数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
在超微观世界里，动的根本原因是电流：电子无处不在，只要有一个导体，它们便会流动。根据我们对原子结构的理解，为了达成一种稳定的结构，原子外层的电子总有趋于饱和的倾向，electric fluids 就是原子的外层电子发生了转移，从而形成了阴阳两种离子。同性的离子互相排斥，而异性离子互相吸引，物界就永恒在动。即使是一个中性的物体，正电量等于负电量，其原子内部的质子和电子也是在不停运动着: 尽管质子的组合体有同等数量的电子来达成中性，但由于质量上的悬殊，还需要一定数量的中子来维持稳定。稳定的实体，能耗最低。
考虑一·个原子或离子内部的世界，所有粒子的集合记为S；它包含a个质子，b个中子，c个电子，其它亚原子粒子先忽略不计（寿命大多只有几纳秒）。一般说来，奇数个外层电子（Valence Electrons）的结构是不稳定的，它必须丢掉或获取奇数个电子形成离子才能稳定。最稳定的结构是电子轨道达到饱和：s2, p6, d10, f14。通常而言，当核子数为2，8，20，50， 82，126时，原子更为稳定。这几个数被称为魔法数。原子与离子再通过共享电子（即所谓的化学键或电子对）形成稳定的分子，这是我们对物质的基本认识。
记一个粒子P的质量为MP，电量为EP（质子电量为e = 1.6 × 10^(-19) C, 电子电量为-e，中子电量为0）。在时刻t，粒子P的位置也记为P或P(t)；线性速度（矢量）为VP，角速度（矢量）为AP (方向上与VP满足右手螺旋法则) 。两个粒子P与Q之间的位移矢量记为PQ（从P指向Q），而PP = 0（零向量）。两个粒子之间的引力为 MP * MQ * g(|PQ|) PQ，|PQ|表示矢量的大小，函数g(d) = C + K/d^3，C与K为常数，即与距离d和时刻t无关。两个粒子之间的电力为EP * EQ * f(|PQ|) PQ, f(d)= C’ + K’/d^3，C’, K’为非零常数。
粒子都是有自旋的，我们还应当考虑Euler力和Coriolis力。欧拉力是当旋转参照系具有角加速度时，附近（位移矢量r指向物体）有质量（m）的物体会感受到的力：Fe = ?m delw/delt × r，w是参照系的角速度，方向与旋转平面垂直并满足右手螺旋法则。科里奥利力的表达式为 Fc =-2m (w × v) ，v是运动物体的线性速度。这些力不能说是虚拟的，只要能够被感受到就是真实的存在。
按照牛顿第二定律，一个粒子的运动方程是，动量的时间变化率，等于它所受的合力。S中一个粒子P所受到的合力为 F = EP Sigma{EQ * f(|QP|) QP} - MP Sigma{MQ * g(|QP|) QP} ? MP Sigma{ delAQ/delt × QP} - 2MP Sigma{AQ × VP}，其中的Sigma表示，对系统S中的所有异于粒子P的粒子Q求和，QP是从Q指向P的位移矢量。因此有，
DelVP/delt = RP Sigma {EQ*f(|QP|) QP} - Sigma {MQ*g(|QP|) QP} ? Sigma {delAQ/delt × QP} - 2 Sigma {AQ × VP} ，其中，RP = EP/MP是粒子P的电量与质量的比值。如果是中子，则此项为零。
如果不考虑Euler力和Coriolis力，系统内部的合力为零，因为作用力是相互的，因此，把所有方程加起来，系统的总动量为零。但是我们知道，在一个分子内部，原子之间也是有相互作用力的，一个原子的总动量不应为零，除非是单原子分子。在实际上，氢原子也不能单独存在，至少得形成氢气分子才会稳定下来。再往上，分子之间也是有作用力的，一个分子的总动量更不应该为零。
这些方程可解吗？甚至其正确性可否验证都成问题。一个原子的质量小于内部所有粒子的质量之和；核物理的解释是，这部分缺失的质量按照公式Δm * c^2 = E转化成了结合能。结合能也不是呆在那里一动不动的，它必然对各粒子的运动产生影响。其二，当一个电子吸收或释放适当的能量时，它的轨道会发生改变。这些能量又是从哪里来的？其它短寿命粒子的衰变？粒子之间的碰撞/散射？反粒子的存在？电磁辐射无处不在、在宇宙形成之初（大爆炸）就充满了整个空间。第三，分子的运动都是毫无规则、完全随机的，怎么才能定量地描述这些微小粒子的运动呢？应该说是微粒的波动，只能用能量的概率分布。
能量是一个间接的物理量，是一个物体作出改变的能力；它与物体的温度有关。最早是在19世纪下半叶，Ludwig Boltzmann和 James Clerk Maxwell等人通过一个简单的分子运动模型解释了气体分子的性质。他们假设气体分子都是无形状、无体积、有质量、小而坚固的点；分子间的距离相对于其大小而言是极大的；分子们在永恒地随机运动，只通过相互碰撞施加作用。
考虑一个体积为V的容器，其中充满了N个气体分子，一个分子的质量为m。定义其均方速度为 v^2 = Sigma {vj ^2: j = 1, 2, …, N}/N；引进一个坐标系xyz，假设均方速度在三个维度的分量相等；根据动量守恒定律，可以得出：气体内单位面积上的压力（即压强）为P = mN v^2/3V。再按照Boyle等人通过实验得出的理想气体方程式：PV = kNA T，k为Boltzmann常数，值为 1.38 × 10^(-23)，NA为Avogadro常数，即12克碳-12里的碳原子的个数；得出：mv^2/2 = 1.5kT，即一个分子的动能与温度成正比。这里，没有考虑分子间的势能，还有实际气体的方程。
任何炽热的物体都会释放出所有波长的光线：持续不断地加热，它会由红到白。一个物体单位时间内单位表面上接收到的能量，与它到热源的距离的平方成反比。为了描述辐射强度，物理学家们用了“黑体”（Blackbody）的概念，假设它能够理想化地吸收所有进入的电磁射线，并连续不断地、沿着所有方向，释放出各种频率的射线（你可以打开一个小孔去观察）；释放的速率随着温度而增加，与材质无关，但不会无限增加，因为它也会吸收。在达到平衡时，单位时间内、单位表面积释放出的能量可以表示为 Integral{ I(λ, T)dλ: λ属于所有波长}。
从实验数据出发，我们有Stefan-Boltzmann定律：一个炽热的物体（表面温度为T）在单位时间内，沿着所有的波长，单位表面积所释放出来的能量与其温度T的4次方成正比：Integral{ I(λ, T)dλ} = σT^4，σ为比例系数。Wien据此推出，辐射强度I(λ, T)具有形式 f(λT)/λ^5；但是函数f不能仅从热力学的角度来确定。根据试验数据所录得的强度曲线显示，I在λ = 0.002898/T时达到最大值。Wien推出，f(x) = c^4 Exp(- 5 × 0.002898/x)；但这与试验结果不符，尤其是当λ趋向于零的时候。
Planck花了六年多的时间，找到了一条吻合度更好的曲线：f(x) = 2πhc^2/[Exp(hc/kx) – 1] 。他作了两条假设：（1）释放射线的振荡分子（振子Oscillators）具有离散的能量 nhf，n是一个正整数，h为Planck常数，值为6.626 × 10^(-34)，f是振子的频率 = c/λ。具有能量hf的振子称为一个光子。（2）一个n对应于一个量子态；振子可以释放或者吸收整数倍的hf的能量而改变量子态。
假设在时刻t，在一个体积为V、环境温度为T的无穷小的空间区域S（黑体）内，具有频率f（或波长λ= c/f）的光子数为N(f)。N是一个随机变量，取值从0到O(S) = 域内振子的最大可能数目；它的概率分布函数记为Pf(N = n)(未知)。因此，区域S的平均能量为 E’ = Sigma{nhf Pf(N = n): n = 1, 2, 3, …}，总能量E = E’ × O(S) = A Integral{ I(λ, T)dλ}，A是S的表面积。
在化学反应中，为了开启反应，必需一个启动能量Ea；当分子碰撞开始后，可能形成一些临时的、不稳定的过度产品，直到最终的稳定产品。产品形成的速度与现有反应物的浓度的某个次幂成比例，而比例系数等于分子有效碰撞（以正确的方向碰撞）的频率乘以一个指数因子 Exp(-Ea/kT) [Arrhenius方程]。Planck假定，概率函数 Pf(N = n)与 Exp(-nhf/kT)成比例，否则达不成热平衡。
还要计算振子的个数O(S)，为简单起见，设想S是边长L的正方体，即V = L^3。Maxwell的四个电磁场方程 Grad × ε = -delB/delt, Grad * ε = 4πρ, Grad * B = 0, Grad × B = (1/c^2) delε/delt + 4πKm J
[Grad 为梯度算子，ε是电场强度，ρ是电量密度，J是电流密度，B是磁场强度，Km为磁场系数] 的一般解为 ε = （-1/c）delu/delt – Grad(U), B = Grad × （u/c）, u 是一个矢量函数，满足波方程 del2u/(delt)^2 = c^2 Grad2(u)；U是任何一个二阶可微的标量函数。波方程的有界解可表示为
u(x, y, z, t) = Sigma{[C(l, m, n) Cos(2π(lx + my + nz)/c) + D(l, m, n)Sin(2π(lx + my + nz)/c)] [A(f)Cos(2πft) + B(f)Sin(2πft)]}, 其中，求和是对所有实数l, m, n, f进行，只要满足条件l^2 + m^2 + n^2 = f^2，f是频率，取正实数。C，D为常矢量，A，B为常标量。
为了满足边界条件，也就是函数u具有周期性：当x, y, 或z改变L的一个整数倍时，u都取相同的值。为此，x, y, z的系数 2π(l, m, n)/c只能是2π/L的整数倍：2π(α，β，γ)/L。式子 2π(lx + my + nz)/c表示点积【k1, k2, k3】 * [x, y, z]，k = [k1, k2, k3] = 2π[l, m, n]/c= 2π[α，β，γ]/L是波的传播矢量，波长λ = 2π/sqrt{(k1)^2 + (k2)^2 + (k3)^2}= c/sqrt[l^2 + m^2 + n^2] = c/f。每一个给定的|k|值，由|k| = 2π/λ 可以得到一个波长，也就是说，每一组给定的整数值 (α，β，γ)，满足 α^2 + β^2 + γ^2 = (fL/c)^2都对应一个振子。
由于振子数目太大，我们可以把它看作是一个连续型的随机变量。在频段[f, f + df] 这个区间，振子总数为 8π(L/c)^3 f^2 df；此频段内的光子的总能量为 E = 8πhVf^3/c^3 * 1/[Exp(hf/kT) – 1]，这就是Planck的能量分布式，也是量子力学的开端。
对于一个粒子的波方程, del2u/(delt)^2 = v^2 Grad2(u)，其中，u是位移，v是波速，它的所有解为u(x, y, z, t) = Sigma{A(l, m, n) Exp(2πi(lx + my + nz)/v) Exp(2πift)}，对所有实数l, m, n求和，频率f = sqrt(l^2 + m^2 + n^2)，A(l, m, n)是矢量，依赖于l, m, n但与x, y, z, t无关。这种连续和式是不收敛的，数学上要把它积分化：通过Fourier变换。
对于传播向量 k = 2π[l, m, n]/v = 【kx, ky, kz】, 积分化之后的解可以表为 u(x, y, z, t) =
Integral {A(kx, ky, kz) Exp(i[k * r – ft]) dkxdkydkz}。此函数式满足微分方程 （Schrodinger 方程）delu/delt = iK Grad2(u), K为常数，与Planck常数及粒子的质量有关。
这种函数式称为波函数，它的模的平方代表了概率密度；即粒子在时刻t落入空间区域S的概率与积分 Integral{ |u(x, y, z, t)|^2 dxdydz: (x, y, z)属于S}成比例。这种积分式可以被称为概率，是因为它满足概率的三公理：（1）在整个三微空间上的积分为1，（2）在任意区域上的积分值介于0与1之间，（3）可列可加性：在可数个不相交区域上的积分值等于各区域上的积分之和。
接下来，要写无质量的光子，还有无光的暗粒子的运动方程了。
“最艰难的数学猜想都被我解决掉”
我的理解是，物理是个图景，用数学很难得到一个框架。从谐振子入手，可以得到localized的认识，从粒子推广到凝聚态或宏观，都是一个线索，振动和耦合。
Get back to life: 多做实验，多发明新的研究技术！
是发错地方了吧？