勾股数与海伦数

记得有一年, 潘承彪教授被邀请去出高考试题，他出了这样一道题：请证明勾股定理。现如今，此定理的证明不下三百种，网上随便一搜就唾手可得，可是加拿大八年级的数学老师们没有一个人能够解释清楚。勾股数的一般表示公式，从学校里出来的、没有任何课外学习的高中生们，没有一个人知道。

勾股数是满足勾股定理的三个正整数，a, b, c，a^2 + b^2 = c^2；比如，(3, 4, 5)是最小的勾股数。如果a, b, c没有公因数，就叫作本原勾股数PPT（Primitive Pythagorean Triple）。从a, b, c互质，加上勾股定理，可以推出它们两两互质；再因为完全平方数只能是4的倍数或者4的倍数加1，可知a, b必定是一奇一偶。不妨设a为奇数，b为偶数。移项，应用平方差公式，a^2 = (c + b)(c – b)；因为c + b与c – b互质，乘积又是完全平方数，推知它们每个都是完全平方数且为奇数。

设c + b = d^2，c – b = e^2, d > e, 互质且为奇数。b = (d^2 – e^2)/2 = 2mn，其中m = (d +e)/2, n = (d – e)/2, m > n，互质；a = de = m^2 – n^2;奇数，m和n一奇一偶；c = (d^2 + e^2)/2 = m^2 + n^2。这就是PPT的一般公式：a = m^2 – n^2，b = 2mn, c = m^2 + n^2。如果设gcd(a, b, c) = k，就可以得出所有勾股数的表示式：a = k(m^2 – n^2)，b = 2mnk, c = k(m^2 + n^2)。

海伦数来自于海伦三角形，即三边长a, b, c均为正整数，且面积也是正整数的三角形。Heron公式说，三角形ABC（对边长分别为a, b, c）的面积为α = sqrt(s(s – a)(s – b)(s – c))，其中s为半周长(a + b + c)/2。三角形的面积公式还有，α = absin(C)/2 = rs = abc/4R，r是内切圆的半径，R是外接圆的半径。根据半角公式及余弦定理，有tan(C/2) = sqrt[(1 – cosC)/(1 + cosC)] = sqrt[(s- a)(s -b)/s(s-c)], 即有正切定理；记z = tan(C/2) = α/s(s – c)。类似地，x = tan(A/2) = α/s(s – a), y = tan(B/2) = α/s(s – b)。当面积为整数时，x, y, z都是正有理数；而且满足关系式

z = tan(90 – A/2 – B/2) = cot(A/2 + B/2) = [1 – xy]/(x + y), 即xy + yz + zx = 1。

根据恒等式sin(C)= 2tan(C/2)/[1 + tan^2(C/2)] = 2z/(1 + z^2), sin(A) = 2x/(1 + x^2), sin(B) = 2y/(1 + y^2)，都是正有理数。再由等式, a = 2Rsin(A), b = 2Rsin(B), c = 2Rsin(C)，推知三边a, b, c可由三个正弦值乘以同一倍数而得。

设x = k/m, y = k/n, gcd(k, m, n) = 1，mn > k^2; 则sinA = 2km/(k^2 + m^2), sinB = 2kn/(k^2 + n^2)，z = (1 – xy)/(x + y) = (mn – k^2)/k(m + n), sinC = 2k(m+n)(mn – k^2)/[(m^2+k^2)(n^2+k^2)], 化为同分母(m^2+k^2)(n^2+k^2)，约去公因数2k,得道海伦数的一般公式：

a = m(n^2 + k^2), b = n(m^2 + k^2), c = (m + n)(mn – k^2)。

半周长s = mn(m + n)，面积α= mn(m+n)k(mn – k^2); 内切圆半径r = k(mn – k^2)，外接圆半径R = （m^2+k^2）(n^2+k^2)/4k。

勾股数必定是海伦数：这从A = 90°, k = m即可看出。三个勾股数中，必定有一个能被3整除，也必定有一个能被5整除；在a, b, a^2 – b^2中，还必定有一个能被7整除。还能找到满足各种性质的勾股数，比如b^2 – a = 5。勾股数还给出了单位圆周上的所有有理点。再推广到高次方程，a^n + b^n = c^n，n > 2，就有了Fermat大定理。勾股定理还是欧几里德几何定义距离的出发点。