偏微分方程的来源与解法

现实世界中的任何一个量Q通常依赖于许多其它变量，如位置（x, y, z），时刻t，以及其它环境变量r；当这些变量的值发生改变时，Q的值也会发生改变。关于某个特定变量的变化率，就称为Q对此变量的“偏导数”。偏导函数还有偏导数，即高阶偏导数；也许当阶数达到一定值时，高阶偏导会为零，也就是说，不再依赖于该变量。如果过了可数无穷阶（到了连续基数），偏导数还不为零，那么，Q对该变量的依赖性就存疑了。

这些偏导数之间、偏导数与原函数Q之间可能存在某种关系式；含有一个多元函数Q及其至少一个偏导数的方程叫做偏微分方程。怎么推导出一个关系呢？在物理中，通常采用量的守恒定律：在一个空间区域R内，量Q在一段时间内的改变量，等于通过边界（delR）的净流出量，加上区域内新增的量（源/漏）。源/漏与现有量Q的某个幂部分相关；而流量与流速成正比，流速的变化率与外力成正比（牛顿第二定律）。在化学中，还要考虑外其它物质可能引起的化学反应，从而导致物质的损耗。在电场中，要考虑电磁感应；在量子理论中，要考虑不确定性—概率。写出来的等式，都是二阶偏微分方程。

一个方程中出现的最高偏导数的阶数，叫做该偏微分方程的阶数。当阶数为N时，依赖于N个任意常数的解叫做通解；这还不是所有的解：包含N个任意函数的解，再加上奇解，才是所有的解。在物理/化学方程式中，通常要加上初始值条件或者边值条件；一般情况下，边值问题的解是存在且唯一的。宏观经济学中的Cobb-Douglas方程，就是一个一阶线性偏微分方程的解。

一阶偏微分方程的解法有变量代换法、特征线（面）法。如果能通过变量代换化为只含有一个偏导数的方程，对那个变量积分即可；尤其是当偏导数为零时，表示函数与该变量无关。所谓特征线（面），是指沿着这些线（或面），所求函数为常量，因此所求函数就由这些常量确定。对于一阶线性方程，可以依据特征线法，构造辅助方程，求出首次积分后，可用任意函数构成通解（通积分）。也可以采用积分因子法：乘以一个待定函数，凑成全微分；由此可以推出Phaff方程的可解条件。进一步，对于隐式的一阶方程，可以导出拉格朗日-夏比方法（Charpit）。

二阶常系数的线性偏微分方程，可以作变量代换，将其化为标准型，即没有混合二阶偏导的形式。这些变量代换所代表的曲面（线）称为特征。对于两个变量的情况，其特征方程为二次方程，可以按照二阶偏导部分的判别式分为双曲型（D>0)、抛物型（D=0)、椭圆型（D<0)。

对双曲型方程（波动方程属于此类），可以用以个线性变换化为只有一个混合二阶偏导的形式（第二标准型）；如果是二阶混合偏导等于零的方程，通解就是两个分离变量的函数之和。在第一标准形式下，可以按微分算子的形式因式分解化为一阶线性微分方程，从而得到达朗贝尔公式。二维和三维的波动方程，分别有泊松公式和克契霍夫公式。另一个解法是变量分离法。通过解的迭加原理（线性方程都满足），可以构造傅里叶级数形式的解。

波动方程需要给定初值条件（时间等于零时）和边值条件（对于半有界和有界的情形）。边值条件有三类：对函数值给定的、对一阶偏导数给定的、函数值与偏导值的线性组合。半有界的情况可以作奇偶延拓，有界情形用傅里叶方法求解。边值条件也可以用解的迭加原理分解成只有一个非齐次条件的诸解之和。

抛物型方程（热传导方程属于此类），满足柱体内的极值原理（最大/小值只能在T=0或柱体的边界上达到）；其解通常是通过变量分离用傅里叶方法构造。在有限时间内的柯西问题的解，可以用泊松积分表出。

椭圆型方程（拉普拉斯方程属于此类），齐次方程的解称为调和函数。此种函数具有很多奇妙的性质，如平均值定理、极值原理、有界即为常数、流量定理等。三类边值问题的解都是唯一存在的。对于平面上的拉普拉斯方程，可以通过极坐标变换，应用分离变量法，得到傅里叶级数形式的通解。迪里克莱（第一类边值）问题的解，可以由格林函数的积分表出。

更高阶的偏微分方程呢？线性常系数时，可以用傅里叶变换或拉普拉斯变换求解。更一般的，只能用有限差分法来求近似的数值解了。这当然需要计算机才能完成；但我们可以在理论上确定其收敛条件，并给出误差估计。数学家们随意杜撰出来的偏微分方程还好说，毕竟还有一个确定的表达式；那些无法量化的现象，如神灵，数学就无能为力了。