数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
流体包括气流、液流和热流；它的表面还是宏观的：可见、可触摸、可称量。但要从深层次了解流体的基本性质，只能进入到分子和原子的层面。当今物理学已经到了量子层面，却偏偏在宏观与量子之间留下了一个空裆：材料力学只凭眼见耳闻，却没有加入思想。
我们先来阐述一下所谓的理想气体。化学家们把它定义为：（1）气体分子是一个个的质点，有质量，没有体积；（2）气体分子之间的空隙很大，它们之间没有相互作用力；（3）气体分子之间发生弹性碰撞；（4）气体分子在连续随机运动。据此，几个物理学家，Ludwig Boltzmann, James Clerk Maxwell,等人按照动量守恒原则，推出了压强与分子平均速度的平方成正比。
要从宏观上描述一罐气体的状态，需要明确（1）分子个数N，（2）体积V，（3）压强P，（4）温度T。很明显，如果P和T固定，则V与N成正比（Avogadro’s Law）；如果T和N固定，则V与P成反比（Boyle’s Law）；如果P和N固定，则V与T成正比（Charles’s Law）；如果N和V固定，则P与T成正比（Gay-Lussac’s Law）。由此，经过简单的数学计算，便可得出所谓的理想气体定律：PV/（NT）= 常数k(Boltzman常数)。但是，Gay-Lussac忘记了，T与P只是部分相关：T = aP + b；在绝对零度时，任何气体的分子之间都失去了压力。如果考虑分子间的作用力，那么，气体的体积也是与分子数部分相关的：V = mN + c。这才有了实际气体的Van der Waals方程；比例系数a,b,m,c需要通过实验确定。
为了宏观描述一个容器里的液体，人们采用的量有（1）地球表面的大气压Pa，（2）地球表面的重力加速度g，（3）液体内部的压强P，（4）液体密度k，（5）液层离地面的高度h。实验表明，压强P只与液层在容器内的深度d有关，与容器的形状无关。由平衡状态方程，就可以推出Pascal定律：在一个密闭的容器内（液体不可压缩），任何一处压强的改变都会均匀地扩散到容器内的各处深度，包括容器壁：delta(P) = kg delta(d)。据此，人们设计了液压阀，可以用很小的力去举起一个很重的物体。
静态的液体还满足阿基米德定律（Archimedes’’ Law）：任何全部或部分沉浸于一种流体中的物体，都受到一个浮力的作用，其大小等于所排开的流体的重量。根据吃水深度的不同，相同体积的物体必定成分不同，阿基米德就可以分辩那皇冠到底是纯金的，还是掺有其它金属。怪不得他从澡盆里跳出来，赤裸着在大街上高喊：Eureka!（我发现了！）
在一根管子里流动的液体，我们还要引进它通过每一截面A的流速v。假设液体是不可压缩的、管子里也没有漏洞或新源；那么流动就是连续的：Av = 常数。另一方面，考虑一小截流体，质量m = kV，V是体积。它在时刻t1位于管中某处：截面积A1、厚度delta(s1) 、高度h1、压强P1、流速v1；体积V = A1delta(s1) 。在另一时刻t2，它到了另一处：截面积A2、厚度delta(s2) 、高度h2、压强P2、流速v2. 在流动过程中，管子里有一种保守力对此小截做功，大小为delta(W) = F1•delta(s1) + F2 • delta(s2) = P1A1*delta(s1) – P2A2*delta(s2)（F1与位移方向相同，F2与位移方向相反）= (P1 – P2)V。按照功能原理，保守力所作的功，等于机械能的改变量：delta(mv^2/2 + mgh) = kV(v2^2/2 – v1^2/2 + gh2 – gh1)。除以V，就得到Bernoulli方程：P + kv^2/2 + kgh = 常数。
此方程只是理想状态下的描述。如果考虑液体与管壁的摩擦力（黏附力）、液体分子之间的相互作用力，方程要复杂得多、甚至能不能写出这种都成问题。难怪有人说，液体的流动方程，尚不为人类所知。即使是在静态的液体中，单个分子的运动都是随机的（布郎运动），何况在流体中，尽管液体的温度、也就是所有分子的平均动能是固定的。
温度是一个基本物理量，与组成分子或原子的平均动能有关。在理想气体中，温度T与分子的平均动能成正比：T = mv^2/3k，m 是一个分子的质量，v是所有分子速度的均方根。一罐气体也具有热容：温度升高一度所需热量是多少？这与变化过程有关：（1）等容过程：体积保持不变，让1摩尔（mole）的分子升高1K（Kelvin）所需要的热量计为CV；（2）等压过程：压强保持不变，让1摩尔（mole）的分子升高1K（Kelvin）所需要的热量计为CP。对理想气体而言，恒有关系式：CP – CV = R。
什么又是热量？人们最早以为是一种叫作Caloric、不可见的物质，它可以从一个物体转移到另一个物体，而且是不生不灭的。在18世纪末，Benjamin Thompson在监工大炮制造时才发现，Caloric并不守恒，并且建议，它也不是一种物质，只是一种运动形式。同一时期，James Joule等人的实验表明，在一些过程中，热量可以得失；得/失的热量可以由等量的机械能来计算。如果想把1磅的水的温度升高1个华氏度，需要772磅的重物下落1英尺所作的功。现在，我们把1克水、从14.5摄氏度升高到15.5摄氏度所需要的热量称为1calorie，于是有，1 calorie = 4.186 Joules。
温度的改变并不是热量传播的唯一表现。当物体改变状态时，也会吸收、或者释放热量。从固体变成液体，每公斤的物质所需要的热量Lf，是可以通过热平衡方程解出来的：加入一定量的高温液体（温度、质量已知），达到热平衡时，固体所吸收的热量，等于液体所释放的热量。把液体变成气体的热量Le，可以注入热气，类似地算出。把气体变成等离子体，则需要放电，可以通过电能算出。
热力学第一定律说，一个孤立的、绝热系统，内能的改变量，等于它所吸收的热量，加上外界对它所作的功。这其实就实能量守恒定律。但是，在实际的热过程中，并没有真正孤立、绝热的系统，总会有损失的能量；热力学第二定律说，永动机是不可能的；或者说，熵(entropy)总在增加。我们有著名的方程：S = klogW = -kNsigma(pi*logpi)，pi是概率。
热的传播方式有三种主要形式：传导，通过物体与物体的接触进行。单位时间内，热量沿着某个方向通过某个截面的流量，与截面积成正比，与垂直距离成反比，与温差成负比。这就是（Fourier）热传导定律。第二是对流，通过一个被加热的物体的运动来实现；写不出定量的方程式。第三是辐射，也就是电磁波的辐射。按照Planck对黑体光子数的估计，可以推出Stefan的辐射定律。更进一步，可以推出光子的运动方程。
流体的扩散（diffusion）是一个十分复杂的过程。数学上，要引进量密度的概念：单位体积内、某点X、时刻t的现存量Q（X，t），一个小区域delta(V)里的量就是delta(Q) = Q(x,t)delta(V)。还有通量F （flux）的概念：单位时间内，通过单位曲面面积、沿曲面法线方向的流量F(X, t) （小曲面包含时空点X,t）；量源S(X,t)：单位时间内，经过单位曲面面积、所新生（或消耗）的量。按照量守恒原则，在任一空间区域R内，量Q的时间变化率，等于源量S，减去流过区域边界的流量。把曲面积分通过散度定理化为三重积分，就可以得到流体变化的偏微分方程。解之可得量Q在任一时刻的分布规律。
