欧几里德空间

欧氏空间指的是实内积空间，即一个实线性空间（V, R）上，定义了一种内积(u, v): 它满足三条公理：对称性（u, v） = (v, u)，线性性（xu + yv, w） = x(u, w) + y(v, w),x, y为任何实数；非负性，(u, u) > 0, 只有(0, 0) = 0。在n维欧氏空间R^n中，最常用的内积定义是，把各对应分量（坐标）相乘后再相加。有多少种内积定义方式呢？无穷多！

按照非负性，可以定义一个向量的长度：|u| = sqrt(u, u)，再从非负性(xu + v, xu + v) ≥ 0出发，可以用x的二次多项式的判别式，推出Cauchy-Schwarz不等式: (u, v)^2 ≤ (u, u)(v, v)；进而定义两个向量之间的夹角<u, v> = arccos{(u, v)/|u||v|}。当两个非零向量的内积为0时，就说它们是互相正交（垂直）的。向量长度也就是一种范数，即向量空间上的一个非负实函数，满足正定性，|u| > 0，只有零向量的范数为零；数乘线性性：|ku| = |k||u|；三角不等式：|u + v| ≤ |u| + |v|。在泛函分析中，即是半范数，可以通过凸集来构造；而凸集的个数是连续的。反过来，如果一个范数满足平行四边形定理，|u + v|^2 + |u – v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)，那么，通过4(u, v)= |u + v|^2 - |u – v|^2也可以定义内积。

有了范数，便可以定义两个向量之间的距离d(u, v) = |u – v|。按照人类的常识，距离应当满足三条公理：非负性、对称性、三角不等式，即d(u, v) ≥ 0且只有d(u, u) = 0；d(u, v) = d(v, u)；d(u, v) + d(v, w) ≥ d(u, w)。有无穷多的距离函数：如果d(u, v)是一个距离函数，f(r)是一个非负的实函数满足f(r + s) ≤ f(r) + f(s), f(0) = 0, 那末f(d(u, v)) 也是距离函数。这种函数很多，如r^k, 0 < k < 1。反过来，有了距离函数d(u, v)，如过它还满足平移不变性：d(u + w, v + w) = d(u, v)，以及数乘线性性：d(ku, kv) = |k|d(u, v)，那么，也可以通过|u| = d(u, 0)定义范数。

在有限维的欧氏空间中，找出一组基向量{u1, u2, …, un}，其度量矩阵M = ((ui, uj)), i, j = 1, 2, …, n是一个正定矩阵。任意给定两个向量u = (u1, u2, …, un)X^T，X = (x1, x2, …, xn)，v = (u1, u2, …, un)Y^T，Y = (y1, y2, …, yn)，它们的内积(u, v) = XMY^T = YMX^T。对于另一组基(v1, v2, …, vn) = (u1, u2, …, un)B，B为过渡矩阵，它的度量矩阵为N = B^T M B。特别地，对基底(u1, u2, …, un)施行Gram-Schmidt正交化过程，也就是对M施行一系列的行/列变换：把一些行乘以一个数，加到另一行上，并且同时对列进行，就可以把M化为对角距阵；因为M是正定的，主对角线上的元素都为正。还由于此种行/列变换不改变行列式的值，det(M) 就等于主对角线的各元素之积。由此可知，给定任何一个正定矩阵，就可以定义一种内积。

n维的欧氏空间有标准正交基（orthonormal basis）；这可以从任何一组基出发，经由Gram-Schmidt正交化过程，再把每个向量单位化即可。在标准正交基 {e1, e2, …, en}下，一个向量u的线性表示：u = x1e1 + x2e2 + … + xnen中的系数组 (x1, x2, …, xn)称为u在此基下的坐标。两个向量u和v的内积 (u, v)就等于它们的对应坐标相乘再相加：x1y1 + x2y2 + … + xnyn，其中v = y1e1 + y2e2 + … + ynen。u和v之间的距离就是普通的欧氏距离：sqrt[(x1 – y1)^2 + (x2 – y2)^2 + … + (xn – yn)^2]。如果找另一组标准正交基 {f1, f2, …, fn}，它们之间的过渡矩阵必为正交矩阵：(f1, f2, …, fn) = (e1, e2, …, en)B，B*B^T = I, I为n阶单位矩阵。两个向量在不通基底下的坐标可能不一样，但是它们的内积不变，因此，长度和距离也不变。

在两个线性空间(V, R)和(W, R)之间，存在着许多变换T: V → W。如果T是双射（一一对应且为满射）而且保持线性运算不变：T(xu + yv) = xT(u) + yT(v)对任意实数x, y及任意向量u, v（在空间V中），则两个空间称为是同构的（isomorphic）; T 是一个同构映射。可以证明，两个有限维线性空间同构的充分必要条件是，它们的维数相同。如果不要求T是双射，只要求线性性，T就是一个同态(automorphism)。对于一个同态T，它的影像Im(T)是所有向量T(u) （u在V中）的集合；这是W的一个子空间。T的核Ker(T)是V中那些被T映到零向量的那些向量的集合：T(u) = 0；这是V的一个子空间。如果V是有限维的，那么一定有：dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = dim(V)。

对于一个n维欧氏空间V, 它自身存在着许多线性算子L: V →V，L(xu + yv) = xL(u) + yL(v)。线性算子的表示，完全由它在一个基底下的表示确定：L(u1, u2, …, un) = (u1, u2, …, un)C，C为其矩阵表示。如果u = (u1, u2, …, un)X^T，则L(u) = (u1, u2, …, un)CX^T。如果L保持内积不变：(L(u), L(v)) = (u, v)，就称其为一个正交变换。因为，当(u1, u2, …, un)为标准正交基时，C是一个正交矩阵。正交矩阵的行列式的值为1或者-1. 当det(C) = 1时，L就是绕零向量（原点）的一个旋转；当det(C)=-1时，L就是关于一个子空间的镜面反射。

对于二维空间里的旋转，可以用复数的乘法表出：（x + yi）(cosα + isinα)。在三维空间里，为了表示绕过原点的直线的旋转，英国数学家Hamilton,在19世纪发明了四元数；无需矩阵，可以用四元数的乘法表出。四元数也给出了时空里的事件表示：E = ct + xi + yj + zk；Lorenz变换保持距离函数d = sqrt[ (cΔt)^2 – (Δx)^2 – (Δy)^2 – (Δz)^2]不变。

在二维空间里，关于直线xsin(β) – ycos(β) = 0的反射公式是：(x, y) → (cos2β)(x, -y) + sin(2β)(y, x)。对应的矩阵表示为(x, y)C，C是一个行列式值为-1的二阶正交矩阵。在三维空间里，子空间是过原点的二维平面（还有一维直线）；关于这些平面的反射，很容易用一个行列式值为-1的正交矩阵表出。在一般的n维欧氏空间中，给定一个单位向量e，可以定义一个线性变换R(u) = u – 2(e, u)e。它是一个正交变换，而且在任何一组标准正交基下，它的表示矩阵的行列式的值为-1；也就是一个镜面反射。

线性算子具有不变子空间：L(V1) 包含于V1. 由对应于一个特征值的所有特征向量形成的特子空间，自然都是不变子空间。任何线性空间V，都可以分解为L的一些不变子空间的直和。在欧氏空间中，还有一类特殊的线性算子，称为到子空间的内射影。给定V的一个非平凡子空间V1，它的正交补 (V1)*，是与V1中的所有向量正交的那些向量的集合。正交补也是一个子空间；在三维空间里，就是过原点的垂直平面。空间V中的任一向量u都可以唯一地写成u1 + u2，u1在V1中, u2在正交补中。内射影P(u) = u1；它的表示矩阵是一个奇异的对角矩阵。投影丢失了空间信息；但是，从一个向量到一个子空间的最短距离，必定是那个正交补里的分量。

在有限维的欧氏空间里，我们可以展开丰富的分析学：极限的概念导致完备空间，完备内积空间里的线性泛函，只能是内积形式。非线性泛函，可以推广微商的概念，进而有了广义函数。积分学也可以展开来，但由于同构性，积分的形式都是大同小异。只有到了连续基数的空间里，数学手段才显得无能为力。