数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
在天文学中，有一个N体问题：一个星系内的各个天体，在引力作用下，是如何运动的？两个天体的相对运动是容易确定的：把牛顿的万有引力定律代入到牛顿第二定律中，解一个矢量微分方程，用上角动量守恒定律，椭圆轨道立刻展现在眼前。开普勒的另外两个定律，通过积分的计算，也可以很快推出。可惜的是，这解释不了椭圆轨道随着时间的偏移：万有引力的公式中，那距离是周期性地依赖于时间的，这就是爱因斯坦广义相对论的观点。可那个常数项，加还是不加呢？这可不是由一个人一时兴起、一拍脑袋就行的，而是要按照基本公设去推算的！
一般地，考虑N个物体在一般的k维空间中的运动情况。设第i个物体（质量mi）的位置函数为ri(t) = (pi1(t), pi2(t), …, pik(t))，加速度为ai(t)；第j个物体对它的作用力为Fij(t) = mimj (K1 + K2/d^3)(rj – ri), 其中K1, K2是空间常数，可正可负；d是两个质点之间的距离，也就是|rj – ri| 第i个质点所受到的合力为Fi = ?Fij。按照牛顿第二定律可得，
ai(t) = sigma {mj (K1 + K2/d^3) (rj – ri): j = 1, 2, …, N, j ‡ i}。
- 如果考虑相对运动，距离函数d还需要增加一个伸缩因子；
- 如果物体带电，力式中还要加上Lorentz力。
方程还不够。如果是一个质量系统，那么它的质心的运动也要满足牛顿第二定律；如果系统还是孤立的，则合外力为零。如果是一个电量系统，那么电量分布的中心也满足牛二。如果是一个随机系统，则位置函数不是确定的；需要用概律密度来表示每个物体落在每个点的概率：这要用到概率的三公理去写方程。
这一组矢量微分方程组的求解是很困难的。我们可以用能量方法，或者叫做Hamilton方法，去推导各位置函数应当满足的方程。
先假设系统是保守的，即不考虑外界的非保守力；而且假设各个粒子的时系同为t(不考虑相对性)。第i个粒子在空间中的位置，需要三个参数来确定：在Cartesian座标下，可以表示为{xi(t), yi(t), zi(t)}, I = 1, …, N。每个粒子都具有动能、势能。动能由自身质量及速度确定，是{x’(t), y’(t), z’(t)} 的函数。整个系统的机械能E，等于各个粒子的机械能之和：
E = K(x1’(t), y1’(t), z1’(t), …. ) – U(x1(t), y1(t), z1(t), …, )。U为势函数。
此式称为系统的Lagrangian（拉格郎日算符）L。如果对位置分量的三个方向不加区分，可以写为
L = K(v1(t), v2(t), …., vn(t)) – U(x1, x2, …, xn)，其中，vi(t) = xi’(t), i = 1, 2, … n = 3N。
我们有Lagrange方程：d(delL/delvi)/dt = del(L)/del(xi). 这可以用不同方法来证明。
一是用牛顿第二定律。由mi yi’ = Fi，左边就是动量对时间的变化律：dπi/dt，而πi = del(K)/del(vi)= del(L)/del(vi), 因为U与vi无关。因为Fi是保守力，按照势函数的定义，可知Fi = - del(U)/del(xi) =del(L)/del(xi) . 方程成立。
另一个方法是使用变分法。变分就是差分的一阶近似值，也就是微分。对于一个给定的泛函f(x, x’, t)，它在时间【t1, t2】上的作用(action)是它对时间的积分： S = ∫{f(x, x’, t)dt: t1 ≤ t ≤ t2}。此作用称为稳态（stationary）的，如果当x出现微小改变时，x → x + δX，S的改变量也很微小，或者其变分为0：delta(S) = ∫{f(x + δx, x’ + δx’, t) – f(x, x’, t)}dt 的一阶近似值为：δS = ∫{delf/delx *delta(x) + delf/delx' delta(x')}dt=
= ∫{del(f)/delx - d(delf/delx')/dt}delta(x)dt +? ,
因为积分路径的起点与终点是固定的，第二项为0. 要使δS为0，当且仅当
del(f)/del(x) - d(delf/delx')/dt= 0.
对f = L(x, x’, t) 应用上述结论，就得到了Lagrange方程。
在Lagrange方程中，可以作任意的连续座标变换，其形式保持不变：
令qj = fj(x1, x2, …, xn, t), j = 1, 2, …, n，使它有连续的偏导数、而且是一对一的；其逆变换为 xi = gi(q1, q2, …, qn, t), i = 1, 2, …, n。则我们有
d(delL/del(qi') = del(L)/del(qi) * dt 对所有 i = 1, 2, …, n。
计算拉格郎日算符的微分可得：dL = sigma{del(L)/del(xi) * dxi + del(L)/del(vi) * d(vi)} + del(L)/delt * dt, 因为，在一般情形，L可能还依赖于时间。
dL = dsigma{vi * del(L)/del(vi)} + del(L)/delt * dt .
Hamilton引进算符H = sigma{vi * del(L)/del(vi)} – L，则
dH/dt = -del(L)/delt ，这就是Hamilton方程。它表明，H守恒，当且仅当，L不显式依赖于时刻t.
在把力式转换为能量式后，力的方向信息就丢失了。前面说过，能量只是力沿着切线方向的环流量，为了确定位置信息，我们还要考虑沿法向的通量：这可以用角动量（angular momentum），和轨道阻滞（orbital resistantance）的方程来表示。这些方程的表示方法，我目前还在蕴量当中；一旦完程，力学和电磁学就统一起来了。
