数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
一个学生是否参加竞赛，完全是自愿的、凭兴趣。结果却是，考不好没关系，考好了就大有关系，哪怕是凭运气得来的好成绩。当我还是一个学生时，只要有机会，是竞赛就必定参加，成绩也是十二分的靓丽。有个获奖证书，你的履历就会很漂亮，也会有大学、机构免试录取你。对于指导者来说，也是一个双赢：我真行，能教出这么棒的学生！竞赛对师生双方都是稳赚不赔的买卖。可怎么才能拿到前几名呢？那可是有技巧的。
首先要熟悉考题的格式与时间限制；这只要事先做一、两套过去的考题就知道了。对于多项选择题的竞赛，一般只有一个正确答案，平均每题1.5到2、3分钟。题目的编排顺序大都是先易后难；大部分（80%）的人只能做出前面80%的题，最后20%的难题才是竞赛获胜的关键。很多人考AMC的目的，是为了拿到进入AIME的资格，以便申请大学之用；能做对前面80%的题，基本上也就过关了。
对于要写过程的竞赛，如CMC的Fryer、Galois、Hypatia、Euclid；CIMC、CSMC，AIME等，时间更充裕，但过程必须清晰，方法上最好有创新。没有过程、甚至表述不清的，答对了也得不到满分；有过程、答错了可得部分分数。写过程也不是连1 + 1 = 2都要写出来的（否则根本就没有时间做完），只要写出主要步骤即可，数值可以心算。在加拿大，除COMC外，什么竞赛都可用计算器（可编程、上网的除外），数值计算不必在意。在CIMC/CSMC中，要求保持准确答案，小数值四舍五入是要扣分的。对于CMO，5道题4.5小时，USAMO以及其它的什么XMO，3道题4.5小时，第二天再做3道；时间很多，缺的是解题思路。
其次是知识储备。整个中学阶段学的只是初等数学：算术、代数、几何，最终归结到函数（包括数列）；微积分在中学数学竞赛中一般用不上，当然，如果有极限概念的话，肯定更胜他人一筹。在算术中，只要知道数的六种运算即可：从自然数、整数到有理数、实数。AMC12中，要求知道复数的运算及应用，CMC中从来就没有出现过复数。六种运算中的加、减、乘、除，大家都是无所不知的；但是，幂及其反运算、指数及对数，就让很多人头痛；第六种代入，甚至是无穷次的迭代，那就成了大多数人的噩梦：循环小数、连分数、嵌套的根式，普通的教学大纲里根本就没有。出题者要增加难度，正好从此处给你下套。
初等代数中，要做三件事情：变量（符号）的运算、构造表达式，写/解方程，还有不等式的求解与证明。人类能够想到的数学表达式，由易到难，依次是：多项式、有理式、根式、指数式、对数式、三角式、阶乘式。尽管可以定义任意的运算，但总得满足一些运算规律才有价值。最基本的是结合律，否则三个或以上的对象很难运算。然后是交换律；中学里学的不满足交换律的只有矢量积，当然有的人可能知道矩阵的乘法。如果同时定义了两种运算，人们还希望它们满足分配律；为了解方程，还得有消去律。遗憾的是，运算律这种名词，很多中学生听都没有听过，尽管他每天都在用。还有很多学生只知道运算运算，算到天昏地暗，却不知道变量代换，完全丧失了代数学的本意。把一个重复出现的式子、把一个多层嵌套的式子里的下一层，用单独一个字母来表示，那是多么的简单啊！
代数学的难点在于列方程，或者找到相关变量之间的关系。对于人为构造出来的问题，关系式大多已在字里行间了；只要把数量词用字母代替就可以了。如若不然，就用两种不同方式，去计算同一个量即可。当然，这得需要记住相关的公式或定律。至于解方程呢，现在已知的、可解的方程，其解法基本是固定的，只要做过一、两道练习题，自然就清楚了。
中学几何学习图形的度量和基本性质。角度、长度、面积、体积的计算公式，只对一些基本形状给出，如直角形、圆形；其它图形要用拆分或拼接的办法算出。当涉及到边与角的关系时，需要三角学的基本公式，如正、余弦定理，和/差角公式。如果找不到想要的方程，就引进坐标系，只需要五个公式：定比分点的坐标、两点间的距离（能记住点到直线的距离便天下无敌）、斜率（及其与斜角的关系）、多边形面积的鞋带公式、点的平移/旋转公式，便可写出任何曲线的方程。如果能够把坐标与向量统一起来，直边形的问题都可以很快解决。涉及到圆与多边形的关系的证明题，需要知道圆内角与弦、切线的五个关系定理（这在加拿大的中学里是不教的）。
中学函数部分只学习五种函数（幂、指数、对数、三角、反三角）的初等性质，包括对称性、单调性、有界性、周期性、凹凸性；而且都是凭经验、没有解释，因为单调性与凹凸性要用到微积分。为了能够求出函数的值域（最大/最小值），最好能知道几个平均值不等式（如算术、几何、调和、平方平均值），还有凹/凸函数的Jensen不等式。普通大纲里还缺失隐函数及其参数表示、一般函数方程的求解方法、替推数列的求解方法，这些内容在竞赛中是常考的；也许正是因为出题者知道普通学校不教。
以上内容都是有目共睹、耳熟能详的，竞赛中是被用来充数凑分的，只出现在前面80%的问题中。要想竞赛得高分，还得知道一些大纲之外的内容。首先是初等数论，尽管可以把它归入到算术或代数中，它研究整数性质的特有方法，是需要专门体会的。Gauss引进的模运算、同余式的概念，是研究整除性、解不定方程的特定方法。勾股数、海伦数（Heronian triples）、Pell方程的解公式，是二次不定方程的三个最著名的例子，其解法是需要领会的。证明某类整数的存在性的构造性方法，更是值得仔细推敲。
还有计数（组合学），是我最不能理解加拿大中学数学大纲的地方：尽管每个老师都知道学生们都不会数数，大纲却是几百年不作改变！中国小学三、四年级就学计数的加法、乘法原理了，这里却是12年级在《数据管理》中才提起，结果却是一大半的学生把课程Drop掉。至于鹊巢原理、替归计数法、映射计数法、生成函数计数法，提都没人提起；让加拿大学生去做竞赛中的组合问题，比赶鸭子上树还难。还有逻辑推理题、几何证明题、游戏问题、找规律，做梦吧！至于什么是循环论证的逻辑错误，几乎无人能懂。
第三是解题的方法与技巧。题目是做不完的，但题型是有限的；如果能够把遇到过的题型都分门别类，再给出相应的解法，那就没有任何竞赛（考试）得不到90%的分数。如果能够自创某种更快捷的技巧，冠军非你莫属；不过先得知道已有的方法。一般的解题策略，不外乎就是：猜猜试试、倒着来、反证法，画个图、符号化，作个假设、引进未知量，简单化、找规律，回到定义去、给出个等价的表示方式。一般性的数学方法有，（1）待定系数法，用于多项式、幂级数等任何具有固定形式的表达式的确定、运算和求根；（2）配方法；通过配平方、立方等，把式子化简。在微积分中，还要配全微分呢！（3）换元法，把一个复杂的式子换成别的变量；（4）类比法，把其它类似情形下的结论套用过来；（5）穷举法；（6）反演法；比如数列求和的反演、Mobius反演等；（7）分部求和法；等等。还有一些特殊的技巧，只是针对特定的题型。比如（1）数列求和的拆项法，（2）求最大公因式（数）的欧几里德算法，（3）解不定方程的最速下降法（Fermat），（4）图论中求最短路径的Dijkstra算法，（5）用图论中的关联矩阵表示状态，握手定理揭示关系；（6）平面上求最短路线的反射法、直纹面上的直线化方法，等等。
最重要的是大脑进行联想的能力，当然这与记忆的能力是相关的。解题就是搭起已知与未知之间的一座桥梁，材料就是个人的知识储备，手段即是解题方法与技巧，使用何种手段靠的是大脑的联想能力，这表现在三个方面：洞察力（insight）、独创性（ingenuity）、灵感（inspiration）。给定一个问题，你能看得多深入？能用一种等价的、确定的、更简单的形式表达出来吗？在代数、几何、函数中，这不难做到；可在数论、组合、逻辑中，问题往往没有一种确定的表示形式；你需要构造出一种形式（记号）去表示。可能是用数组/矩阵/数集去表示状态，然后找出一种计量的方式；也可能是作出一些辅助的东西，如几何图形的辅助线，再证明它具有某种性质。还可能是用鹊巢原理、中值定理等去证明某种东西的存在性，甚至是像数学建模那样，构造出一种全新的模型。
方法上的创新就更具挑战性。我曾经遇到过一些计数问题，要求进行线对线的计数；要知道乘法原理只是点对点的。线对线能行吗？三维空间里还有面对面的呢，不推广肯定不行。在许多武侠神话中，必须要能融合已有战技，在功法上实现突破，才能立于不败之地。能够激发数学方法创新的，只有遇到了强敌—XMO中出现的超难问题。灵感是实现创新的唯一手段，可它却是触摸不定的、无法培养的；它可能是长期磨难的水到渠成，也可能是一时的天上掉馅饼。也许只有神灵才能控制人的灵感？幸运的是，普通竞赛中出现的问题，都是被人做过了的、有确定答案的，并不需要超灵。
我已经发悄悄话给您。