分析学科的开篇：微积分

微积分（Calculus），顾名思义，就是微分与积分，代表函数的第七种（Differentiation）和第八种（Integration）运算。前六种运算是：加、减、乘、除、幂、代入（或称复合），即函数的初等运算。Calculus的意思就是“演算”，比如有命题演算（Proposition Calculus），张量演算（Tensor Calculus）。演算不是代数学干的事情吗？还真是有很多人把微积分当成了代数来进行教/学：只会了那十几个导函数公式、五条运算法则及三种方法，却对微积分的根本概念—极限，视若不见，或许根本就是无法理解。

据说是Newton和Leibniz各自独立地发明了微积分。Newton是从物理量的时间变化率得出了流数的概念；Leibniz则是从几何图形的切线斜率导出了微分的概念。两人都是从Fermat求极值的方法得到了启发。英、德两国为此争论了一百多年：到底是谁先发明了微积分？以致于英国人使用牛顿的流数记号（函数名头上带 “点” ），德国人使用Leibniz的微商记号（dy/dx），互不通用达一百多年之久！可惜，都输给了法国人Lagrange带撇的记号（y’, y” 等）。

至今，人类对数量的认识经历了三个飞跃：一是从正数到负数，二是从数值到记号（变量），三是从静态的量到动态的极限。极限的思想，其实在牛顿-莱布尼兹发明微积分之前就有了。中国古代的《九章算术》里就说，一尺之长，日取其半，万世不竭。祖冲之求圆面积的办法，用的就是微元法—无限细分再累加，也就是积分。还有不有第四次飞跃呢？量子力学说，一切量都是离散的，世界不是无限可分的！有了量子计算机，你总该信了吧？【可我坚信，第四次飞跃不是关于量的，而是关于神的。】

微积分学处理的是一些性质良好的函数，至少得是分片（段）连续的；再广一点，按照《实变函数》的说法，不连续点构成的集合的Lebesgue测度必须为0；这是一个函数黎曼可积的充要条件。可微函数的要求就更高了：函数的改变量，不得超过自变量的微小改变的有限倍。幸运的是，人类能够想到的函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角与反三角函数、阶乘函数，经过有限次的前六种运算所得到的函数，在它有定义的“开区域“上，都是连续、可微的。如果经过无穷多次六种运算呢？在一定条件下，还是连续甚至可微的。

连续的概念是难以理解的。我们说“一条曲线是连续的”，究竟是何意呢？想像有一条无穷长的直线，设定一个起点0，往一个方向为正，相反方向为负，用一个单位长度去切分它，建立起所谓的“数轴”；所有的“实数”应该与数轴上的点一一对应。假设整数长度的线段都可以被等分成任意有限段，有理数系统就建立起来了；可这远非数轴上的所有点。人们自然想到了无限逼近: 用有理数列去逼近一条数轴上的所有点；逼近程度的刻划，使用了代数化的epsilon-N语言，这就引入了 “极限” 的概念。

什么样的点列才有极限呢？在《数学分析》中，有八条等价的公理：Dedekind原理、Archimedean原理、Cantor原理（闭区间套定理）、Weierstrass原理（单调有界数列必有极限）、确界原理、Cauchy准则、Bolzano-Weierstrass原理（有界无穷集必有收敛子列）、Heine-Borel定理（有限开覆盖定理）。在数学家们研究了一般的距离空间之后才发现，这只不过是完备紧致空间的特例。在《一般集合论》中，可以归结为选择公理（Zorn引理），以及等价的归纳原理、良序公理。

数列极限的运算遵循“两边夹定理” （squeeze/sandwich theorem）、四则运算法则，还有求0/0型、 型的Stolz定理。从数列极限过渡到函数极限，有Heine定理。函数极限是用epsilon-delta语言定义的；它也满足四则运算法则、复合函数法则。函数的连续性是一种局部性质，是用极限值等于函数值来定义的；紧致集（闭区间）上的连续函数，具有良好的性质：比如有界、有最大最小值、介值定理。一致收敛性是一种全局性质，它可以保持函数的连续可微性。在《微积分》中，仅从单调有界定理出发，可导出欧拉常数e；再用两边夹定理推广到函数的极限，导出五个基本初等函数的连续性。

两个变量的相关变化率是一个重要概念，这体现了因果关系变化的快慢（程度）。在现实中，只有变化率、或者某个高阶变化率才能保持稳定；比如，在引力场中，加速度与时刻无关，只与位移有关；在曲线论中，曲线由曲率（curvature）和扰率（torsion）唯一确定。瞬时变化率被定义为平均变化率的极限，称为导数、微商或者流数。多个自变量时，先固定其它自变量，再定义“偏导数”。并非所有函数都有导函数，不可求导的点包括：不连续点、尖点、具有垂直切线的点。直观上看，连续可导就是具有光滑性。多元函数的各阶全微分，代表了函数差分的各种程度的逼近。

计算上，从欧拉数e出发，可以求出指数函数、对数函数、幂函数的导函数；至于三角函数的导数，可从正弦函数的定义以及两边夹定理导出。按照极限运算的五条法则，初等函数的各阶导函数都可以机械化算出。隐函数，在对某个变量的偏导数不为零的条件下，可以局部确定；其导函数可由偏导数表出。行列式的导数，可以逐行（或逐列）求导后相加。无穷级数的导函数，在一致收敛的条件下，可以逐项进行。无穷乘积的导数，可以先取对数化为和式，再求导数。总之，没有求不出的导函数。

有了导函数，我们能推出五个微分中值定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式。自此，函数的等式关系、单调性、凹凸性就变成了导函数为零、正或负、减与增的判定，证明恒等式、不等式、求极值、求极限、作图、解方程、近似计算等，就成了一个机械化的过程。

微分的相反运算是积分。给定一个函数f(x)，我们要找另一个原函数F(x), 使其导函数等于f(x)。当f(x)连续或分段连续时，这种原函数存在，而且有无穷多个，它们只相差一个常数。全体原函数的集合就叫不定积分。不定积分的计算有分项计算公式、分部积分法、换元积分法，分别来自于微分的加法、乘法及链式求导法则。然而并不是任何一个初等函数的积分都是初等函数；比如，一个二次三项式 x^p * ( x + a)^q，只有当p, 或q, 或p + q 为整数时，它的积分才是初等函数。

即使原函数是初等函数，要亲手算出来也不是一件容易的事；你可以用计算器，却领会不到任何积分技巧了。衡量一个人积分技巧的高低，在于“凑微分法”，必须得熟记五个基本初等函数的反导数、微分运算的五条法则，还得对各种函数之间的各种关系式了然于心。如果你怀疑这有什么用，想想后面的《微分方程》，《微分几何》，以及各种分析学科。

练习不定积分的目的是为了做定积分。黎曼积分的定义就是无限细分：分割、取值、作和、取极限；这里的极限既不是函数极限，也不是数列极限，而是一种“体极限”（我把它叫做body limit;拓扑学中还有更一般的net limit）。极限存在的必要条件是函数有界，充分必要条件是黎曼大和与黎曼小和之差的极限为零。在连续性的条件下，可以推出，变限积分就是一个原函数（微积分第一基本定理），进而得出Newton-Leibniz公式（微积分第二基本定理）。这时，我们才发现，定积分的值就是原函数在两个端点处的值之差（保守场里的功能与路径无关）。在一些积分变换的技巧下，某些原函数为非初等函数的定积分的值也能算出。

其实，我们的学习过程弄反了：人们在提出导数的概念之前，早就有了微元法的思想。对于连续的刚性物体，都是具有可加性的：整体等于各个部分之和；例如，几何形体的直径、面积、体积、角度都是可加的，物理中的矢量、功能、力矩、压强也都是可加的。计算时，先把它分成微小的部分，在每个微段上，变量可以当作暂时固定不变的（连续假定），从而可以近似求出；然后累加起来，得到整体量的近似值；再想像每个微段缩成一个点，就得出了该量的准确值。微元是黎曼积分的灵魂，也是现在大多数学生的噩梦。

黎曼积分是“竖着相加”，勒贝格（Lebesgue）积分则是“横向相加”：按照函数值乘以小段的测度再累加；这可以放宽对函数连续性的要求。Stieltjes积分是按照求质量中心用的静力矩平均导出，Feynman积分则对所有连续曲线求和（复变函数围道积分的变种）；还有Henstock-Kurzweil积分的delta细分。各种积分形式各异，本质上都是“细分”。目的只有一个，要数字化表示尽可能多的量。目前，最广泛的表示是多复变函数的积分。

然而，这还没有到顶（点）：还没有一个和式是按“点”相加的，因为没有了收敛性。我们写出一个式子，总是希望它具有良好的性质，比如可以逐项求导，或者可以逐项积分（累加），至少也得具有某种稳定性（哪怕是暂时的）。我认为，数学的最终目的是要把和式变成乘积，也就式“分解因式”，因为数学家们的工作就是解方程。所以，我致力于求出黎曼函数的零点，也对质数分布有个了解；也分解了最基本的Bernoulli多项式序列。各种力场的能量谱的分解正在进行时。