数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
在一个宇宙形成之初，大爆炸产生的是极高温的辐射。一瞬间也就是10^(-30) 秒，成了一锅电子、夸克及带力粒子的热汤，温度高达10^27摄氏度；再一瞬间10^(-5)秒时，冷却到10^12摄氏度，夸克结合成了质子和中子；3分钟后，温度降到了10^8度，电子和质子阻止光子通过，宇宙是一片超热的雾沼。30万年后，温度降到1万度；电子与质子、中子结合成了较轻的原子主要是H和He, ，光线开始照亮宇宙。10亿年后，温度降到-200度；引力使得H和He形成巨大的分子云成了星系，其中的一些小块成了恒星，恒星照亮了行星，这才有了生灵宜居的物质世界。
一种物质可以呈现出5种状态：冷凝、固体、液体、气体和电浆，取决于外部的温度、压强和内部的分子结构。所谓的常温常压，指的是地球表面的温度和大气压。按照与太阳的相对位置，地表温度可以在 -50 到 +50摄氏度；人类感到舒适的室温为20度左右。地表的大气压强约为 760 毫米汞柱，或者 101.2232 千帕，称为1个大气压；这是意大利数学家和物理学家 Evangelista Torricelli在17世纪发现的。在常温常压下，物质的状态通常为固态、液态或气态；对于一定的温度和压强值，可以三态共存。状态也与分子结构有关；比如碳水化和物。当一个有机分子所含碳原子的个数为1到4时，通常为气态；5到19为液态，20或以上则是固态。
地球人类生活在一个大气海洋的底部, 其中有78%的氮气(N2) 、21%的氧气 (O2) 和1%的其它气体，包括二氧化碳（CO2）。在25摄氏度、1个大气压下，呈现气态的元素有：H2、N2、O2、O3、F2、Cl2，以及以单原子形式存在的惰性气体：He、Ne、Ar、Kr、Xe和Radon。其它化合气体有：HF, HCl, HBr, HI, CO, CO2, NH3, NO, NO2, ON2, SO2, SH2, HCN。除F2、Cl2和NO2外，气体都是无色的；SH2、HCN的毒性可以致命，CO、NO2、SO2和O3也有一定的毒性。
气体的描述相对于液体和固体更为简单。气态分子之间的距离很大（相对于分子大小）、相互作用力很小，可以视作点状般的、无形、无体积的硬球；气态分子永远处于完全的随机运动中，只因其它分子或容器壁的碰撞而改变；碰撞可以视作弹性的，即没有能量损失。这就是理想气体的假设。在此假设之下，可以用三个状态变量描述一个容器内的气体：体积、温度和压强。
在给定的温度和压强下，一种气体的体积与分子的个数N成正比；这是Avogadro定律，意为气体分子在容器内均匀分布。当给定分子数和温度时，体积与压强成反比—Boyle定律。当给定分子数和压强时，体积与温度成正比—Charles定律。当给定分子数和体积（容器的体积）时，压强与温度成正比—Gay-Lussac定律。把这四种关系式终合在一起，通过简单的数学演算，可以推出比值 PV/nT为常数R；其中n = N/NA, NA = 6.022 × 10^23，即n以摩尔为单位。实验数据表明，R = 8.31 Pa m^3/(Mol K)。在理想气体方程中，温度T是以Kelvin作单位的；因为存在一个绝对零度, 或-273.15摄氏度，此时的气体压强为零。0 K = -273.15 °C。
在1860年代，Ludwig Boltzmann和James Clerk Maxwell等人发展了气体分子的运动理论。按照碰撞的动量守恒，以及均方速度分布的各方向平等性，可以算出压强的大小：P = nMv^2/3V，其中，M是气体分子的摩尔质量（即1摩尔的分子的质量），v^2 = Sigma{vk^2: k = 1, 2, …, N}/N是均方速度，vk是第k个分子的运动速度。结合理想气体方程，可以推出气体的温度与分子的平均动能成正比：T = mv^2 NA/(3R) = mv^2/(3k), k = R/NA = 1.38 × 10^(-23)被称为Boltzmann常数。
在实际情形中，还需要考虑分子的大小。气体的实际体积应当是容器的体积V减去分子数n的一个倍数b，即为 V – nb，b的值与气体分子的大小有关。另一方面，也需要考虑分子之间的作用力，这会减轻分子间的碰撞。1873年，荷兰物理学家J.D. van der Waals断言，实际压强P(real)应当比理想化的压强P(ideal)减少一个数量，此数量与每个分子出现在特定区域的概率有关；此概率与单位容器体积内的分子个数n/V成比例；两个分子出现在同一地方的概率与(n/V)^2成正比；减少的压强与上述概率成正比：P(real) = P(ideal) – a(n/V)^2。a的值与特定分子有关。代入理想气体的方程可得：（P(real) + a(n/V)^2）(V – nb) = nRT。
对于多种气体的混合，假设各气体分子的运动是互相独立的，而碰撞都是弹性的，那么一个容器内所有分子的总动能就等于各种气体分子的动能之和。John Dalton (1766-1844)由此导出了部分压强定律：容器内的总压强，等于各种气体分子独自存于给定体积和温度的容器内所产生的压强之和。由此引导他提出了原子结构的理论。
当气体被加热到极高温如1万摄氏度时，分子间的剧烈碰撞使得电子都被敲落了，从而形成了离子。如果温度不够高，离子和电子便会重新组合成为原子。引起高温的办法有核反应、强磁场、强辐射。原子弹爆炸产生的高热可以把四周物体瞬间气化，更不用说反物质引起的灰飞烟灭。反物质被标价62.5万亿美元一克，科学家们只在实验室里见过；它可能就藏在夸克中，可惜人类无力打开。
尽管人类生活在地球的大气层中，却对液体和固体的性质更熟悉，因为它们有形可见、可触摸；人类的日常更离不开水和粮食。液体中的分子被更强的范德华力所束缚，分子间的距离比气态时更小，所以更稠密，几乎不可压缩。液态分子之间还是可以有相对运动，它总是充满整个容器。但在固态时，分子被绑得更紧，每个分子都有固定的位置，相对运动几乎不可能；其密度一般也比液态时更高。例外的情况是水：水的密度则是0.998 g/ml, 而冰的密度则是0.917 g/ml。
液态分子之间的吸引力体现在表面张力和粘稠性。表面张力使得液态物质获得最小可能的表面积，例如一滴水珠总是呈现球状，因为球体的表面积最小。表面张力的大小可以用单位长度上能够承受的最大力量来表示。如水在20摄氏度时的表面张力为 0.0728 牛顿每米。
同种分子之间的吸引力称为内聚力（cohesion）, 两种不同分子之间的吸引力称为附着力（adhesion）；由此可以解释毛细管现象（Capillarity）。把一种液体放在一个容器中，竖直插入一根管子。如果附着力大于内聚力，管中液体将高于容器液面；例如稻草管插入一瓶水中。如果内聚力大于附着力，管中液体将低于容器液面；例如金属管插入一盆汞中。
粘稠性(Viscosity)是流体对流动的阻碍。设想把一种液体置于两块相距为d的平形薄板之间，上面那块板被施以压强P，观察到液体的流速为u，那么它的粘稠度就是 V = Pd/u，国际标准单位是Pa*s。比入水在20度时的粘稠度为 0.001 Pa*s，在100度时为 0.0003。
液态分子的吸引力还表现在其浮力。还记得那个为国王Hieron 甄别皇冠是真金还是合金的阿基米德 (Archimedes) 吗？当他洗澡时发现胳膊和腿在水中变轻了，激动得光着身体跑到大街上，嘴里高喊着 “Eureka!” 。他告诉人们，浸入液体中的物体会受到一个浮力，其大小等于被物体所取代的那部分液体的重量。根据不同金属的不同比重，就可以判断皇冠的成分。
在流体力学中，Pascal定律指出，当液体所受压强发生改变时，其改变量会毫无遗失地传替到液体中的每一点包括容器壁上的每一点。于是，人们可以设计出液压器，小小的力量便可以举起很重的物体。流体动力学研究流体的运动，Bernoulli方程给出了一个近似的模型；由此导出的Torricelli定律还是很好用的。真正的流体（包括气体）的扩散方程，是一个多维度的偏微分方程，是数学物理方程的研究对象之一。
从宏观上看，固态物质具有确定的形状和体积，不可压缩，但是外力可以使其变形。变形有三种：断裂，永久性弯曲和弹性复位。金属具有延展性—可以拉成西丝，也有锻造性—可以锤打成薄片。在弹性范围内，有三个维度的数量指标用来衡量固体物质的可变形程度。一维的杨氏模（Young’s Modulus）定义为两端的压强（F/A）与长度变化率（ΔL/L）的比值；二维的切变模（Shear）定义为上下表面的压强与倾斜角度的正切的比值；三维的体积模（Bulk Modulus）定义为压强的改变量 (ΔP) 与体积变化率 (-ΔV/V) 的比值。这里带个负号，是因为当压强增加时，体积缩小。对不同的材料，这些数值都可以通过实验测得。微分形式的Bulk Modulus代表了Hooke定律；波在媒介中的传播速度也可以用这些模表出。
从分子的角度看，晶体的分子具有固定的几何形状。晶体是由于液体慢慢冷却而形成的。在2000年，在墨西哥的一个深达1000英尺的岩洞中，发现了满洞的晶体，有的高达40英尺重达55顿。它们都是硫酸钙融解在热水中，经过千百万年的冷却而形成。离子化合物和金属混合物都是晶体状的；共价化合物可以是晶体也可以是无形的（Amorphous）。无形固体是由于液体快速冷却、还来不及形成特定的几何形状。例如煤碳和玻璃。煤碳和钻石都是由碳原子构成的，但钻石因为其晶体结构，是已知最硬的物质。
晶体由一系列的单元（Unit Cells）周期性地重复排列、层层叠加而成。在每个单元中有数个格点，每个格点处是一个原子、离子或者分子。比如，食盐（NaCl）的一个单元由13个钠离子和14个氯离子组成。对于金属元素，格点处都是同样的金属原子。这些格点可以视作一个个的球；它们被紧密地包装在一起（Closely Packed）。
最简单的结构是一个立方体，8个球占据8个角成为一个单元，如类金属Polonium。其次是BCC（Body-centered Cubic），立方体的中心再放一个球，或者是FCC (Face-centered Cubic) ，立方体的每个面的中心都放一个球；下一层的球填入上一层的空档中。主族A1的金属、副族B5、B6都是BCC结构，主族A8除Helium外都是FCC结构。其它还有钻石立方体（DC）结构和钻石四面体结构（DT），简单六面体结构、紧密六面体结构等。
决定固体采取何种几何结构的主要原因是分子间的相互作用力，即范德华力。它可分为三类，一是两个极性分子之间的Keesom作用力，类似于库伦力。此力产生的势能与分子间距的6次方成反比（颠覆认知！），与温度成反比，与介电常数的平方成反比，与极矩（Dipole Moment）的平方成正比；此种力的一个重要例子就是氢键。第二类是离子与极性分子之间的Debye力；它产生的势能与距离的6次方、介电常数的平方成反比，与极矩的平方、极化能力（Polarizability）成正比。第三类是非极性分子之间的London力；它是临时性的、由于电子密度的随机波动而产生的。当一个非极性分子或中性原子靠近一个离子或极性分子时，前者的电子分布会被后者扭曲，从而感应出一个极性分子（Induced Dipole）, 两者之间便有了作用力。这种力产生的势能的平均值与Debye力类似。
一种物质的三种状态—固态、液态、气态是可以互相改变的，只要温度、压强和能量适当。气体与液体可以通过冷凝与蒸发，液体与固体可以通过冷冻与融化，固体与气体则通过沉锭（Deposition）和纯化（Sublimation）。气化1摩尔的液态分子所需要的热量可以用Clausius-Clapeyron方程算出：ΔH（vap）= RT（C – lnP），其中，R为气体常数，T和P为气态分子的温度和压强，C是一个取决于液体的常数。
在极低温度下，液体可以成为超级流体，即其黏稠度为零。当气态的玻色子（Bosons，自旋为整数）和He粒子等，被冷却到接近绝对零度时，就成为Bose–Einstein condensate(BEC)状态。1995年，Eric Cornell和Carl Wieman 用气态的Rubidium原子在实验室造出了一种BEC；紧接着，Wolfgang Kettrerle用气态的钠原子造出了又一种BEC。这三人因此获得了2001年的Nobel物理奖。BEC状态的物质揭示了超流和超导的机制。
反物质并不是藏在夸克里面的,所有基本粒子包括夸克都有其反粒子。反质子，反电子（正电子）可以在大型加速器中制造出来，它们组合起来就是反物质，反物质和普通物质相遇就会湮灭放出大量能量。现在已经可以制备数百数千反氢原子并且用磁场保存在真空里一小段时间。