数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
最近听说学物理之前要先学“习思想”，是不是要搞清楚正能量与负能量？可物理世界中的能量概念怎么能与人治社会的折腾行为相提并论？现实世界里的能量，是一个间接的物理量，无斤无两无形状；它是力子相互作用的表现，分正负只是为了区别力的方向。习氏折腾搞阶级斗争，顺我者昌为正，逆我者亡清零，负能量来自哪里？敌对势力。今天，我就给小学生们科普一下，什么是自然科学里的能量。
是人都知道，物质由分子组成；这是宏观世界，因为分子肉眼可见（借助显微镜）；分子则是由原子通过化学键链接在一起；化学反应就是原子重组：通过交换、共享电子对，电磁力与引力同时作用，形成化学力如London、Van De Waals等Dispersion Forces。这些力都是可计算的，而且可以在分子摄像机下被看见。
微观世界由基本粒子构成，人是不能直接观测的。亚原子粒子有几百种，但都是由6种夸克、6种轻子、5种带力粒子（Higgs、W/Z、Gluons、Gamma、Gravitons）组合而成。起作用的主要是强核力、弱核力；核力的大小与间距成正比，这是可以通过相互作用的叠加原理推导出来的。电磁力和引力则忽略不计；因为强核力是电磁力的数百倍，更是引力的10^40倍，弱核力是电磁力的百万分之一，也是引力的10^30倍。核能是化学能的几百倍。
基本粒子又是什么呢？粒子都具有波粒二像性，为了把二者统一起来，物理学家们构造了弦。弦是无限细的，没有厚度但有长度，大约1.6 10^(-35)米(Planck长度)；可以是开放的，也可以是闭合的。弦的每一个振动模式对应于一个基本粒子，其振动频率、幅度和波长确定了它的能量（质量、电量和自旋）。弦是物质的基本组成成分，不再由其它东西构成。弦如所有粒子及力子一样互相响应，但不再像无穷小的点状粒子那样“刚性”分裂，而是像管子般实行Y状“软性”的光滑分叉。
弦是一维的；还有不有二维的曲面、三维的实体，甚至更高维的形体存在呢？物理学家们杜撰了膜(Branes)的概念。薄膜(membrane)就是一块二维的、没有厚度的曲面，称为一个2-brane；一个封闭的2-brane就像一个救生圈。再把点状粒子称为0-branes，零维的；三维实体称为3-brane。在超弦理论中，共有10个维度，即一个形体可以沿最多10个维度伸展；一个p-brane有p个维度，p可以取值0到9；它可以延伸出一个p+1维的体积，称之为世界体积 (Worldvolume)，就像点成线有长度，线成面有面积，面成体有体积。人类只能看间三个维度，只有物体长度达到了!0^(-16)米时，才可以被观测；其它维度都被卷缩在了普郎克尺度里。
有一类特殊的膜，具有质量，可以让开放的弦的两端固定，称之为D-膜；D指的是满足Dirichlet边界条件，也就是说，在一个区域内部满足Laplace方程的位移函数，在区域边界上满足的条件。一个D0-膜就是一个点状粒子，它有无限的质量，不固接于任何物体，也不移动；一旦被观测，它的质量才变为有限。一个D1-膜就像弦：可以一个空间维度伸展，也可以闭合成圈；它可以任何方式运动，包括振动和量子波动。一个Dp-膜沿着p个空间维度伸展。在玻色弦理论中，最高可达D25-膜，还有跟即时子同性质固定在时间和空间中的D(-1)-膜。
在数学上，膜可以用范筹(Category)来表示; 范筹就是包含物体以及两个物体之间的态射(morphism)的数学结构。物体可以是集合、具有代数结构的向量空间，或者具有几何结构的拓扑空间；态射就是两个物体之间的、保持某种结构信息的映射或者变换（函数）。可以把D-膜当作物体，态射就是它们之间起连接作用的开弦。D-膜就是复子流形，包含了弦两端的能量（电荷、质量等）信息。
膜相互作用，形成了各种基本力。当两个D-膜互相靠近时，作用力被其间的一个弦圈捕获。弦圈可以被描述为包含低能量的两个复标量场：弦的质量是虚数。一根弦的质量来自于三个方面：一是它的静止质量，由两端的D-膜拉伸所致；二是振动能量，源自每一个共振（overtone）；三是量子不确定性的最小波动，这称为零点能量，它是负的，不能被消除。按照E = hf，以及E2 = p2c2 + (m0c2)2, 三种效应相加，得到总质量的平方。弦圈的配对场势为phi ^(2)chi ^(2)。
弦理论的一个应用是黑洞的研究。物理学家们坚信，黑洞应该具有熵(entropy，即某种不可控的能量)；可是黑洞吞食一切能量，它的熵似乎从宇宙中消失了。为了满足热力学第二定律，人们必须假定黑洞获得了被吞食物质的部分熵。把量子力学应用到黑洞研究，Stephen Hawking发现，黑洞会通过热辐射释放能量，其温度为T = K/M与其质量成反必，常数K = hc^3/[16pi^2(Gk)]，G为万有引力常数，k为Boltzmann常数。假设零质量物体的熵为零，Bekenstein据此推出了，黑洞的熵与质量的平方成正比。膜（branes）其实就是绝对温度为0的黑洞。
为什么恰有这么多维度的膜？这与物体的对称群有关。对称群就是保持某种结构信息的变换所组称的集合，它包含置换群。在几何上，只有5种正多面体。结晶体的组成原子，在空间中组成某种意义下的规则体系。使得离散点系变到自身的运动可分为三类：有一个不动点、有一条不动线、有一个不动平面；这些变换群的个数分别为65、100、17,共计182个。
电荷 (electric charge) 到底是什么东西？弦理论从来没有给出一个量化的表述，用的是规范场论（Gauge theory）。规范就是一个度量系统或者度量设备。规范对称性指的是不同量规之间的等价性，也就是一套规则；比如规定光子没有质量，而且它的自旋方向与前进方向一致。电子的规范就是“旋转”；不是空间里的那种旋转，而是量子力学意义上的旋转：一个额外的维度，形如一个园，正、负电子沿着相反的反向旋转，这种旋转就是电荷。
一个物理系统往往用各种作用(action)来表示。一个作用就是一个函数，用来表示系统如何随时刻变化。单个粒子的作用，可以用动量与位移之积的路径积分表示；一般数学表示是 S = int(Ldt: t = ti →tf)，L是拉格郎日量，或称作用密度。需要讨论的是，L在哪些变换下保持不变。当变换在每一时空点同时施行，它就有全局对称性。规范场论要求拉格朗日量也必须有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域；这个要求是广义相对论的等效原理的一个推广。
最早包含规范对称性的物理理论是James Maxwell的电动力学。在静态电动力学中，电场E（矢量）是电势V(标量)的梯度(Gradient)：E = -(Del)V (Del 是梯度算子)。在电磁学中，有另外一个向量势U, 使得磁场B = (Del) × U (矢量积), E = -(Del)V –(delU)/(delt)，其中del是求偏导数算符。对于任何一个二阶连续可微的函数f(P, t)，如果把U换为 U + (Del)f，把V换为V – (delf)/(delt)，场论方程保持不变。也就是说，Maxwell方程具有规范对称性。
Hilbert假设在一般坐标变换下，作用不变，由此推导出了爱因斯坦的场方程。Herman Weyl试图统一广义相对论和电磁学，他猜想尺度（scale）变换下的“不变性”也是广义相对论的局部对称性；这解释了电磁场效应对量子波函数的影响。这是第一个被广泛接受的规范场论。现在的规范场多用微分几何的语言来表示。一个规范就是一个主丛(Principal Bundle)的一个局部截面的选择；一个规范变换就是两个截面之间的变换。变换的表示十分复杂，有仿射表示，非线性表示等。
膜间相互作用的力式，有不有一个量化表示？现在的数学无能为力吗？各种变换无非都是些符号，写个函数式总是可能的。可怎么去捕捉自然力，就不是一只笔或者一个键盘能够办得到的了。明白了力与能的互通与转换，也许能够帮点忙；但同时也将明白，人决不能够永远拥有什么，只能旁观欣赏；没有千秋万代，更没有什么万岁万万岁。
