找规律解游戏题

这种方法的解答过程如下:

设定两个集合: W = {N|开始者对于N有必胜的策略}, L = {N|开始者对于N必输}. 这里有一个假定: 两个人都使出对自己最有利的招数. 从N = 1开始, 依次把N的值分别归于W或L, 找出一般规律. 关键的一步是要从小于N的一些值推出N的归属.

以下是四道可用此法求解的游戏题. 有兴趣者不妨一试.

                                            

(1) 在一个碗里有一些石子. A, B, C三人轮流从其中取一个或两个石子: 由A开始, 然后B取, 再由C取; 取得最后一个石子的人为输. B和C二人合作, 逼使A为输者. (i) 如果碗里有5个石子, B和C如何才能逼使A输? (ii) 一般地, 如果碗里有N个石子, 对哪些N的值, A才能赢?

 

(2) (i) 两个人A和B在玩一副7张的牌. A先开始, 他从那堆牌中扔掉至少一张至多不超过全堆一半的牌, 再把剩下的牌给B; B也从所接到的牌中, 扔掉至少一张至多不超过手上一半的牌; 之后再把剩下的牌传回给A. 如此继续下去. 当一个人只接到一张牌时, 此人就是输家. 请证明B必胜. (ii) 如果刚开始时有52张牌, 请问谁必胜?

 

(3) 两个人A和B在玩取火柴棍游戏: 从一堆N根火柴棍中, 每人可以拿1根, 3根,或4根火柴; A 开始, B跟着, 以后二人轮流拿; 拿到最后一根火柴的为赢. 请问, B对哪些N的值有必胜的策略?

 

（4）两个人轮流从三个篮子里拿苹果。苹果个数分别为2、3、4；每人只能从同一个篮子里取，可以取一个到全部。（a）如果取得最后一个苹果的人为赢家，谁有必赢的策略，先下手的还是跟随者？（b）如果如果取得最后一个苹果的人为输家，谁有必赢的策略？策略如何？