微分几何纲要

很多IB学生在写论文（IB essay）时，都对短程线（测地线）和最小曲面感兴趣。在一个曲面上，给定两个点，要找曲面上的一条连接曲线，其长度要最短。在平面上，这是直线；在球面上，那是大圆弧（圆心在球心）。在一般的曲面上，需要写出曲线的方程，运用弧长的积分表达式，再加上变分法，就可以找出短程线。短程线是最接近“直线”的曲线；而极小曲面则是最接近“平面”的曲面，也就是“平均曲率”为零的曲面。

微分几何是用微分的方法研究曲线和曲面在点上的局部性质。微分又称微元，是某个几何量的“无穷小”逼近；这个“无穷小”，纯属人类的想象，因为现实中的物件都是有限的。为什么要切分成无穷小的部分呢？这是（直）线性逼近的关键。这就要求位置函数（点的量化表示）有足够高次的导数（至少三次以上），以便在其Taylor展开式中，可以表出物体的“加速度”，通过牛顿第二定律，与外力联系起来。奇葩的是，在全加拿大的所有大学里，没有一门课、一个教授教学生“微元”的概念，更没有“变分”！

曲线论

平面和空间曲线都是一维的，其方程（曲线上点的坐标）可以用一个参数给出。与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线、曲率。空间曲线则还有密接平面和挠率。曲线的长度定义为顶点在曲线上的折线总长，当顶点无限密集时的极限。如果极限不存在，就称为不可求长的。

曲线上某点P处的切线定义为附近的割线PQ当Q沿着曲线去接近P时的极限位置。在接近切点处，曲线与切线的差异小于与任何其它直线的差异；因而，在曲线的一小段上，可以用切线来代替它。

曲线在一小段上的平均曲率是它两端的切线所转过的角度除以曲线段的长度；在一个点的曲率定义为它附近小段的平均曲率当曲线长度趋向于0时的极限。平面曲线的曲率公式可以由一阶和二阶导数给出。曲率刻划了曲线离开切线的速度，也能表示物体沿曲线运动时的加速度。

曲线上每一点P都有一个法平面：它以切线方向为法线向量。但在给定点处，包含切线的平面有无数个；这些平面中，与曲线差异最小的，就叫曲线在该点的密接平面。为了求出此平面，可以把曲线投影到法平面上；如果此投影曲线在P处有切线，那么，这个切线方向就是密接平面的法线方向，也称为曲线的主法线方向。

密接平面的旋转速度就是曲线的挠率：它是曲线与密接平面之间的夹角的改变量与曲线长度之比。曲线的曲率和挠率完全确定了曲线本身。

曲面论

为了研究曲面的性质，解析工具是必不可少的。有时，直角坐标会不方便，因为它们在弯曲变形下是要改变的。因此，就引进了曲纹坐标的概念；如球面上的经度和纬度。这样，曲面上的点的位置，就可以用一个关于曲纹坐标的向量来表出。

曲面的点上性质有切平面、主曲率、测地线。曲面在一点P处的切平面是最接近它的平面； 严格定义是对附近的点Q，当Q沿曲面趋向P时，射线PQ与平面的夹角趋向于零。切平面的法向量可以用曲面方程的偏导数表出。有了切平面，就可以求曲面的面积了：把曲面分成许多小块，每一小块投影到小块上某点的切平面上，以投影平面区域的面积来作为此小块曲面的面积近似值，再相加，取极限即可。

如何来刻划曲面的弯曲程度呢？可以考虑曲面离开切平面的速度；但是，在不同的方向，曲面离开切平面的速度是不相同的，我们就得考虑所有曲线的平均曲率及主曲率等。在所有经过给定点P及其曲面在该点法线的所有平面中，每一个都与曲面有一条相交曲线（称为曲面在该点的法截线）；这些曲线的弯曲方向可能是不相同的，我们就给它们的曲率指定了正、负：当曲线的凹向与指定的法线方向一致时，曲率为正，否则为负（这种曲面称为有向曲面）。这些曲率之间是有关系的，可以证明，存在两个互相垂直的方向，曲面向着这两个方向的法截线的曲率分别是所有曲率中的最大直K₁和最小值K₂，那么其他法截线的曲率K可以表示为 K₁(sina)^2 + K₂(cosa)^2，其中a是法截线与曲率为K₁的法截线之间的夹角。这是欧拉发现的公式。K₁和K₂称为曲面在给定点处的主曲率。

当一个平面不经过法线时，它与曲面交线的曲率可以用梅涅公式给出：法截线曲率的绝对值除以两个平面夹角的余弦。两个主曲率的乘积称为高斯曲率。它的符号决定了曲面的形状：为正时，是碗的形状；为负时，是马鞍的形状，为零时，其充分小的片段可以展开到平面上。而且，高斯曲率在弯曲变形下是不变的。

短程线

曲面上的两点之间有最短线，例如，球面上两点之间的最短线是经过这两点的大圆上的劣弧。在曲面上的三点，由最短线组成了一个曲边三角形。如果定义两条曲线间的夹角为它们在切平面上的投影之间的夹角，那么，曲边三角形的三个角之和（不总是180度）可以用Pi加上高斯曲率关于三角形面积的积分来表出。

在曲面上，起着直线作用的是测地线：它的每一个充分小的弧段都是最短线。可以证明，它在每一个点的主法线都与曲面的法线同方向。通俗地说，测地线就是当曲面在一个平面上沿一条直线滚动时，直线在曲面上的痕迹；因此，也可以说是测地曲率为零的曲线。

在给定弧长求最大面积，或是求最短线时，都离不开变分法。变分法开始发展的第一个问题是最速下降线问题：经过一个垂直平面内的任意两点，求一条曲线，使得质点仅在重力作用下（没有初速度），沿此曲线走过时，所需时间最短。在利用势能算出质点在每点的速度后，用弧长元素除以速度即得时间微元；积分后，可得总时间。

另一个问题是在平面上经过两个给定点的所有曲线中，当它们绕X轴旋转时，找出具有最小曲面面积的那条光滑曲线（具有连续的导函数）。把曲面面积用定积分表示后，我们又得到了一个要求积分最小值的函数。

这就是变分法的基本问题：求一个函数（一元或多元），使得一个积分（单积分或重积分）具有最小值。求解的思想很简单：由原来的函数加上一个数字参数乘以另一个任意函数，代如积分中，就的到了含有此数字参数的一个积分。如果原来函数使得积分具有最小值，那么，关于数字参数的积分就在零处达到最小值。根据一元函数的极值原理，此积分对数字参数的导数应当为零。再有含有任意函数的积分为零，导出被积函数必为零（要求被积函数连续），即可得出一个（偏）微分方程（称之为欧拉方程）。

欧拉方程是所求曲线（曲面）所满足的必要条件。在解出微分方程后，还要验证其充分性。但是，由于具有初值条件的微分方程的解通常都是唯一存在的，如果假设给出积分最小值的函数存在，那就可以肯定，欧拉方程的解就是所要求的函数。

当微分方程解不出时，我们可寻求变分问题的近似解。把给定区间（等）分成许多小区间，每个小区间的端点设一个待定的纵坐标，用直线或曲线段把它们连接起来；将此函数代入积分中，就得到了关于待定纵坐标的函数；对这些纵坐标求偏导，让它们等于零，解出纵坐标。这样就可以得到近似到任何程度的折线。另一个近似方法是用一列满足完备性的函数列的线性组合去逼进：让关于系数的偏导数全为零，以确定系数。

高维空间里的推广

在n维空间V如Rⁿ中，一个k维流形（manifold）指的是从R^k的某个区域U到Rⁿ的一个连续（可微）的映射：f: (x1, …, xk) → (y1, …, yn)。如果V还有线性结构，则它的极大线性子空间的平移，就叫做“超平面”（hyperplane）；引进距离的概念后，可以定义有限部分的面积。那什么是曲面呢？就是Rn中的一个n- 1 维流形。K维微分流形是由Rk中的一些小块区域（流形）一片片、连续光滑（有各阶连续导数）地拼接起来得到的区域。每块区域D可以表示为，从Rk的一个（矩形）区域U到D的一个一对一的映射：yj = fj(x1, …, xk), j = 1, …, k。”一对一“的条件，可以用Jacobi行列式不为零来刻划。（x1, …, xk）就是区域D的”曲纹坐标“。

K维矩形区域【a1, b1】×… ×[ak, bk] 的“体积“定义为（b1 – a1）×… ×(bk – ak)。为了表示高维曲面的有向面积，大几何学家 Élie Joseph Cartan 引进了”外微分“的概念。m次外微分式，就是m个微元的外积的线性组合，系数关于下标是反对称的。所谓两个”外形式“的”外积“，就是两个具有反对称性的多重线性函数的张量积。这些概念太绕口了，其实都不过是一些行列式而已，反对称性就是行列式定义中的变号系数；如果用变换的矩阵来表示的话，一切都一目了然（还大几何学家呢！）

有了m次外微分式g, 可以定以它的m + 1次外微分式dg：它是连续可微函数的微分概念的推广。在不同的曲纹坐标下，dg具有形式不变性。引进积分概念后，dg在区域D上的积分，就等于g在D的边界曲面上的积分。这称为Stokes公式；它把三维空间里的Stokes公式、Gauss公式、Green公式，都统一起来了，漂亮吧！