漏洞百出的归纳法

从一般定理推出特殊结论叫 “演绎”, 而从一些特例找出一般规律就叫 “归纳”. 归纳得出的结论并不总是正确的. 比如一则关于物理学家的笑话: 一位物理学家断言60能够被所有小于它的数除尽, 他说: 60能被1, 2, 3, 4除尽; 再试试5和6, 也行; 看看7, 不行! 不过这可能只是个实验错误而已. 再看看10, 12, 15, 20, 30, … 都能除得尽60. 所以说, 60能够被所有小于它的数除尽.

要证明归纳得出的结论之正确性, 可以使用 “数学归纳法”. 它分两步进行:

第一, 证明结论对于起始值成立(通常是从1开始);

第二, 假定结论对于n = k成立, 推出n = k + 1也成立.

那么, 结论对于所有正整数都成立.

看看下面几个证明到底哪里出了问题, 以至于推出了谬论.

例1..

证: 假定命题 “n = n  + 1” 对于n = k成立, 即有k = k + 1. 当n = k + 1时, 在上式两边同时加1 可得: k + 1 = k + 2. 故结论对n = k + 1也成立. 所以, 结论对于所有正整数都成立.

例2..

证: 当n = 1, 命题成立, 因为一个人跟他/她自己显然同名.

假定结论对于n = k成立, 即: 任何k个人都同名. 当n = k + 1时, 我们可以把这k + 1个人排成一行. 由归纳假设, 前k个人同名, 后k个人也同名, 所以他们都跟中间的人同名.

例3..

证: 用n表示人的头发数. 当n = 1时, 命题成立,因为只有一根头发的人肯定是秃子.

假定结论对于n = k成立, 即: 任何有k根头发的人都是秃子. 那么, 对一个仅有k + 1根头发的人也只能算是秃子. 故, 所有人都是秃子.

下面还有几个命题, 试试看你能不能构造出一个谬误的证明.

1. 假设平行线相交于无穷远处. 证明, 平面上任何n条直线都有一个公共点.
2. 证明n×n – 79n + 1601 对所有正整数n都是质数.
3. 证明2 + 2^2 + … + 2^n = 2^(n + 1). 2^n 表示2的n次幂.