数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
在16世纪中叶（1540年代），当意大利数学家们为了解三次方程而引进虚数时，那仅仅是一个记号而已：三次方程的求根公式中，两个相加的立方根号下，还有一个数加或减一个平方根；只有平方根下的式子为负数时，三次方程才有三个实数根。那时候的数学家们是不接受虚数的：本来负数就够让人无法理解的了—比零还小的数是什么呢？零不是代表一切都空无吗？可虚数的出现，促进了人们对负数的接纳：那只不过是表示相反方向的量而已。
在1637年，Descartes使用了“虚数”的概念，以区别于“实数”。许多大数学家，如Leibniz, Euler, 及 de Moivre研究了虚数与三角函数的关系；Euler还用i表示虚数单位（-1的平方根）。1797年，挪威数学家Wessel引进了复平面，并且用向量来表示复数。紧接着，1806年，Argand把复数表示为模与幅角的三角形式 |z|(cosA + isinA)；1837年，爱尔兰数学家Hamilton使用实数对（x, y）来表示复数；因此，复平面就等同于迪卡尔的座标平面，也与极座标联系在了一起。历时近300年，人类才完全理解了虚数的概念。
然而，到了21世纪20年代的今天，这个世界上还是有三分之二以上的人，一辈子都不知道虚数为何物。中学生只有学IB或AP者，才会接触到虚数；我曾经问过Princeton大学应用数学专业的一个学生，学过《复变函数论》吗？没有。她进入了Wall Street，挣着大钱，这种虚无缥缈的东西与钱数无关。数学理论，那是数学家们的游戏，所谓认识世界的崇高理想，与普通人的吃喝拉撒无关。
现实世界中用得着虚数吗？为什么Schrodinger方程中会出现i? 难道物体的质量可以是虚数？我们知道，自然、社会现象都是周而复始（再带有一定的振幅），要表示有界函数的周期性，非sin、cos莫属（所谓的Fourier级数），而正、余弦函数可以用一个复指数函数表出；振幅可以用指数中的负实部表出。另一方面，在保守力的作用下，物体的运动轨迹一定是平面曲线—这也符合最小能量最大空间的原理；平面上的向量，一个复数就表出了。可以说，物理学比数学更多地用到复数。
在数学中，复数域是完满的：任何复系数的可数级数，其根（如果有的话）都可以用复数表出。特别地，我们有代数基本定理：任何次数大于或等于1的复系数多项式，必定至少有一个复数根。很多数学家都试图去证明它，真正正确的证明，是Gauss在1816年给出的；他使用了复变量函数的积分。在复变函数中，亚纯函数在一个区域内的零点和极点的个数，可以用其幅角绕行边界曲线一周的改变量来表出（幅角原理）。这种围道积分的技巧，是实积分无法比拟的。有了复积分，实函数的黎曼积分只不过是一个推论。
复变函数f(z)沿着一段曲线的积分是这样定义的：把曲线段用一些点Z(k)分成许多小段，在每个小段上取一点P(k)，作乘积f(Pk)[Z(k) – Z(k-1)]，对K求和，让所有的小弧段的长度趋向于零；如果极限存在，其值就叫函数沿此段曲线的积分。可以证明，连续函数在有限长的弧段上一定可积。这里的两个复数相减，Z(k) – Z(k-1)，其实就是一个向量：只不过第二分量带有i。如果f是保守力，它的方向必定与此向量垂直（从微分的角度），乘积式f(Pk)[Z(k) – Z(k-1)] 反映了保守力所作的功；可如果是用实积分的话，垂直向量的点积为零：这部分能量就被疏忽了。
复积分的计算有线性运算公式、分段计算公式，但沿相反的方向积分时，其值反号。对于解析函数，我们有重要的柯西积分定理：在单连通区域内，积分与路径无关；或者说，沿任何一条闭曲线的积分为零。这一定理还可推广到多连通区域。
有了柯西积分定理，就有了柯西积分公式：它把一个解析函数在一个区域内部的值，用区域边界的围道积分表示出来；进而，我们能把它展开为幂级数，并容易地写出它的任意阶导数公式。奇妙吧，解析函数的值，完全由其边界上的值确定！而且，只要有一阶导数，就有无穷阶导数！再进一步，我们有了各阶导数的估值不等式，并可由此推出刘维尔定理：有界整函数必为常数。据此，很容易地用反证法证明代数基本定理。
复函数的导数与实函数导数的定义一样，是函数值增量与自变量增量的比值，当自变量增量趋向于零时的极限；只是这个极限有点像二重极限。此极限存在的必要条件是函数f的实部u和虚部v满足柯西-黎曼方程；进而导出它们都是调和函数（满足拉普拉斯方程）；充分条件是实部、虚部均可微，并且满足柯西-黎曼方程。
在一个区域上可导的函数称为解析函数。解析函数的求导法则与实函数一样，有加、减、乘、除及复合函数求导法则。初等函数的导数公式也是类似的；只是根式函数、对数函数是多值函数，求导时必须指定某一单值分支。解析函数具有很好的几何性质。导数的模是弧长的伸缩系数，幅角是切线转过的角度；可以证明，在解析变换下，曲线的角度保持不变。
解析函数还可以展开为幂级数，如果它的n阶导数不比n!还大的话。幂级数如果对所有的自变量的值都收敛，那就叫整函数；不然，幂级数就有一个有限的收敛半径。此半径等于从圆心到与之最接近的、使得函数不再解析的点（称为奇点）的距离。奇点有孤立的（又叫极点）与非孤立的。在孤立奇点的邻域内，函数可以展开为洛朗级数。
在分离出孤立奇点后，解析函数可以延拓到收敛圆之外。这种延拓还是唯一的，因为我们有解析函数的唯一性定理：在一个区域内的两个解析函数，如果在一条曲线上的取值相同，那么，它们在整个区域内都相等。仅有孤立奇点的函数叫做亚纯函数。这种函数的围道积分可以用奇点的残数（Residue)表出，而这些残数可以用洛朗展式求出。这样就使得很多积分能够简单地算出来。
一个幂级数的零点，便是它的倒数的极点。倒数的幂级数的系数，可以用多项式定理求出；再用收敛半径的极限公式，就可以求出幂级数的第一个零点。依次类推，就可以推出第二个、第三个；最多再用上待定系数法，就没有解不出的方程。我就是这么解决黎曼猜想的。
当n阶导数的模远大于n!时，可以使用gamma函数的积分表达式：在指数函数的指数中，引进变量n的适当幂次，比如，黎曼zeta函数的开拓只要到二次幂即可。更大的函数，就要使用无穷乘积、或者先取对数了；这正是数学的本来目的：解方程，得出一个具有某种收敛意义的解；如果不考虑收敛性的话，任何现象都是可以量化的—如果你会使用复数的话。
谢谢回复。
是否 F（z）=F（cosx+isinx） 这种复变函数才有实际运用的意义？
谢谢