初等数学难题

我常想：最难的数学题是什么？Hilbert的23个问题？还是那七个千禧年问题？这些都是数学家们毕生努力的目标，自然不是两、三句话能够说的清楚的。但是，如果有人对此有兴趣的话，我也可以把其中一、两个问题的解答贴出来—在我有时间的时候。

近日有数学爱好者做了一些我几年前发布的趣题，并表示有兴趣再做。我就把近几年教过、做过的题目中，觉得比较有趣、又能够三、两句话说得清楚的，贴在博客里，供有兴趣的网友业余、饭后一试，也可以活络一下脑筋。

已知2^2004 （2的2004次方）是一个首位为1的、604位数。请问，在1, 2，2^2， 2^3， 。。。，2^2003这2004个2的幂中，有多少个的首位数字是4？

 

一个正十二面体的每一面都是一个正五边形。如果把一年当中的十二个月写在这十二面上，每一面写一个月，一共有多少种不同的写法？旋转之后相同的写法当作一种。

 

在一个单位正方体中，可以画出两个正四面体：它们的顶点不重复地包括了正方体的全部八个顶点。求这两个正四面体的公共部分的体积。

 

在三角形ABC中，三个角A、B、C满足cosAcosB + sinAsinBsinC = 1. 求角C所有可能的值。

 

在一个平面上，一只青蛙做了个三连跳，每次跳一米；而且每次跳跃时的方向是独立、随机选择的。请问，它的最终点离开出发点的距离不超过一米的概率是多少？

 

求所有多项式P(x)满足：xP(x – 1) = (x – 2)P(x)对所有x成立。

 

有一个人朝正北方向跑步。当他的速度是每小时4公里时，他感觉风是从正西方向吹来的；当他的速度是每小时8公里时，他感觉风是从西北方向吹来的。请问风速的大小和方向是什么？

 

一天中午12点之前的某个时刻，雪开始下了起来。一辆铲雪车从12点开始铲除以条街道上的雪。在第一个小时里，它前进了6公里；在第二个小时里，它前进了3公里。请问，雪是在什么时候开始下的？