数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
一个变量x的多项式指的是形如a0 + a1x + … + anx^n= P(x) 的式子，其中n为正整数，an非零，n称为多现式的次数（或者度数）；诸系数ak与x无关。这在所有的数学表达式中是最简单的，其它式子如果具有无穷阶导数，可以展开为x的幂级数；如果仅有有限个极点的话，则可以展开为Lauren级数。这些式子的个数是可数的；所有函数式子的个数（基数）为2^c，其中c为连续基数。
研究多项式的主要目的是求它的零点（或根），也就是解方程P(x) = 0，或者分解成一次因式。当n = 2时，通过配平方，很容易得出二次方程的求根公式。关于n=3时的求解，有一段很长的故事。最早是意大利数学家Luca Pacioli 在1494年，出书记录了对一元三次方程解法的艰辛探索，并断言在当时的数学，求解一元三次方程是根本不可能的。
在1505年左右，意大利数学家Scipione del Ferro解决了形如x^3 + mx = n的方程，但并没有发表自己的成果，而是对解法保密，只是告诉了自己的学生。在1535年，Ferro的学生菲奥尔向数学家Niccolo Tartaglia挑战，后者用两个小时解决全部30个问题，赢得了比赛，并在1541年终于完全解决了一元三次方程的求解问题。与费罗相同的是，Tartaglia同样选择保守解法的秘密。同样研究一元三次方程的意大利医生、哲学家和数学家 Girolamo Cardan在允诺不公开的条件下，1539年从Tartaglia那里得到了他的解法；然而Cardan却背弃诺言，把Tartaglia的结果发表在了自己的著作《Ars magna》中。现在人们只知道三次方程的Cardan公式。
他们的解法如下：对x^3 + ax^2 + bx + c = 0, 先配完全立方，消去二次项，得到形如y^3 + py + q = 0的方程；再作变量代换y = z + k/z，选取参数k，使方程化为 (z^3)^2 + q(z^3) – p^3/27 = 0 形式。这是关于z^3的二次方程，有公式解；再开立方（需要单位1开立方的复数公式），代入y中，即得全部的三个根。
四次方程很快就被Tartaglia的学生Lodovico Ferrari解出。Ferrari的解法思路是这样子的：对x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，配完全平方，使它成为
(x^2 + ax/2 + y)^2 = (a^2/4 – b + y)x^2 + (ay/2 – c)x + (y^2/4 – d) 的形式；再选取参数y，使得右边是关于x的完全平方，而这只要右式的判别式为0即可。从此得出一个关于y的三次方程；任取其一解，可得关于x的两个二次方程，因此，四次方程的根便可全部解出。
这还可以用另一简单的方式来描述：先配成关于x的完全四次方，以便消去三次项，得到形如 y^4 + py^2 + qy + r = 0的方程；再用待定系数法把它分解为两个二次多项式之积。其中的系数会出现一个三次方程，用Tartaglia·的方法解之，就化为了两个关于y的二次方程。
当次数n>4时，人们一直没能找出一般的解法。法国数学家Franciscus Vieta研究了根与系数的关系；这可以因式分解之后再展开，与原多项式比较系数而得。n个根的基本（初等）对称多项式，各等于相应的系数（带符号），这就是Vieta公式。牛顿恒等式揭示了根的各个k次幂之和与系数的关系；当幂次k大于次数n时，还有递推公式。
在1770年，Lagrange发表了《关于代数方程解法的思考》，指出二、三、四次方程的解法对五次及以上的方程不可行。他考虑了全部n个根用1的n次根的各种线性组合（预解式），以此为根构造一个新的方程；按照根与系数的关系，这个新方程的系数可以用原方程的系数的有理式表示出来。若新方程根式可解，则原方程亦然。然而经过他如此顽强的努力之后，用根式解高次方程的问题仍然未解决，它好像是在向人类的智慧挑战。
1824年，挪威青年Abel（1802-1829？）证明了：当次数n > 4且项数>2时，任何以系数构成的有理式的多重根式，都不可能是方程的根。原来，数学家们几百年努力的问题根本就没有解。
接下来的问题是，哪些方程可以用根式求解？这个问题由法国青年 Évariste Galois (1811-1832, 20岁时死于决斗) 彻底解决。Galois的想法与Lagrange相似，考虑n个x1, x2, …, xn的一次线性组合式L = k1x1 + k2x2 + … + knxn，系数kj不是单位根，而是使得L遍历n个根的全部n! 个排列 。以这n! 个组合式为根的多项式 G(x)的系数都是有理数。
Galois引进了有理数域上不可约多项式的概念。假设G(x)已经分解为有理数域上一些不可约多项式之积；g(x)是其中之一，其次数为m。g(x)就是m个一次因式 x – Lk 之积；把这些Lk舔加到有理数域Q中，得到一个扩张域F = Q(L1, L2, …, Lm)，或称为g(x)的分裂域。F可以看成Q上的一个向量空间，其维数为m。F中保持Q中元素（有理数）不变的自同构的全体，称为g(x)的Galois群，记为Gal(F/Q)。Galois定理说，原方程P(x) = 0根式可解的充要条件是，每个Galois群都是可分的；也就是说，G = Gal(F/Q)可以分解为一个下降的群链：G > G1 > … > Gk = {e}，使得商群Gi/G(i+1)为可交换群（Abel群）。
用根式求解等价于通过一系列变量代换，化为一系列的二项方程：x^n + m = 0。在不能根式求解的方程中，能不能化为三项方程呢？1861年，Cayley证明了，一个一般的5次方程，可以用Tschirnhausen 变换，化为y^5 + y + a = 0的形式。Tschirnhausen变换就是y = b0 + b1x + … bmx^m，m < n为某个正整数。由P(x)的n个根，算出n个y值；以此构造一个关于y的n次方程：y^n + c(n-1)y^(n-1) + … + c1y + c0 = 0。按照根与系数的关系，可以选取参数bj，使得尽可能多的系数ck为零。1858年，Hermite用椭圆函数表出了这种五次方程的解。
由于求解的困难，数学家们转向了另外三个方向的研究。一是根的存在性；是否任意一个次数n > 0的多项式都有根（实或复数）？答案是肯定的，这就是代数基本定理。它的证明是十分困难的。在17世纪后半期，D’Alembert给出了一个闭区间上连续函数最小值的证明，但这一事实也是需要证明的。真正严格的证明，是在Gauss 1799年在哥廷根大学的博士论文中给出的；现在已有200多个证明。Gauss使用的是复变函数的模的极小值定理。这些分析学的方法，还给出了重根的判断条件：与导函数有公共根。这可以用Euclid辗转相除法来进行。
第二个问题，是实系数多项式的实根个数的确定。由连续函数的介值定理，如果实系数多项式P(x)在某两个不同实数a, b处有不同的符号，它在a与b之间必有一个实根（奇数次实多项式至少有一个实根）。Descartes符号法则指出，如果一个实多项式的所有根都是实数，那么正根的个数（重数计算在内）就等于它的系数序列的变号数；如果有复根，则正实根的个数等于变号数减去一个偶数（包括0）。
瑞士数学家Liouville Sturm的方法可以给出两个实数之间实根的个数。对于一个没有重根的多项式，用它与它的导函数去作辗转除法，得到一个多项式序列；由于无重根，P(x)与P’(x)互质；多项式序列的最后是一个非零常数。假设a < b不是P(x)的根，将这两个数代入多项式列中，得到两个实数列。它们的变号数之差，就是多项式P(x)在a, b之间的实根个数。
在复平面上的区域中，根的个数可以由幅角原理确定。在复变函数中，通过计算一个解析函数f(z)的对数留数Int{f’(z)/f(z)dz: z 沿围道C}/2iPi, 可以得出：当z沿C的正方向绕行一周时，f(z)的幅角增量Δ(argf(z)),等于2Pi乘以它在所包围的区域D内的零点个数，减去极点个数。由此可以推出，一个多项式P(z)在一个由闭曲线C所包围的区域D内的根数，等于当z绕C运行一圈时，P(z)绕坐标原点的圈数（在另一复平面上）。
第三个问题，是实根的近似计算问题。按照介值定理，当P(a)P(b) < 0时，P(x)有一实根c在a, b之间。我们可以用二分法或者牛顿的切线法，去逐步逼近c的值。二分法中，根的存在性由闭区间套定理保证；切线法中，要按照P(x)的单调与凹凸性确定起始切线，由二阶导数的界确保数列的收敛性。第三种方法是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在1834年发表的方法。设P(x)为首一多项式且各根的模互不相同：|x1| > |x2| > … > |xn|。构造以各根的平方为根的另一多项式，次数为2n：只要把P(x)与P(-x)相乘，结果只含x的偶次幂；再把x^2换为新的变量z，得到P1(z)，次数还是n；依此运算，得到以xk的4次方、8次方、16次方。。。为根的一系列n次多项式。在计算了N次之后，所得多项式的系数带上符号+， -， + ， - 。。。之后，开2^N次方，就非常接近原方程的根。
我的欧氏方法如下。对于给定的多项式P(x)，可假设常数项不为零。先用欧几里德辗转相除法，求出gcd(P(x), P’(x)) = g(x)；用g(x)去除P(x)，以消除重根。令f(x) = P(x)/g(x), 可提出非零的常数项，f(x)/c = 1 + xh(x)。f(x)的零点，就是其倒数R(x) = (1 + xh(x))^(-1)的极点。用多项式定理把R(x)展开为x的幂级数（系数为rk），它的收敛半径就是模最小的那些极点所在的圆的半径。如果只有实根的话，则绝对值最小的一个或两个根已经求出；再从系数rk中减去此根的k次幂，再开k次方，去计算极限，可得其它根。
对于实系数多项式的复数根，可以分离出它的实部与虚部，写成x + yi，y非零。展开后可得两个关于x, y的多项式方程；按照变量y的次幂排列，由低到高，可以逐次消项，最后降为单变量的多项式方程，只求实根。
多项式方程的根，总是可以解出的，尽管有的没有一个显式表达。对于无穷级数，如Dirichlet级数的根，如何求解，那才是真正挑战人类的智慧。不过，我已经会解黎曼Zeta·函数的根了。
