数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
力学研究物体的运动方式以及原因。运动指的是空间位置的改变，物体本身没有变形或者变质。为了描述其运动，我们首先需要一个位置函数r(t)，与时刻t有关，还与空间的维度有关。人类能够看见的空间，只有三维及以下的二维、一维（位置点是零维）。在数学上，三维以上的可数空间，任一位置可以用一个可数数列表示：r(t) = {xi(t): i = 1, 2, …, }。维数为不可数的有序空间，位置函数可以用一个下标的有序集表示：r(t) = {xi(t): i 
= I}。对于两个不同时系里的观察者而言，位置函数的表示并不一致；但是可以通过某种连续变换来互通：这是时间与空间的分离性与连续性的统一原理，是时空观、运动学的第一基本公设。其次需要定义两个位置A与B之间的空间距离。在物理中采用的都是欧氏距离（欧几里得空间）；在数学中，距离只是一个满足正定性、对称性、三角不等式的一个二元实函数。
在三维空间里，我先把物体看成是集中在质量中心的一个质点，有质量m, 没有大小，也没有内部结构。其位置函数r(t)，可以用Descartes座标表出：r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，其中每个座标都是时刻t的实函数。它的一阶变化率被称为速度（velocity）v(t) = r’(t) = {x’(t), y’(t), z’(t)}; 二阶变化率是加速度（acceleration），三阶变化率是加加速度(jerk)；再往上还有jounce(Snap),等等。变化率没有止境，匀速运动、匀加速运动只不过是近似化的理想情形。学校物理老师要你背的Big Five或者Big Eight，只是r(t)的Taylor展开式的特例：r(t) = ?{an(t0) (t – t0)^n/n!: n = 0, 1, 2, …}。如果你会计算导数和积分，那就只有一个公式，其它都是定义。
对同一空间、另一时系s里的光测者（用光线去测量空间距离），当他以相对于时系t为速度v运动时，对于时系t里的两个位置A和B，位移AB沿着v方向的分量，应当缩短了一个因子k。【这是运动学的第二基本公设】。爱因斯坦的伟大贡献就是，确定了这个因子的值为k = sqrt(1 – v^2/c^2)，其中c是光速。由此便可以推导出Lorentz座标变换公式。一般的数学变换可以表示为，从时空（R，t）到时空（S，s）的一个连续、可逆的映射：
（x(t), y(t), z(t), ct）→ (u(s), v(s), w(s), cs)。这里假设光速的大小在同一空间里保持不变。
更具体地，u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t), w = w(x, y, z, t), s = s(x, y, z, t)，具有连续的偏导数，且在任一点处的Jacobi行列式不为零。在第二公设之下，可以确定k与c, v的关系。
物体运动的原因是力；力学的一个主要目的是找出力式的表达式。在物理学中，力并不是一个基本量（7个基本量是：距离、时间、质量、电量、光量、温度和数量）。力不是简单的一推或者一拉，学术定义是两个自然物体之间的相互吸引或者排斥、有主观意识的物体之间的蓄意一推或一拉。前者叫作自然力，后者叫做应用力。自然物都分阴阳二属性（造物主的故意？），异性相吸，同性相斥；也有例外，或者程度差别。力是一个矢量：有大小、有方向。方向沿着两个物体的质量中心的连线；按照相吸还是相斥，确定指向是向内还是向外。牛顿的第三运动定律指明，两个物体的作用是相互的：A对B的作用，与B对A的作用，方向相反，大小相等。这应当是力学的第三基本公设。
如何确定力的大小？我只需要一个比较的标准。一个英国国王可以把自己的足长叫做一英尺，我也可以把我自己对某物的某一推、或者我对某个异性的吸引，叫做一欧子。怎么定量呢？我们需要力学的第四基本公设--虎克（Hooke）定律，用力所引起的位移大小来衡量：位移的大小应当与所用力的大小成正比：|?r| = b|F|。这很容易用一根弹簧来验证，只是比例系数因弹簧而异。按照弹簧力与拉力是一对作用与反作用力，上式可表为：Fs = - k ?r，k就称为弹簧的弹性系数。我可以找一段铁制弹簧，把它拉长一厘米所用力的大小，就叫做1虎克。
虎克定律的另一个表现形式是，压强与密度的关系。压强是一个物体（如一段园柱形的均匀树干）的表面，单位面积上所受的力；密度是单位体积的质量。实验表明，密度的改变量?ρ，与压强的改变量?p成正比，与原有密度成正比：?ρ = − B ρ ?p；比例系数B只与物体本身的材料、结构有关，B的倒数叫作Bulk 模。这是虎克定律的微分形式。
力学的第五个基本公设是牛顿第二定律：加速度与合外力成正比，与自身质量成反比；即a = KF/m。至于比例系数呢，牛顿说了，只要以他的名字作为力的单位，那么，比例系数就是1；这就叫做Newtonian Scale. 至于它与各种弹簧的比例系数的关系呢，没人关心 （这两个定律的形式一致性，在理想弹簧的情形下，是需要验证的）。两个人倒是为了争辩谁先发现了万有引力定律，数十年不罢休。其实，万有引力定律，可以从向量加法原理、通过解积分方程得出。
我承认，力会引起速度的改变，而不仅仅是位置的改变。在F = ma中，因为a = dv/dt，我定义π = mv，称其为动量，则有F = dπ/dt，或者 dπ = Fdt，右边的Fdt称为冲量。两边同时沿某时间路径积分，可得：?π = ∫Fdt; 这就是动量与冲量的关系定理：动量的改变量等于总冲量。如果合力为零，则动量守恒。这是牛顿第一定律所揭示的理想情形。
当时刻改变时，位置自然改变；除非dv = 0，亦即a = 0。有净力存在时，它对位置的改变又如何在数量上体现呢？我引进功 (Work) 的概念。一个力F 沿着空间中某条路径（曲线）C，从点A走到点B，所作功的大小为
W = ∫{F * dr: r C: A → B}. 其中*是两个矢量的标量积。
如果F是合力（所有作用力相加的结果），那么，F = m dv/dt, F*dr = m dv * dr/dt = m dv * v, 积分可得W = ½ m (v^2(B) – v^2(A))。把1/2 m v^2叫作物体m的动能K，就是说，合外力所作的功，等于动能的改变量：W = ?K。此即功能定理，牛顿第二定律的标量表示形式，方向信息全部遗失。
我把F分成两部分来考虑：一部分FC，被称为保守力，其路径积分与过程无关：存在一个势函数U（r），使得 ∫{FC * dr: r C: A → B} = U(B) – U(A)。FC为保守力的充要条件是其旋度（Curl）处处为零。四种自然力都是保守力。第二部分FD，可视作外界干扰力、是不可控的，其路径积分与过程有关，结果可以叫作熵（某种混乱程度的衡量）。现把K(r) – U(r) 叫作物体的机械能E(r)，上述结论可以说成，机械能的改变量?E 等于熵。如果没有非保守力，或者FD与路径永远垂直，则有机械能的守恒定理。
功只是力沿着曲线（路径）的切线方向的环流量，还需要考虑通量：力在曲线的法平面上的分布情况。法平面的法向n，与π平行；再引进一个矢量r × π = L(叫做角动量), 构成一个座标架（类似于Frenet座标架），可以完整确定路径的状况：L和r可以确定整个法平面。位置函数r 与 F 的矢量积，r × F, 叫做F的扭矩（torque），记作τ。如果F是合力，则有
τ = r × ma = r × dπ/dt = d(r × π)/dt – dr/dt × π；第二项为0，因为dr/dt即是v，与π平行。
因此，τ = dL/dt，这是牛顿第二定律的角动量表示形式。
两边同时沿某时间路径积分，可得：?L = ∫τdt; 即角动量的改变量等于总的转量（我把τdt叫做转量）。如果合力F总是与位置函数r平行的话，扭矩恒为零，因此角动量守恒，即与时刻无关。
我再把合力F按照两个方向分解：Fr与r平行，Fs在与 r 垂直的、也就是由L和π确定的平面里；扭矩τ = r × Fs: 如果能够证明保守力FC是与r平行的（至少四种自然力都是如此），那么非保守力就可以归于到Fs之中。因此，通过角动量的改变量，解积分方程，可以解出扭矩，进而确定Fs。现实中的摩擦力、媒介阻力正是如此，其表达式是可以确定的。
回到万有引力。在任何一个质量体的周围，形成了一个引力场Y：其它质量体都会感觉到一个被吸引的力；这是由于物要成体的本性决定的：没有凝聚力，根本就不能成形、成体，这是我的第六个基本公设：引力的大小，与二物体的质量成比，与距离的某个次幂成比例。根据矢量的加法原理，通过解集分方程，可以确定那个次幂等于1或者负2；比例系数靠试验确定。有此，便可确定脱离一个引力场的初始速度，与其质量/直径的平方根成正比。当质量/直径的值大于一个定值时，无质量的电磁波也不能逃离，该物体就成了一个黑洞。
一个高密质量体内的粒子（组成成分），总是在运动着，因为内部凝聚力，免不了相互碰撞；这些成员的快速运动，会在周围产生一个阻滞场R（正如电场产生磁场一样）。这是我的第七基本公设：为了形体的暂时稳定性。场强R可以仿照磁场写出。Y与R的矢量积，Y × R，代表了引力波。这与由牛顿第二定律和虎克定律共同推导出来的机械波，还有Louis de Broglie杜撰的物质波相一致。
至此，人类认识了四种波。如果能够检测导新的力量，比如由暗能量通过扭矩确定的非保守力，人类还会有第五种、第六种波，而我还要提出第八条、第九条公设：理应如此的，因为天有九重。总而言之，力与能及熵是等价的、可以在数量上进行互换。这就是我的力学观。
