操作问题

这类问题充分体现了步骤的重要性. 解答方法包括试错法, 递推法, 倒推法. 在IMO的问题中,还需要构造法, 赋值法等.

以下是几道相关问题, 都有一定难度. 有兴趣者不妨一试.

1. 一台装置有A, B, C, D 4个按钮: 按A, 会把输入的数加5; 按B, 会把输入的数除2; 按C, 会把输入的数减4; 按D, 会把输入的数乘3.

(1)9, A, B, C, D, ?

(2)A, B, C, D100, ?

(3)7, 7, ?

2. 在一个玩具上有100个站着的洋娃娃和两个按钮: 如果按下红色按钮, 一个娃娃会坐下; 如果按下绿色按钮, 立着的娃娃数目会加倍. 现在有两个站着的洋娃娃, 请指出操作步骤, 使得恰好有27个娃娃站起来.

3. 给定两个数A和B, 可按规则C = AB + A + B扩充一个新数; 再从A, B, C三个数中任取两个, 按上述规则再扩充一个新数, …. . 每扩充一个新数称为次操作. 现在,从1和4出发, (a) 经过三次操作能得到的最大数是几? (b) 能否通过上述操作得到1999? 为什么?

4.财黑板上写有97个分数: 48/K, K = 1, 2, 3, …, 97. 每次选出两个数 A 和B, 将其拆去, 换成2AB – A – B + 1. 这样操作96步后, 还剩下一个数. 这个最后剩下的数是什么?

5. 在黑板上写上三个正整数, 然后将其中一个擦去, 换上比其他两数之和小1的数. 如果将这个过程重复若干次之后得到(17,1999, 2015), 请问, 最初的三个数可以是(2, 2, 2)吗? 可以是(3, 3, 3)吗? 若不是,请说明理由; 若是, 请指出具体过程.