AP微积分考试满分高招

每年的AP各科考试都在5月的第一、二两周举行；今年的AP Calculus考试在5月9日上午8点。AP意指Advanced Placement, 也就是大学内容提前考；通过的话，到了大学里，这门课就不用学了。AP Calculus AB时长3小时，分为两节：第一节105分钟，Part A 60分钟，30道选择题，不准用计算器；Part B 45分钟，15道选择题，可用计算器。第二节90分钟，Part A 30分钟，2道自由作答题，可用计算器；Part B 60分钟，4道自由作答题，不可用计算器。AP Calculus BC，时长与格式与AB一样，只是内容上增加了微分方程和无穷级数。考过BC的，也会有一个AB的分数。

从时间上来看，选择题2或3分钟一道；写过程的题，15分钟一道。计算器只用于积分计算，当被积函数的原函数不是初等函数的时候，可以给出一个数值答案。计算器不会算极限，更不会列方程式；它不懂收敛性的判定，也不懂得微元法。即使是计算题，如果知道方法的话，手算更快一些。

选择题自然都是些计算与判断。计算的内容有：（1）函数和数列的极限、极值，（2）导数、变化率，（3）不定积分，（4）定积分与非正常积分及其几何、物理应用，（5）无穷级数的和，（6）微分方程的解。判断题有（1）极限存在性、收敛性，（2）连续性、可微性，（3）单调性、凹凸性，（4）函数的实零点、渐近线。写过程的题目范围有，（1）列方程、求变化率，（2）解微分方程、积分方程，或者一般的函数方程，（3）函数作图（全过程），（4）零点（解）的存在性证明，

微分学最基本的、也是最难的概念和计算是极限；它的理论建立在一个基本公理上：单调有界序列必有极限。由此可以推出自然底数e的存在性；再由两边夹定理可以推出指数函数、对数函数的基本极限公式：当x→0时，（e^x – 1）/x，及 ln(x + 1)/x的极限都是1。还有sinx/x的极限也是1，如果x以幅度为单位。自此，16个基本初等函数的0/0型极限都可以算出。极限计算有加、减、乘、除四则运算法则。极限的ε-δ定义很难理解，中学里的师生们一般不会去碰它，而是把这个头痛留到大学里去煎熬。

一个变量相对于另一个变量的瞬时变化率就是一个0/0型的极限，如果存在的话，又称为导数或者微商。有四种情形，函数不可微（导数不存在）：函数不连续、左/右极限不相等、极限值为无穷大、函数周期性振荡。连续指的是极限值等于函数值；初等函数（16个基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、复合运算所得）在其定义开区间上都是连续的。闭区间上的连续函数具有有界性、有最大/小值、有介值定理成立。

基本的导数公式有16个（常数、幂、指数、对数、6个三角函数、6个反三角函数），计算法则有五条（加、减、乘、除、链），再加三种特殊函数（隐函数、参数函数、分段函数）的导数计算方法，导数计算就齐活了。为了应用，还得需要5个中值定理：Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor展开公式；由此可以推出：单调性判定、极值原理、凹凸性判定、实零点定位、L’hopital法则等，可用于证明恒等式/不等式、解方程、求极限、最优化、近似计算、函数作图，应用也全了。

总括极限计算的方法有：（1）L’hopital法则，（2）等价（高阶）无穷小代换，（3）换元，（4）根式共扼，（5）单调有界定理，（6）四则运算法则，（7）两边夹定理，（8）Stolz定理（离散型的L’hopital法则），（9）欧拉求和公式（需要积分）。

积分学的最基本、也是最难的概念是微元。其实，微元的概念早于微商的概念而诞生。人们为了计算一些连续的、不规则的密度分布f(x)，先把它细分、累加（作黎曼和 sigma(f(xi)Δxi)，再取极限：让每一个小块缩成一点，自然就得到了准确值（记为s(f(x)dx: a ≤x≤b)。那个近似的黎曼和的极限的存在性，需要由函数的连续性、或者单调有界性来保证。在实变函数中，数学家们才弄明白，黎曼可积的充分必要条件是，函数的不连续点构成的集合，其Lebesgue测度为零。

按照和式的运算法则，可以推出黎曼积分的线性运算公式、分段计算公式，比较不等式，以及积分中值定理。

微积分基本定理揭示了积分值与反导数的关系：s(f(x)dx: a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)，其中，F(x)必须在闭区间[a, b]中连续，而且其导函数就是f(x)。此式又被称为Newton-Leibniz公式，有多种不同的证明方法。其中一种是引入变限积分式g(x) = s(f(t)dt: a ≤ t ≤ x)，当f(t)为连续函数时，g(x)可微，而且它的导数就等于f(x)。另一种证明方法是，在黎曼和式中，根据Lagrange中值定理，取一个特殊的分点，由拆项法可以直接算出黎曼和的值。

一个函数f(x)的不定积分，指的是其所有反导数/原函数的全体，用记号s(f(x)dx)表示。根据Lagrange中值定理，这些原函数仅相差一个常数，故记为s(f(x)dx) = F(x) + C，C是积分常数。这里的dx到底是什么呢？自变量x的微小改变量，或称微元；f(x)dx就是F(x)的微元dF(x)，或者说f(x)是微商：dF(x)/dx。一个直观的理解就是，把求导数的Leibniz记号看成两个式子相除，如果不想卷入微分的严格定义的话。

积分的运算法则就是把导数的运算法则倒过来写。比如，du + dv = d(u + v)，udv + vdu = d(uv)，udv – vdu = u^2d(v/u), f’(u)du = df(u)，其中的u, v是任意表达式。等式两边同时积分时，当积分号s碰到微分号d时，互相抵消即可：s(d(u)) = u + C，d(s(u)) = u。积分与微分，就是一对互逆的运算。由此可以导出两种积分方法，一是分部积分法，s(udv) = uv + C – s(vdu)；需要vdu比udv更简单，至少不能更麻烦。二是换元积分法，在积分s(f(x)dx)中，可以设x = g(t)，直接代入得s(f(g(t))g’(t)dt)，然后对变量t进行积分；这其实就是链式求导法则的翻版。如何选择函数g呢？只有一个目的，就是要简化被积函数f(x)。

一些特定类型函数的积分，需要特殊的技巧。有理函数，必须得先分解为部分分式；平方根式，可以用三角函数代换、或者欧拉代换去掉根式；三角有理式，可以用半角代换化为有理函数。遇到对数、反三角函数时，一般把它直接代换出来。幂指函数，不论求导或积分，都是取对数加底数：f(x)^g(x) = e^(g(x)lnf(x))。分段函数的微积分，需要分段计算，然后统一积分常数，使其连续。

需要明白一点的是：绝大多数函数的原函数，不是初等函数！也就是说，不能用那16个基本初等函数，经过有限次的五种运算，表示出来；除非用到无穷级数。当然，这种问题多半不会考的。在一些定积分中，如果被积函数具有某种对称性，比如奇偶性、周期性，那么，经过某种代换，即使原函数非初等，定积分的准确值，也是可以计算出来的。

在定积分的几何、物理应用中，弧长、面积、体积、表面积，功能、流量、静力矩、重心、转动惯量、行程等等，公式太多，不同的形状有不同的表达式，死记公式是不现实的。唯一的办法是掌握微元法：分小块，算近似值f(x)dx，做积分s(f(x)dx: a ≤ x ≤ b)。原函数算不出的，再用计算器。

在无穷级数sigma(a(n): n = 1,2, …, ) 中，需要做三件事情：收敛性判定、级数求和、函数表示为幂级数（或三角级数）。级数收敛的必要条件是，一般项a(n)当n趋于无穷大时为无穷小。充分必要条件有Cauchy准则（未学ε-N语言者不会用），正项级数则用单调有界公理。充分条件有十几种，包括正项级数的部分和有界、比较判别法、极限形式的比较判别法、比值法、根值法、积分判别法，交错级数的Dirichlet判别法，一般级数的Dirichlet判别法、以及Abel判别法，绝对收敛必定收敛。笼统来说，就是要|a(n)|充分小，级数才能收敛。可以与1/n比较：更高阶的无穷小，或者与(1/n)^p，（p>1）同阶者，必定绝对收敛；与1/[n(ln^q(n))]同阶者，需要q>1才收敛。如果无穷小的阶比几何级数r^n (|r| < 1)更高，甚至是比1/n!更高，那是无条件收敛的。一句话，只要掌握了Taylor近似展开式，分部求和公式，以及欧拉求和公式，级数的收敛性一眼便可看出！

级数求和的方法少得可怜。除了（1）加项是R(n)*r^n的级数之外（R(n)为n的有理式，可包含n! 在分母中 ），（2）可拆项的级数，即a(n) = b(n) – b(n+1)者，其它收敛级数的和都不是初等函数；能够用欧拉求和公式表示为收敛的广义积分，已堪称完美。条件收敛的级数，可以交换各项的位置，让它收敛于任何一个数，也可以让它发散到正无穷大或者负无穷大。

把一个初等函数展开为幂级数，可以套用Taylor公式，但最快的办法，还是先把它写为部分分式、幂函数、指数式、正/余弦函数的线性组合。如果会用复数的欧拉公式的话，三角函数都可省。幂积数的乘法，按幂次累加即可；除法与普通的长除法无异，如果会用待定系数法去找递推公式，则已完善。幂级数在其收敛区间上，可以逐项求导和积分。

把一个周期函数展开为正/余弦级数（Fourier），只要使用待定系数法，记住三角函数的正交性即可。其收敛性由Dirichlet定理确定。Fourier级数可以逐项积分，即使它是发散的。到了实变函数中才知道，Fourier级数只不过是L^2函数空间的一个子类。

在一阶常微分方程部分，解的存在性由欧拉方法演示。在方向场中，按指定的步长前进，形成一系列的折线；当步长趋于零时，折线就变成了一条连续的曲线。初值问题的唯一性，可由李亚普罗夫条件保证。解法上，只有两种类型，变量分离方程和线性方程，积分曲线可以用积分式表出。对于y’=f(x)g(y)者，写为dy/g(y) = f(x)dx后，两边同时积分即可；对于线性方程，y’ +p(x)y = q(x)，通常采用积分因子法求解：两边同时乘以一个待定函数I(x)，使得左边可以配成一个导函数 (Iy)’，I所满足的，是一个变量分离型方程；然后两边同时对x积分即可。

其它类型的一阶方程，如Bernoulli方程，齐次方程，全微分方程，参数方程等，其解法是特定的，但没有必要逐个去记。只要一边凑微分，一边换元，变到变量分离或者线性，就可解出。当然，并非任何一个方程的积分曲线都可以用积分表出。

在微分方程的应用中，如果问题给出了显式方程，如电路方程，力学运动方程，化学反应速率，只需直接求解。但是，一些几何切线问题、面积问题，化学混合问题，液流问题，等等，需要自己先列方程。切线斜率就是导数，曲线的曲率表示的是切线的变化率，有公式可套：|y”|/[(1 + (y’)^2)]^(3/2)；面积也有积分式可表，按要求写出等式即可。现实中的运动、流量问题，列方程的唯一依据就是流体连续、物质守恒。纯粹实验性的结果，是不会出现在数学考试当中的。

以上内容不少，除了一般方法，还有一些技巧，但只要适当练习，完全可以熟练掌握。内容得靠记，方法靠理解，这样才能快速答题。要在AP中得满分，也不是每道题都答对，可以错个三、五题；何况那些些写过程的问题，全凭阅卷者一时的心态。写得工整点，思路清晰点，完全可以得满分！