数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
化学研究明面上的物质，包括它们的结构、状态、化合和变化的规律。“明面上”指的是人类能够看得见、摸得着的东西，至于暗物质，概念和理论是有了，但人类还没有检测到。化学只深入到原子核，包括质子和中子，质子是不可再分的。尽管夸克模型早已深入人心，但独立的夸克谁也没有见过，更别提虚拟的弦理论了。也许有朝一日人类能够释放出夸克，抓住暗物质，实现三级文明—随心所欲地控制、使用所在星系的能量，如果能出一个牛顿+欧拉合体就好了。
化学研究的内容有：无机化学、有机化学、生物化学。无机化学研究无生命的矿物，有机化学研究组成生命的物质。生物包括动物和植物。生物与矿物其实并没有本质的区别：德国化学家Friedrich Wohler 在1828年用氰化铅（Pb(OCN)2加氨（NH3）合成了尿素，前两种是无机物，后者则是有机物。现代有机化学主要研究碳水化合物，即碳、氢、氧三种元素的化合物；再加上氮、卤族元素和一些金属元素，有机物有1300万种之多，而无机化合物才区区几十万种。
地球生命是以碳元素为基础的，除了CO、CO2、CS2、碳酸盐、碳酸氢盐、氰化物之外，含有碳元素的化合物都算有机物。由于氮族元素的复杂多样性，有人相信也有氮基生命存在。生命具有感知能力，动物还具有意识和情感；再上升到灵魂的层面，就不是物质的范畴了。生物化学研究的是生物体的物质组成及生物分子的结构与功能，以及物质代谢和调节，还有基因表达和调控。这接近于生物学了，但还没到精神的程度。一些人信奉的Vitalism是无法量化的，因此也就成不了科学。据说有位医生测出了一个人的灵魂质量为21克，但没有人能够重复他的实验。
无机化学的研究内容包括：（1）原子的结构。从希腊哲学家Democritus在公元前400年提出 “原子” 的概念后，现代原子理论是John Dalton在1803年提出的。当英国物理学家Joseph John Thomson于1889年发现电子后，他把电子想像为葡萄干一样铺在面团上。1911年，英国物理学家Ernest Rutherford用Alpha粒子（氦核）轰击金铂，想要探索原子内部的结构，结果发现了原子核。Rutherford把原子想像为带负电的电子如行星般绕着带正电的原子核运转。
Rutherford的模型不能解释这个问题：氢原子有一个质子，氦原子有两个；它们的质量比应当是1：2，实际上却是1：4。氦原子核内必定还有其它粒子。1932年，英国物理学家James Chadwick用Alpha粒子轰击钡片，一种类似于Gamma射线的高能射线出现了！射线由第三种粒子构成，Chadwick称之为中子，因为它不带电。中子的质量比质子略大，近似等于质子质量加电子质量，再加上一个中微子的质量。天文学中对中子星—全部由中子组成的天体--的发现，震撼了人们对物质的认知：中子星的平均密度在3.7×1011至5.9×1011千克每立方厘米之间，也就是水的密度的100万亿倍！黑洞的雏形啊！电子都被压进了质子里，生命是没戏了。
考虑到原子吸收或释放特定光谱的特性，丹麦物理学家Niels Bohr在1913年提出了一种解释。他综合了Planck的量子理论，爱因斯坦的光子理论，以及Rutherford的行星模型。Bohr模型包含三点：电子只能处于特定的离散轨道中：由核向外，能级依次为E1, E2, E3, …；当一个电子吸收或释放特定能量（其值等于两个能级Ei, Ej之差）的光子时，它的轨道发生改变；电子的轨道角动量L=（mV × r）只能取h/(2π) 的整数倍为值，h是Planck常数。Bohr因此获得了1922年的Nobel物理奖。
Bohr模型依然不完善。角动量的分布应当更密集、也应当可以取零；根据Schrodinger的电子运动方程，可以计算出轨道角动量的大小为L = h/(2π) × sqrt[L(L+1)] ，L取值0, 1, 2, 3, 4, …n – 1, 并标记为s, p, d, f, g, …，称之为子壳（Sub-shells）：s电子云为对称球状，p有两个耳垂（Lobes），d有4个（或者一对加一个Donut圈），f有8个（或者一到两个Torus圈），g壳尚未见到。运动的电子实为电场，变化的电场又会产生一个磁场；磁场确定一个方向，角动量沿此方向的投影为LB = h/(2π) × ML，ML取值从-L到L，共计2L+1个值。电子还有自旋，按照两种可能的方向（从磁场方向看，可分为顺时针、逆时针方向）。因此，在一个能级n中，一共可以容纳 Sigma {2(2L+1): L = 0, 1, …, n-1} = 2n^2个电子。Hund原则给出了电子的排列规则。自此，原子结构完善了。
（2）物质的结构。在所有元素中，只有六种惰性气体He, Ne, Ar, Xe, Rn可以以单个原子的形式自然存在, 其它都是以分子或者离子的形式存在。分子是两个（或多个）相同或者不同的原子通过化学作用力（又称化学键）而组合在一起的稳定结构，其中各原子的数量具有固定的比例。离子就是一个不带电的、中性原子（或分子）得到或者丢失一个或多个电子所形成的稳定结构。美国化学家Gilbert Newton Lewis (1875-1946) 通过原子的外层电子结构，解释了原子结合的原因：为了形成一种稳定的结构。当一个原子或单原子离子的外层电子结构等同于一种惰性气体时最为稳定；对于分子和多原子离子，当电子总数为2[m^2 + n^2] 时，结构最为稳定。
化学键可分为离子键、共价键和金属键。离子键是一个阳离子与一个相同电荷数的阴离子之间的相互作用力（离子化合物必须是中性的）。键长定义为两个离子的半径之和。用库伦定律可以计算出作用力的大小；也可以用电势能来衡量键的强度。但化学中通常使用格子能（Lattice energy）来衡量一种离子晶体的稳定性：把一摩尔的固体离子化合物转变为气态离子所需要的能量。
共价键是两个相同或不同的原子通过共享一到三对电子，或者说是电子云的重叠，而实现一种稳定的结构。共价化合物仅含有共价键。一个原子能够形成的共价键的个数等于子壳中孤电子的个数；比如氢原子只能形成一个共价键。键的个数一般以电子数满8为原则；对于H，2个电子即满，Helium是4个；但Boron可能只有6个，在第三个周期或以上的原子，外层电子数可以超过8个，因而在Lewis结构式中，可以有孤电子对，甚至孤电子和空轨道。
共价键的键长定义为共享电子云的两个原子核之间的距离，通常只有1埃米（10^-10米）。共价作用力的大小没有式子可表：这既不是电力，也不是引力，人们只是笼统地觉得，键长越长，键越不稳定。键的强度是用拆散能（Dissociation energy）来衡量的：拆开一摩尔的气态分子的共价键所需要的能量。比如1摩尔的氢气H2, 要拆开为两个氢原子，需要436.4 kJ的能量。
在H—H键中，两个电子由两个氢原子5-5共享：它们花费相同的时间在两个原子的附近。但在H—F键中，卤族元素F具有更大的电子亲和力，电子对会花费更多的时间在氟原子附近。这种共价键叫做极性键；可以定以极矩（Dipole Moment）: δr，δ是分数电量，r是位移矢量，方向由负极指向正极。H—F键的极矩为 1.78。其实，这确实反映了键的强度，不过应当改写为 Kδ^2 r，K为比例系数，这可以从带电体之间的相互作用力推出，只是化学家们不知道。
其实，在极性共价键与离子键之间并没有严格的区别。1932年，美国化学家Linus Carl Pauling，把量子理论用于化学键的研究，得出了负电性的概念（为此在1954年获得Nobel化学奖）。两个原子A和B之间的负电性之差定义为 Sqrt{E(A-B) – [E(A-A) + E(B-B)]/2}/ sqrt(eV)，其中E(A-B) 是键A-B的拆散能，eV是电子伏特。一般认为，当负电性之差大于或等于2.0时，该键就是离子键，否则就是共价键。也有人设定一个百分数来表示电子的转移程度，纯粹的离子键，尽管从来就没有人观察到，设为100%的离子性，而纯粹的共价键，只出现在两个相同的原子之间，为0%的离子特性。Linus认为，离子特性是连续的，也就是各种电子密度的分享程度都有。
Lewis结构图并不能完全解释分子和离子的性质，因为键（电子云）是三维的，于是就有了AOT：Atomic Orbital Theory。外层电子对互斥（Valence Shell Electron-Pair Repulsion）理论假设，各电子对之间的互斥作用应当达到最小。因此，键角应当都相等，尽量形成一个正多面体；如果出现非共享电子对的话，它占的空间应当大一些，因为其中两个电子的互斥比共享电子对中的电子互斥更强。由此便可大致勾画出分子和离子的立体结构图。
VSEPR并没有解释化学键为什么存在，也就是电子云为什么会重叠。当两个原子互相靠近时，一个原子的电子层被另一个原子的核所吸引；同时它们的电子层则互相排斥、核也互相排斥。当总的相互作用力达到最小时，结构也就最稳定，相对势能最小。如果有外力使得原子进一步靠近，则斥力起支配作用，相对势能陡然增加。按照能量守恒定律，共价键的形成过程必然释放出能量。实验表明，当氢气分子H2形成时，有热量释放出来。反之，要断开氢键，必须输入能量到分子中。
Valence Bond理论同时考虑到了势能的极小性：一个稳定的分子形成于最小的势能。对于三个或以上原子形成的分子和离子，中心原子的外层各子壳中的电子需要混和，以形成势均力敌的共享键。1931年，Linus Pauling首先发展了原子轨道混合的理论。举例来说，对于甲烷分子CH4, 碳原子外层的四个电子2s^2 2p^2，p壳中的两个电子是孤电子，还有一个空轨道。要与4个氢原子结合需要四个键；如果两个H与s轨道的两个电子共享，则四键强弱不一。C只有把s轨道中的一个电子提升到那个空的p轨道，形成4个sp^3型的混合轨道，才能形成一个稳定的正四面体结构。原子轨道的混合类型还有：sp如BeCl2, Be的p轨道是空的；Sp^2如BF3, Boron的p轨道有一个孤电子；sp^3 d, sp^3 d^2，取决于原中心原子的d轨道是空的，还是有一个孤电子。
对于双键和三重键来说，重叠的轨道可以呈现出两种形状。如果两个电子轨道是头对头相重叠，电子云位于两个原子核的中间部位，就称为一个Sigma 键；这可以出现在s-s, s-p, p-p的情形。另一种是Pi键：两个电子轨道横向重叠，电子云集中于核心连线的上方和下方(分开的两个区域)。在乙烯C2H4中，两个碳原子以双键连结。每个碳原子从s轨道提升一个电子道那个空的p轨道，spx中的两个电子与两个氢原子结合成为两个Sigma键，两个C原子的py轨道中的电子形成一个Sigma键，而Pz中的两个电子形成Pi键。在乙炔C2H2中，两个碳原子以一个三重键连结。其结构是线性的，每个碳原子的两个spx混合轨道中的两个电子，一个与氢原子形成一个Sigma键，另一个电子与另一个碳原子的spx轨道形成一个Sigma键。其它的两个py、pz互相垂直方向的电子对，形成两个Pi键。一个双键几乎总是包含一个Sigma键和一个Pi键；一个三重键总是一个Sigma键和两个Pi键。
但是，VBT依然解释不了一些复杂分子中各键的等强度性。在苯分子环中，有六个H-C键、三个单的C-C键、三个双的C=C键；也就是说，12个sigma键、3个Pi键。结构图是平面的，各个键角都是120度；所有的键长和强度都是相同的。但是，双键的长度和强度显然应该不同于单键。正确的解释应当是这样的：碳原子外层的2个s轨道中的电子有一个提升到原来为空的pz轨道，成为一个非混合的轨道；其它三个电子实现sp^2混合，与一个H原子的s电子形成一个Sigma键，再与两个相邻的C原子的相应混合轨道形成2个Sigma键。在2pz轨道中的6个电子，就非局部化了，形成6个Pi键，可以在苯环平面的上、下自由运动；这六个轨道被称为分子轨道（MO），随着时刻的变化，可以6种方式形成3个劲道（Bonding MO）和3个非劲道（Antibonding MO）。
运动的电子都具有波的性质，成对出现的电子会互相干涉。当轨道中出现建设性（Constructive）干涉时，位于两个核心之间的电性密度最大，形成一个稳定的共价键（能量最低），称之为劲道。相反地，出现毁灭性（Destructive）干涉时，核心之间的电性密度降低到零（溢出到核心之外），结构耗能且不稳定，称之为非劲道。Sigma和Pi都可以出现劲道与非劲道，与时刻（相对论）有关。要描述电性密度的概率分布，需要用到波函数，其几何形状远非Sigma或Pi那么简单。
再看看简单的氧气分子的结构。按照Lewis的结构图，那是一条直线：O—O，每个氧原子带有7个电子，奇数般的存在肯定不稳定；实验证据表明应该是双键而非单键：它是顺磁的（Paramagnetic, 被磁场所吸引），而不是透磁的（Diamagnetic, 被磁场排斥）。氧原子的电子结构式为 1s^2 2s^2 2p^4, 一个氧分子共有16个电子；使用分子轨道的表示法，一个氧分子的电子表达式可写为 (Sigma1s)^2 (Sigma1s*)^2 (Sigma2s)^2 (sigma2s*)^2 (Sigma2px)^2 (Pi2py)^2 (Pi2pz)^2 (Pi2py*)^1 (Pi2pz*)^1，其中*表示反劲道。根据Hund规则，最后两个电子以相同的自旋方向（Parallel Spin）进入反劲道Pi2py*和Pi2pz*；因此氧分子会被外部磁场吸引。如果像在氟分子F2、氮分子N2中，最后的电子对以相反自旋进入同一轨道，那就会被外部磁场所排斥。MOT解释了分子、离子的磁性性质。
当然，分子和离子决不是一个个单独地游荡在空间中，它们彼此之间还有微弱的作用力，即范德华力（Van der Waals Forces），以形成物质。对于微小粒子来说，此种力的大小很难用数字描述，我们只能用能量来衡量稳定性；温度其实就是一团物质中的全部分子和离子所拥有的动能的一种度量。请关注关于物质的状态和相互作用，还有它们的寿命。
