数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
记得李云锋同学曾经说过，一个人得有一本看家的书。我当时在研究Hardy-Littlewood方法，也就是圆法。此法把一个Diophantine方程的整数解的个数表示为一个三角和的积分，对于华林问题（Waring’s Problem）的研究有很大的促进。由此可以证明，一个充分大的自然数n，总可以表示为至多G(k)个自然数的k次幂之和。现已证明，当k ≥ 400时，G(k) < 2k log k+2kloglog k+12k。还有g(k)的值都已经被确定了。
圆法对于Goldbach猜想的研究也有推动。苏联数学家就证明了，一个充分大的奇数，可以表示为三个奇质数之和。这些都取决于三角和的估计，那可是一件难事。苏联数学家Viragradov创造了一种方法，可以改进估计的上界；中国数学家华罗庚、王元都对此有过深入的研究，但是都很难达到完美的结果。陈景润研究1 + 2使用的是筛法，但筛法似乎也已经到了极限，达不到 1 + 1的程度。还有不有什么方法，可以用来研究数论, 也就是整数的基本性质？我研究了Zeta函数，那就是我的看家本领了。
Zeta函数首先是由无穷级数 Sigma{n^(-s)*an: n = 1, 2, ….}定义的，其中s为任意复数，an为系数。它的收敛区域为半平面 Re(s) > a 的形式，可以延拓到整个平面，但是可能有一些极点。当an为完全积性函数时，即a(mn) = a(m)a(n)对所有正整数m, n成立，Zeta函数，在其绝对收敛域上，可以表示为在质数集上的无穷乘积。Riemann Zeta·函数是最简单的一个：an = 1。无穷乘积取对数后，还可以表示为zeta函数，其系数直接包含了全部质数的信息；如果使用竖直线上的复积分，系数的信息可以全部表示出来，因此可以推出质数定理。
Riemann Zeta函数只有一个一阶极点 s = 1，其残（留）数（Loren展开式的系数）为1。解析延拓后发现，它在s = -1处的值为 -1/12；因此一些半吊子的网红就拿此来说事，声称所有自然数的和等于 -1/12。殊不知，解析延拓的原理只是一种定义，它定义了一个新的解析函数，与原来的函数早已不是同一回事。跨越了极点的新表达式，就像一个人跨越了生死线，获得了新生，绝不能回到过去了；或者是一个宇宙经历了一个新的黑洞爆发。数学中允许跨越收敛性，但是不能直接除以零。
E. C. Titchmarsh在1951年写了一本书<The theory of Riemann Zeta-Function>；我读到的是Heath-Brown在1986年的注释本。书中详细总结了Riemann Zeta函数的定义、表示、解析延拓、阶的估计、零点分布、值的分布，以及相关联的质数分布、因子问题。悬而未决的是著名的Riemann猜想：Riemann Zeta函数的零点，除了负偶整数外，都分布在直线 Re(s) = ½上。有人用计算机算过了，前面几百万个零点都是如此。前六个零点，精确到小数点后两位，分别是 0.5 ± 14.13i， 0.5 ± 21.02i, 0.5 ± 25.01i, 0.5 ± 30.42i, 0.5 ± 32.93i, 0.5 ± 37.58i。
如果这些非平凡零点能够被确定，那么，质数分布、因子分部等等就都有了精确的表达式，这个世界也就大圆满了，Lindelof猜想也就成了一个推论。我的计算发现，Riemann Zeta函数的值完全由它在 0.5 ± isqrt(n)， n = 0, 1, 2, …的值确定；原来还以为可以通过整数插值确定呢！再通过用其它方法去计算这些值，Riemann Zeta函数的表达式就确定了。再用反证法可以证明，它的非平凡零点都在直线 Re(s) = ½上；而且都是单根。
这也足以证明1 + 1 即Goldbach猜想。对此猜想，以前我沿着华罗庚提出的一个初等方法，还请教了他的一个学生那吉生，可以估计出一些余项，但不能彻底解决问题。之后我又得到了二元一次不定方程的精确表达式，还是不能估计出所有余项，因为要涉到Mobius函数。我也用三角和去表示出了质数的分布，还对幂级数实现了变量代换，以加快收敛速度；但和式至少是八重，很难化简。有了Zeta·函数的零点分布，一切就都迎刃而解了。
记得曾经有北京钢铁学院的一个教授，用Mobius逆变换解决了物理学中的一个难题。现在有了此函数的部分和的精确表示，还有什么物理问题不能解决？世界真的是完美了。
厉害，Riemann 猜想您已经证明了？膜拜下。