物理数学方程（1）

有三个著名的物理学方程：热传导方程、波方程、势方程，写出来都是二阶线性偏微分方程。其实，只有一个方程，那就是能量的扩散方程，对于流体以及污染物的扩散，爆炸、撞击、任何相互作用，包括电与磁、核与色、量子与光、质量与引力，都可以用一个方程式表出。揭示能量的运动规律后，人们才能知道怎么利用它们。
首先，对于摸得着的热、流传导，设u(P, t)为能量（或者质量）的密度，即单位几何度量（一维长度，二维面积，三维及以上体积）上的能量，这里P是一个空间位置，t为时刻。一点处的能量密度要由包含该点的区域上的平均密度去逼近。在一个区域D内的总能量为
E(D, t) = Integral {u (P, t) dm: P 属于D} ，m为几何度量，dm是微元.
在时间[t, t + Δt]内，能量E的改变量为 ΔE = Integral{ Δu dm，P属于D}。按照能量的守恒定律，ΔE应当等于，u通过边界曲面delD的静流量（流入减去流出），再加上源 S(D, t + Δt) – S(D, t)，减去漏 L(D, t + Δt) – L(D, t)。单位时间内通过单位表面积的能量称为通量；令Δt趋向于零，得 Integral { delu(P, t)/delt dm, P属于D} 
= Integral {F(P, t)dA, P属于 delD, A为面积, 比m低一维的几何度量} + delS(D, t)/delt – delL(D, t)/delt. 其中，del表示求偏导数。
对于通量F，我们有Fick扩散定律：（1）能量总是从密度高的地方流向密度低的地方，（2）流速与密度的梯度（Gradient u = i   + j  + k ）成比例。对于热流而言，这其实就是傅立叶 (Fourier) 热传导定律。热能可以通过温度T来反映。没有温差，则没有热能的流动；温差越大，热能的流动就越大。所以，流速V (矢量) = C  u，比例系数C表示媒介的导热（能）能力，与物质的性质有关，与空间位置或时刻无关。C为负值，表示流速与梯度反向。
应用散度定理，曲面积分 Integral { u * n dA，P 属于边界delD} = Integral {Δu dm，P属于D}, 其中，Δu是拉普拉斯算子：Δu =   +   +  . 于是可得 Delu/delt = C Δu + S(P, t) – L(P, t)，这里的S/L是单位时间单位体积内产生的源/漏。如果无源无漏，则此项为零。

其次，考虑波动方程。首先讨论一维的情形。一根被拉紧的弦会振动。考虑一种简单情况：弦与地面平行（设水平方向为x轴，向右为正），它的线密度为d (质量与长度的比值)。考虑弦上的一小段位于[x0, x1] 上的弧，其上每一点离开平衡位置的位移为u(x, t) （向上为正），x为区间[x0, x1]上任一点。
 
假设弦是完全柔性的：它弯曲时没有阻力，而且弦的其它部分对此弧段两端的作用力沿着弦的切线方向（此切向力称为弦的张力，记为T(x, t)）。假设x处的弧段与水平方向的角度为θ = θ(x, t)，即tanθ = delu/delx。在水平方向，弦的位移很小，可以忽略不计:合力大小为零：T(x0, t)cos(θ0) = T(x1, t)cos(θ1). 
在竖直方向，应用牛顿第二定律：d(x)(L) del2u/delt2 = T(x1, t)sin(θ1) – T(x0, t)sin(θ0) – d(x)Lg，其中，x近似看作x0和x1的中点，L为弧长，g为重力加速度。令Δx = x1 – x0 趋向于零，并将弧长L近似地看成Δx，可得：d(x) del2u/delt2 = del(Tsinθ)/delx – gd(x)。由于水平位移忽略不记，Tsinθ 约等于Ttanθ = Tdelu/delx。因此得到一维波动方程：d(x) del2u/delt2 = del(Tdelu/delx)/delx – gd(x)。当密度和张力为常量时，则有 del2u/delt2 = v2 del2u/delx2 – g。其中，v = sqrt(T/d)是波的传播速率，这可以用理想化的圆周运动推出。

对于二维的振动膜，膜上任一点的位移记为u = z(x, y, t)。假设斜率delu/delx，delu/dely都很小，振动可以近似看作是垂直的，张力的大小T也是近似恒定的，面密度d(x, y, t)有时也可看作常量。对位于(x, y, t) 处的一小块曲面（面积dA），在其边界曲线上取一个小弧段，弧的切线方向为τ（单位向量，逆时针为正，即曲面在左边），曲面的外法线方向为n，那么，张力由T(t × n) （矢量积）确定。在竖直方向的总张力为 Integral{T(t × n) * k dl}，沿边界曲线的线积分，k为竖直方向的单位向量（向上为正）; * 为标量积。
 
在竖直方向应用牛顿第二定律，曲面积分 Integral{d(x, y, t)dA * del2u/delt2} 等于曲线积分 Integral{{T(t × n) * k dl} 减去重力 mg = g*Integral{d(x, y, t)dA}. 曲线积分 Integral{{T(t × n) * k dl} = Integral{{T(n × k) * t dl}; 根据Stokes定理，Integral{B * tdl} = Integral{曲面积分 Integral{(∇×B)*ndA} ，其中∇ 为梯度算子, 可得 
d(x, y, t) del2u/delt2 = T[(∇×(n×k))*n] – gd(x, y, t)。
模上的点可以用(x, y, z)来表示；单位法向量n = [-delu/delx, -delu/dely, 1]/sqrt() 近似等于分子，所以 n × k = [-delu/dely, delu/dx, 0]，(∇×(n×k)) = k(del2u/delx2 + del2u/dely2)；因此
del2u/delt2 = v2 {del2u/delx2 + del2u/dely2} – g, 其中v2 = T/d(x, y, t)。
这就是振动膜的方程。

对于三维流体，设其体密度为d; 压强的大小（单位表面积上所受到的压力）为p。考虑一小截流体（见下图），质量为 (ΔV)d，界于两个截面A1和A2之间。位于流体中心（x, y, z, t）处的小位移u(x, y, z, t), 流速为v = delu/delt。如果流体是不可压缩的，则有连续流方程：- d1A1(v1*n1) = d2A2(v2*n2), n1, n2是截面的外法线方向向量。在左端，n1 = -v1/|v1|, 在右端，n2 = v2/|v2|，|v|是流速的大小。因此，d1A1v1 = d2A2v2.
 
另一方面，流体的其它部分对此段的作用力来自于两端；左端的作用力为 -p1A1n1, 右端的作用力为 -p2A2n2。重力为 -(ΔV)dg (g 指向球心，这是对星球人而言的)。根据牛顿第二定律，有：
(ΔV)d (del2u/delt2) = -p1A1n1 ?p2A2n2 ?(ΔV)dg, 两边除以d (ΔV)，可得
del2u/delt2 =- (p2A2v2/|v2| ? p1A1v1/|v1|)/d(ΔV) – g 。令ΔV趋向于零，
del2u/delt2 =- del (pAv/d|v|)/del(V) - g. 
对于一个体积微元，delV = A 位移u在速度方向v/|v|的投影，即 delV = A del(u * v/|v|)，因此，
del2u/delt2 =- del(pv/d)/del(u * v) - g. 这就是介质的扰动方程。Bernoulli方程、Navier-Stokes方程都是特例。

第三，势方程，也就是物体之间的相互作用。按照牛顿力学的观点，物体的运动是由外力引起的；外力可分为两类。一是体力（Body forces），它穿体而过，包括引力、电磁力、核力、色力，还有描述旋转运动的、虚拟的离心力、欧拉力、Coriolis效应等。二是表面力 (Surface forces) ，作用于物体的内、外表面，有接触力、表面张力、分子黏附力；内部的接触力会传导至体内每一个点。表面力可以分解为法向力与沿着切平面两个方向的力（shear force）。
我们先探寻保守的相互作用力的表达式，也就是沿着一条曲线的作用与路径（过程）无关;由此对力场中的每一个点Q，可以定以一个势函数（实、标量）：U（Q）= Integral{F(P, t) * dr: P属于从某个参照点O到点Q的任一路径，r是从O到P的位移}。保守力的另一含义是，在它的作用下，物体的机械能（动能+势能）与时刻无关。弹簧力（走直线）算一种，其大小与方向由Hooke定律确定：F = -ku，u是位移；固体（Rigid body）的弹性力属于表面力，不是保守力。
闭曲线C上的路径积分 Integral{F(P, t) * dr: P属于C} = 0，由Stokes定理，当且仅当旋量 ∇ × F = 0。引进空间直角坐标系（x, y, z），力F的分量为(f, h, s)，从而，dels/dely = delh/delz, delf/delz = dels/delx, delh/delx = delf/dely. 此时，fdx + hdy + sdz 是一个全微分；F = ∇U. 如果假设U与时刻无关，而且无源无漏，则从前面第一段可以推出 ΔU = del2U/delx2 + del2U/dely2 + del2U/delz2 = 0. 这就是势方程；它的解称为调和函数。调和函数在一个区域内的值，完全由边界曲面上的值确定。在二维的情形，任何一个复解析函数的实部和虚部都是调和函数。
形如U = 1/sqrt[(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2]的势是一个调和函数（(a, b, c)为某个固定点）；由此导出的力式与距离的平方成反比。还有其它的自然力吗？在物理和统计中，经常定义一些“矩”，即量与位移的数量积 qr；它关于时间的变化率就是线性动量（还有角动量和磁动量）。在量子力学中，一个日本物理学家(Yukawa)提出了一种与距离成正比的力；这有什么理论根据吗？
按照牛顿的作用与反作用定律，两个物体之间的作用是相互的：A对B在时刻t的作用力为 f(d，t)r (d是A到B的距离，r是从A到B的位移矢量)，B对A的作用力就是 ?f(d，t)r；f是一个实函数。当f与时刻t无关时，按照矢量加法的法则，可以推出f = C + K/d^3，C和K为常量，即与d和t无关。与时刻相关的推导，可以加进Lorentz变换，不带旋转效应的那种，。如果有转动，还要加上欧拉力、Coriolis力：其实都是因转动而产生的感应力。由此，可以得出最一般的场论方程。
微观世界和超微观世界里的物理数学方程，待续。

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