七仙女数

这是1997年AHSME （American High School Mathematics Examination, AMC的前身）中的第29题：把一个实数称之为特别的，如果它的十进制小数表示中仅有数字0和7；比如，700/99 = 7.070707… 和 77.07 都是特别数 （我把它们叫七仙女数）。请把1写成最少n个特别数之和。n之值为多少？或许不存在。

这道题引起了我的兴趣，因为乍一看，你根本就不知道如何下手：列方程，未知数都不知道怎么设；猜猜试试，也不知道从哪里开始。还好，我有绝招：按位相加！也就是最原始的竖式相加带进位，不过你得从最左边开始。

设各特别数的十分位（小数点后第一位）上有a个7，来自百分位的进位为c；则有

7a + c = 10。最小解为a = 1, c = 3。

设百分位上有b个7, 来自千分位的进位是d；则有方程

7b + d = 30。最小解为b = 4, d = 2。

设千分位上有e个7, 来自万分位的进位是f； 则有方程

7e + f = 20。最小解为e = 2, f = 6. 如此循环。

下一个方程：7x + y = 60，最小解x = 8, y = 4；

再下一个：7x + y = 40, 最小解x = 5, y = 5；

再下一个：7x + y = 50, 最小解x = 7, y = 1。

下一个就循环了：7x + y = 10。

过程中出现的最大x值为8, 所以，1可以写成8个特别数之和。

 

题解完了，不禁想说，我真聪明！不过，你能推广吗？想出一些其他的特别数吗？

我想起了古希腊人，总是把任何一个正有理数表示为一些不同自然数的倒数之和。比如，1 = ½ + 1/5 + 1/8 + 1/11 + 1/20 + 1/41 + 1/110 + 1/1640；这里的分母都来自一个公差为3首项是2的等差数列。可以证明，有无穷多种表示法，而且，项数至少是8.

CIMC也出过类似的问题：2013年的Part A 第六题, 要你把1 写为 ½ + 1/3 + 1/7 + 1/x + 1/y + 1/z，而且x, y, z必须在1000到2000之间。你很难通过解方程得到答案，只能按照问题的提示，做分数的分拆，才能很快得到答案。

 

如果能够通过尝试解决一个问题，问出一大堆类似的问题，让别人去绞尽脑汁，那就说明你具有科研、创新能力了。