SAT阅读两性没有显著差异，但数学成绩男性平均高15-25分。SAT两个项目的结果表明，不能把女生数学分数稍低归结为教育机会不均等。
现在我们已经知道有关现象了。为了更全面的分析，我们做一个简单的数学模型，并希望它与现实中的广泛的观察和测量相吻合。我尽量简单地说，争取解释清楚：
在自然界、人类社会、以及心理学和教育学中，大量测量值表现为正态分布（normal distribution），比如人的身高、寿命、血压、考试成绩、智商等。正态分布有严格的定义，这里不多说。正态曲线呈左右对称的钟型，两头低，中间高。均值附近出现的频率最高，离均值越远，出现频率越低。均值μ和标准差σ是正态分布的两个特别重要的参数。均值反映了分布在x轴的位置，标准差反映了离散的程度。如果σ 的值大，则分布比较发散，曲线比较扁平。
下图左显示了正态分布的特点，如在正负1个标准差之内，出现频率高达68.2%，而大于3个标准差出现的频率只有0.1%。举个例子：根据定义，标准智商测验的均值是100，标准差是15。因此智商在85-115的人占了68.2%。而智商超过145的人只有0.1% ， 因为45是3倍的标准差。
上图右是理解gender gap的关键：红色虚线钟形图是整个人群（男女合并）的分布曲线。如果男性比女性有优势，那么男性的曲线将右移，而女性的曲线将左移。这个shift有多大呢，我对前面PISA和SAT的数据进行了分析（不细说了），我的计算结果是gender gap大约是0.3个标准差。也就是说男性的曲线较两性总和的曲线（红色虚线）右移0.15σ，而女性则左移0.15σ。
这样一个模型，它是不是大致准确呢？我们来看4种不同标准/水准下，两性究竟表现出什么样的gender gap：
A、基本水准：定义为-1.5 σ以上。即经过一定的努力，一般的数学课至少可以及格。（注意，A包含B，C和D，但上面的描述，是仅限于刨去B、C、D的情况）
B、优秀水准：定义为+1.5 σ以上。这样的学生数学考试经常能得A，可以选AP数学，SAT数学经一定准备，能考700分以上。他们可能参加数学竞赛，但获得优胜比较难。他们在大学里可以学STEM，但不是拔尖的学生。（B包含C和D，但上面的描述，是仅限于刨去C、D的情况。）
C、英才水准：定义为+3 σ以上。这是数学的精英，他们 AP数学和SAT数学都不费劲就能够获得接近满分的成绩，在低级别的数学竞赛中经常获奖。到大学里，他们也是STEM专业的优等生。
D、天才水准：定义为+6 σ以上。这是数学上的最尖端者，他们是在数学上有重大建树、获得数学大奖（包括菲尔兹奖）级别的天才。
好，现在我们来分别看。在下图中，我们着重看右边那个曲线下的绿色部分（大于z分值的发生概率），我用大字明确写在图的最右边。依照该模型，作为总体，有93.32%的学生数学可以基本合格（比如可以及格）。由于根据有关数据推算的正负0.15 σ的shift，相当于对男性而言，数字变成了-1.65 σ以上，而女性变更成了-1.35 σ，对应为男生95.05%和女生91.15%数学可以基本合格。也就是说，达到数学基本要求的比例为1.04 ：1，两性是很接近的，女生与男生达到数学基本要求的人数差不多。
再看看“优秀水准”的情况，这样的个体占整个人群中的6.68%。根据与上面同样的换算方式，男女的比例，实际上是比较1.35 σ以上的频数和1.65 σ以上的频数，这时男女比例比上面一个图增加了，大约是1.8 ：1。这个结果，与SAT数学考700分以上、数学课大多得A、选修数学AP等情况下，男女生的比例是基本吻合的。
【注：有关“C、英才水准”和“D、天才水准”的话题，我们留待下一篇再说。】
向看官致歉，本篇内容比较干，比较boring。而且在没有机理的情况下说数据，可能会被批评为有bias，甚至有“歧视”之嫌。这个问题的确比较复杂，男性比女性在数学上表现略强，可能是社会期待、个人信心以及生物原因综合的结果。当要求较低时，女生几乎与男生一样好，也许是因为努力和训练可以弥补轻微的劣势。看官去看第一张图，整个东亚地区，包括日，韩、新加坡、香港、上海，在那个比较简单的PISA数学测试下，gender gap都是比较小的，我猜想一个原因可能是东亚文化强调用功，而女孩比男孩更自控一些。然而，用功的作用，在需要天赋的一些高难度操作中，作用就有限了。在国际奥林匹克数学竞赛（IMO）选手中，男生比例很高，也许正是因为这个原因。
人做一件事情的动机的强弱，不仅取决于获得成功后的喜悦和回报，而且取决于对成算的判断和为获得成功所需付出的代价。因此，尽管桃子对所有人都是好吃的，“下山摘桃子”与“上山摘桃子”的劲头是不同的。如果那山有了两千多米高，一名登上运动员飕飕就上去了，水蜜桃吃着舒坦！我老唐气喘吁吁，爬了不到五百米就give up了。你们说我没吃到桃子是因为自信心不够强？
同意，大部分的gender gap不是科学问题，或不单单用科学就能解释和解决。
不是同一组题的粗分，而是十几个项目换算后的分数的加权，保证两性均值相同。
因此，在validation阶段，只要改变不同分项粗分换算成标准分时的系数或权重就可以“再平衡”了。比如对词汇和拼图两项的权重稍作调整。。。当然，这是一项复杂的工作，不是拍脑袋或者知道一点统计学就瞎来的。
另外，智商测验有很多种。像Wechsler智商测验这种高效度的测验，是主试者与被试者一对一的测验，不是一般的纸笔测验。
第一次听说智力测验的设计目标之一，是让同一组题目，让男的平均值=女的平均值。涨知识了。
另外，标准差的区别也许能解释一些现象。
女人标准差小，说明分布曲线高而窄，集中在中间，傻瓜少，神童也少。
男人标准差大，说明分布曲线矮而宽，两侧相对多，傻瓜多，神童也多。
男人的分布曲线宽，分布曲线的最左端的傻瓜里，男人比女人多得多。
监狱里关的，差不多都是男的，是不是说明傻瓜里男人比女人多得多？
男人的分布曲线宽，也导致分布曲线的最右端的神童里也基本上都是男人。
古今中外，以发明者命名的数学定理，差不多都是男人的名字，如欧几里得、牛顿。
即使让一个数学系的学生随便说出来一个以女人命名的数学定理，恐怕也很少人能说出来。
这是不是说明神童里基本上都是男人？
学懂从小学到研究生的数学内容，男女都有能力。
但要突破前人的数学成就，历史上也就几千人，这里面绝大多数都是男的。
并不是想说明男女谁更棒。只是根据已知的数据，看能不能解释一些现象。
谢谢油翁点评。
【新林院】
您的意思是不是下面的？
“智力测验的设计目标之一，是让同一组题目，让男的平均值=女的平均值。”
换句话说，如果这两个平均值不一样的话，智力测验的设计者会调整题目，使两个平均值更接近。
是这个意思吗？
是这个意思。
不管怎样，过若干年读会有新版。出于种种原因，特别是文明社会人的智商倾向于越来越高（称为 Flynn Effect），而且有的问题对新一代已经不适用了，所以常模总是要调整。
最新版的韦氏IQ测验 WAIS-5，将在今年10月份公布。
新版本是个非常严肃的巨型课题，不是发现一点小问题、小不平衡，就改动。
我不肯定您的意思。
您的意思是不是下面的？
“智力测验的设计目标之一，是让同一组题目，让男的平均值=女的平均值。”
换句话说，如果这两个平均值不一样的话，智力测验的设计者会调整题目，使两个平均值更接近。
是这个意思吗？
智商（IQ）反映一般性的的思维能力和语言能力，它与数学能力不是一回事。后者是很难定义的。研究表明两者的相关性小于0.4，最多算是中等相关。
就我本人而言，我也认为两者很不一样。比如，我下面回答网友时，我谈到IQ的大致情况是两性均值相同，但男性标准差大。而我上面的文章的文字和图很清楚，对于数学的性别不同，我是假定标准差相同，但均值有0.3个标准差的不同。。。
谢谢您的信息。当一个智力测验做常模的时候，或者在另外一个国家或文化进行validation的时候，男女样本在各个年龄段，在理想情况下是相等的（可以想见这个工作量相当大）。也就是说这个“标尺”的平均值在做norm的样本下两性是平衡的（这是智力测验的设计目标之一）。
然而，当以这一的标尺去测量新的人群时，就会有各种可能的不同，既可能是常模的问题，也可能是被测查的人群的取样问题。
如果被测人群的取样没有问题，IQ分出现系统的、反复的男比女高，那么有两个解决办法，1. 对IQ测验进行调整和re-validation，即对智商测验的题目、特别是言语智商和操作智商的分项进行再平衡；2. 像国际象棋、围棋那样，男女有不同版的IQ。这么做可能性几乎为0.
研究数据不支持您的结论。
根据 Richard Lynn 的测试结果：
男：IQ 平均值 = 101.461
女：IQ 平均值 = 99.681
两者 IQ 平均值区别非常小，但不能说完全相同。
【但男性群体的标准差大一些，比较发散，结果是男性的钟形曲线比较扁，两头多一些。也就是说，与女性相比，男性特别聪明的和特别笨的都多一些。】
研究数据支持您的结论。
男：IQ 标准差 = 15.253（钟形曲线比较扁，两头多一些）
女：IQ 标准差 = 14.085（钟形曲线比较高而窄，两头少一些）
（我的上个留言没写清楚，请删掉。谢谢。）
不要猜测我懂不懂什么！有意义吗？
我什么也不掩盖。这是技术贴，谈数学能力。
你我不在一个频道上。你何不自己去写、去论证。
请注意你说话的方式。这是我的博客，不是你的园地，也不是公共园地。
我感觉，先生其实在技术上不了解IQ测验，也不了解一般能力与特殊能力的区别。
但有打破“政治正确”的拳拳之心。。。我理解。。。
整体评价用统计学。
另外需要说明一点，即数学能力与智商是很不一样，研究表明两者最多只有中等相关。我认识一个“神童”，智商很高，但他在竞赛数学上的表现不突出。
IQ可以反映一般性的的思维能力和语言能力，与数学能力不是一回事。后者是很难定义的。
2019年1月14日
因多次发表种族决定智商的言论，曾获诺贝尔奖的美国科学家詹姆斯·沃森（James Watson）被剥夺多项荣誉称号。这位DNA研究的先驱者在电视节目中提到一种观点：即基因会导致智商测试中黑人和白人的差异。
冷泉港实验室（Cold Spring Harbor Laboratory）表示，这位90岁科学家的言论“毫无根据而且鲁莽”。
沃森博士2007年提出过类似主张，但随后道歉。
他于1962年与莫里斯·威尔金斯和弗朗西斯·克里克共同获得诺贝尔奖。1953年他们发现了DNA的双螺旋结构。2014年，沃森博士卖掉金牌，称他发表种族言论后被科学界排斥。
此前他曾发生车祸，目前正在一家养老院康复。据说他目前对周围环境的认知“非常小”。
DNA影响智商？
2007年，这位曾在剑桥大学卡文迪许实验室（University of Cambridge's Cavendish Laboratory）工作过的科学家告诉《泰晤士报》，他“对非洲的前景一直很悲观”，因为“我们所有的社会政策都是基于他们和我们一样聪明的事实，但所有的测试结果都表明这不是真的”。
虽然他希望人人平等，但他补充道：“那些不得不与黑人雇员打交道的人发现这不是真的”。
发表这些言论后，沃森被解除实验室负责人等所有行政职务。在书面道歉后，他得以保留荣誉头衔。
但冷泉港实验室表示，他现在不再拥有这些头衔。因为他在本月初美国公共广播公司PBS播出的纪录片《美国大师：解读沃森》中表达了同样的观点。
该实验室在一份声明中说： “沃森博士的言论应该被谴责，根本没有科学依据。”实验室表示，沃森的道歉不再得到认可。
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黑白颠倒的时代！
这个人用的是什么智商测验？
因为标准差大，所以高智商组男性多（同时男性智障的也多），没有IQ平均高5分这回事。但言语智商和操作智商的分项上有性别差异。
黑人作为整体，其智商低于白人和黄种人。这也不是什么秘密。
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白人比黑人的智商高。。。男性的智商比女性平均要高出五分。这一差异在高智商群体中尤其明显：130分以上的男性人数比女性高出三倍；145分以上高达5.5倍。
不是事实。标准化智力测验（如韦氏测验）在validattion时，其norm分别按年龄，但并不分开性别。
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"男性和女性的智商是分开测试的，各取平均值作为100分。"
德国之声中文网2005年8月30日2005年8月30日
英国科学家在对10万人进行测试后得出的结论大有挑拨离间的味道：男人的平均智商要比女人高。
https://p.dw.com/p/76zy
在同行们的眼里，退休的心理学教授林恩（Richard Lynn）无疑是在玩火自焚。最近他的研究结果在英国学术界引起了轩然大波：14岁以上的男性比同年龄段的女性更聪明。
这一结论是在对10万进行了思维能力测试之后得出的，并发表于最新一期的“英国心理学期刊”。本文的合作者厄尔文（Paul Irwing）是曼彻斯特大学的讲师，他表示对这一结果感到非常遗憾：“就他个人来说，他当然愿意看到另外的结果。但是科学真理往往事与愿违。”
在此之前，林恩教授已经进行了一系列相关的科学研究，并得出了以下结论：白人比黑人的智商高；罪犯隐瞒犯罪事实是由基因决定的。人们不禁怀疑，这位科学家的煽动性难道也流淌在他的血管里？
至今为止，各种研究男女大脑及其运作方式的心理学研究在得出结果时，都遵循小心谨慎的原则。男性和女性的智商是分开测试的，各取平均值作为100分。在测试不同国家人的智商时也采取相同的评分方法。这样就避免了通过相互比较而作出带有歧视性的评价。
林恩和厄尔文的研究忽略了性别差异，得出的结论是，男性的智商比女性平均要高出五分。这一差异在高智商群体中尤其明显：130分以上的男性人数比女性高出三倍；145分以上高达5.5倍。在这一群体中包括诺贝尔自然科学奖的得主，象棋大师，数学天才等。事实也的确如此，在这些领域的佼佼者中，男女比例如此悬殊，很难把这种现象简单归因于环境的影响。
除了智商比较外，林恩和厄尔文还进行了更深入的比较研究：在智商相同的情况下，女性的工作能力更有效，更细致，而且更能适应长时间的工作。考虑到知识技能在不同职业，不同年龄阶段的意义不同，在调查了各行业，各工龄的人后，他们发现智商数为125分的男女比例大致相同，
男性大脑的体积较大，而女性大脑网络连接更密集，这一点已经得到科学证实。大脑两个半球分别控制感性和理性思维，两个半球之间的联系更紧密、更频繁，未必是一种优势。女性在同时处理“理智与情感”交错的问题时，表现得更好，她们承受压力的能力也更强。然而在，处理复杂的数学难题时，她们往往受到直觉的影响。这道理就和电脑超负荷运行时，需要关闭一些软件来提高速度一样，这时候也需要切断大脑两个半球之间的联系，以便使注意力高度集中。
男女在不同领域有不同天赋：在代数和几何学上，女性很少有出类拔萃者，在空间概念上也略逊一筹。老生常谈的“女人停不好车”，虽然被政治家视作社会歧视，但是却得到了科学上的证实。通常行为学上的解释是，男孩子在野外侦察等游戏中得到了锻炼，是由于环境因素导致了这一差别。这种说法现在看来并没有触及根本性的问题。另一方面，女性更善于倾听，她们从孩童时期起就显示出较高的语言天赋和理解力。
这不是事实。男女的智商平均值是相同的，都是100，但男性群体的标准差大一些，比较发散，结果是男性的钟形曲线比较扁，两头多一些。也就是说，与女性相比，男性特别聪明的和特别笨的都多一些。
JustWorld2024-06-30 18:22:37
...男性智商比女性高大约5%。
FYI, MIT 的学生中女生占 45%。
谢谢您的长留言。这个问题的确复杂。社会与家庭的是一个人成长的环境，其影响无法排除。
0.3个标准差的差异，在两性学习机会基本均等的情况下，是不大能够完全归因于其他环境因素的。
日，韩、新加坡、香港、上海gap较小，不管是什么什么原因，面对的还是中低难度。这表明，在一般难度下，女孩可以跟男孩学得一样好。
然而，同样是这几个国家，每年层层选拔，最后参加IMO的，男生还是绝大多数，这说明somehow，在高难度数学竞赛中，男性有优势。
xy对xx染色体，是男女先天的基因不同，随之而来的表现型的差异，我本人倾向于首先从生物角度去理解。比如在任何文化背景下，男性的暴力犯罪都是同文化环境下女性的数倍。我们恐怕无法用“教育不够”和“对生命的热爱不足”来解释其根本原因，虽然这些都可能是影响它的因素。
男性大脑比女性大约10%。
男性智商比女性高大约5%。
另外，看北大清华录取男女比列。2021年，男女比例约2:1。
如果能数值化相貌，不管是男女，统计相貌对数学或别的学科的影响，可能可以消除一些社会和家庭的影响。当然，相貌歧视也是一种社会和家庭的影响。